Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 45 - Física

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Com respeito às ondas mecânicas, analise as afirmações a seguir.
I  - São perturbações mecânicas que se propagam no vácuo, sem a necessidade de um meio material para lhes dar suporte.
II  - A luz visível, o infravermelho, o ultravioleta e o Raio  X são exemplos de ondas mecânicas.
III  - O som é um exemplo de onda mecânica na qual as vibrações do ar, que é o meio que lhe dá suporte, são longitudinais, ou seja, vibram na mesma direção de propagação da onda.
Está correto APENAS o que se afirma em:

Solução:
I - Incorreta, já que as ondas mecânicas precisam de um meio para se propagar. Exemplo: Unda em uma corda, o som, onda formada por uma pedra jogada na água. Todas elas dependem do meio. A onda na corda, depende da corda. O som depende das partículas que existem na atmosfera e a última, depende da água.

II - Incorreta. Estas ondas são ondas eletromagnéticas. Como tais, não precisam de um meio para se propagar, por isso que a luz do Sol chega até a Terra, pois ela se propaga no vácuo. Se não, viveríamos em completa escuridão.

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Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 37 - Física
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 41 - Física

III - Correta. Conforme exemplo dado em I. Quando uma fonte emissora de som é acionada, ela perturba as moléculas que estão em volta dela (já viu uma caixa de som, que tem uma membrana que vibra?), estas moléculas perturbam as outras que estão do lado delas, que perturbam as outras ... Assim, certamente elas vibram na direção de propagação da onda, pois imagine uma pessoa falando com outra. Quando uma fala, ocorre o fenômeno de perturbação que já comentei, porém se a matéria que está perto da boca de quem fala vibrasse de forma vertical, ela não iria perturbar as moléculas que estão a sua frente, e sim as que estão em cima dela e abaixo. Assim, para ouvir essa pessoa, ou você estaria acima dela ou abaixo. Ainda assim, as moléculas vibrariam na mesma direção de propagação da onda. Ou seja, não faz sentido ser diferente disso. O que ocorre, na realidade, é que o som da pessoa que fala se propaga pra frente, pre cima, pra baixo, da diagonal... Mas em todas essas direção o meio vibra na mesma direção de propagação da onda. Veja como funciona, na figura abaixo:


Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 42 - Física

  19:31   , , ,   No comments   Edit


A figura ilustra um recipiente aberto contendo água em equilíbrio hidrostático. Em sua parede lateral, há um orifício tampado por uma rolha, a uma profundidade de 10,0 m.
Considerando-se que a rolha está totalmente livre para se deslocar, sem atrito com as paredes do recipiente, e que tem área da seção transversal igual a 1,0 cm², qual deve ser a força F, em N, exercida de fora para dentro, de modo a manter a rolha em repouso, evitando assim que o líquido escape para fora do recipiente?
Dados: massa específica da água = 10³ Kg/m³
            aceleração da gravidade (g) = 10 m/s²

Solução:
Breve revisão:
Toda vez que temos uma quantidade de massa sobre uma área, esta massa executa uma pressão sobre esta área, pressão esta igual ao peso desta massa dividido pela área.
Neste exercício temos uma quantidade de água. Sabemos apenas a altura dela. Porém, para fins de dedução da fórmula, vamos supor que a área da seção transversal do recipiente que contém a água seja A.
Com estes dados vamos calcular qual é a pressão que esta coluna de água faz numa superfície de mesma área A, porém com 10m de profundidade.

Massa da água = massa específica*volume de água
Volume de água = altura de água*área da seção transversão
Assim:
Massa da água = Massa específica*altura de água*área da seção transversal = p*h*A
Assim, o peso de água será:
p*h*A*g
Como queremos saber a pressão na área A, esta pressão será:
p*h*A*g/A = p*h*g

Perceba que a pressão que um fluido exerce depende apenas da massa específica deste fluido, da altura da coluna e da aceleração da gravidade. A ÁREA NÃO INTERFERE NA PRESSÃO EXERCIDA POR UMA COLUNA DE UM FLUIDO.

Observação: Uma vez vi um amigo que morava em um apartamento comentando que a pressão da água em seu chuveiro havia aumentado, pois fizeram uma reforma nas caixas d'água do prédio, conectando todas elas, ou seja, as caixas d'água não eram mais independentes e sim, todas conectadas.
Na verdade a constatação dele é incorreta, pois não houve alteração na altura da água, e sim simplesmente aumentou-se a área.

Voltando ao exercício:
Detalhe muito importante do exercício: Perceba que no enunciado aparece "recipiente aberto". Esta informação é aquela em que a gente nem se dá conta quando lê o exercício, mas é de fundamental importância, pois com isso temos que a pressão atmosférica também age. É certo que possivelmente a pressão atmosférica também atue na rolha pelo lado de fora, apesar de que isso não é dito no exercício, porém mesmo que isso seja verdadeiro, a atuação desta pressão irá gerar uma força de fora para dentro. Portanto, a força para manter a rolha no lugar é a soma da realizada pela pressão atmosférica do lado de fora (se houver) com uma outra força qualquer. Comento isso para que o leitor perceba que a força total necessária para manter a rolha no seu lugar independe de a pressão atmosférica age fora ou não.

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Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 41 - Física

Cálculo da pressão da coluna de água:
p*h*g = 10³*10*10 = 10⁵ N/m²
A pressão atmosférica vale, aproximadamente 10⁵ N/m²
Assim, a pressão na rolha será de 2*10⁵ N/m²

Como a área da rolha é de 1 cm² = 0,0001 m², a força que deve ser aplicada na rolha deve ser de:
2*100000*0,0001 = 20N


Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 41 - Física

  19:06   , , ,   No comments   Edit
Um objeto maciço flutua na superfície da água contida num recipiente aberto, com 40% do seu volume submerso. O mesmo objeto flutua no álcool com volume submerso diferente, devido à diferença das massas específicas dos dois líquidos.
Que fração do volume total do objeto fica submerso ao flutuar no álcool?
Dados:
massa específica da água = 1,0 g/cm³
massa específica do álcool = 0,8 g/cm³

Solução:
Questão que envolve conceito de empuxo.
Rápida revisão:
Empuxo é uma força que é aplicada nos corpos quando estes são submersos em fluidos (fluidos entende-se: líquidos e gases).
Uma forma fácil de perceber a ação do empuxo é quando você consegue carregar facilmente sua mulher (ou namorada, ou mesmo noiva) dentro de uma piscina. É interessante a sensação de super-homem que temos ao fazer isso, porém não conseguimos sozinhos, o empuxo da água nos ajuda... É, eu também fiquei frustrado quando descobri isso...
O valor do empuxo é exatamente o peso o volume do líquido deslocado ao inserir o corpo no líquido. Sendo mais claro:
Imagine uma bola de isopor com volume de 1cm³. Agora pensa também em um recipiente completamente cheio.
Quando você coloca a bola sobre a água, ela afunda muito pouco. Digamos que você faça uma força tal que metade da bola afunde. Qual o volume de água deslocado? 0,5cm³, ou seja, exatamente igual ao volume da bola que esta submerso. Ao fazer isso a gente percebe uma força agindo na bola. Esta força é o empuxo, e ele vale exatamente o peso deste 0,5cm³ de água deslocado. Exatamente por isso que esta bola não afunda pois o peso dela é inferior ao peso de 1cm³ de água. Assim ela afunda o suficiente até que o empuxo que surge seja igual ao seu peso.

Voltando ao exercício:
40% do objeto esta submerso. Ou seja, chamando de 'V' o volume deste objeto, temos 0,4V submerso na água. Logo, o sou peso vale o mesmo que o peso de 0,4V de água.
Como a densidade da água é 1g/cm³ temos que o peso do objeto é:
1*0,4V*g = 0,4Vg, onde g é a força da gravidade.

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Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 36 - Física

No álcool, a parte do objeto que ficará submerso será tal que o empuxo no álcool seja igual ao seu peso, ou seja. Neste caso, chamarei o volume submerso de 'v'.
0,8*v*g = 0,4*V*g
0,8*v = 0,4*V
v = 0,5*V

Ou seja, 50% do objeto vai ficar submerso.

Veja que há mais do objeto que fica submerso, o que é sensato já que a densidade de álcool é menor.


Exercício Resolvido - Roldanas: Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 37 - Física

  18:44   , ,   1 comment   Edit

Exercício do concurso da Petrobrás de roldanas

Um bloco de massa 20,0 kg está suspenso por um sistema de roldanas, sendo duas delas móveis acopladas a uma fixa, conforme ilustrado na figura. Os cabos são inextensíveis e têm massas desprezíveis. O Bloco 2 faz com que o sistema permaneça em equilíbrio.
Se os blocos estão em repouso, a massa do Bloco 2, em kg, vale
Exercício resolvido de Roldana

Solução:
Em questões de roldanas, é interessante se ter em mente que um mesmo cabo esta submetido a uma tensão igual a não ser que uma força externa ao sistema esteja agindo (por exemplo na questão 35 desta mesma prova).
Assim, o cabo que sustenta o bloco 2 exerce uma força nele equivalente ao seu peso (chamarei de P). Assim, neste cabo, a tensão nele é de P. Porém este cabo passa por uma roldana fixa e depois por uma segunda roldana.
Se isolarmos esta segunda roldana teremos:

Perceba que temos duas partes do cabo que suspende o bloco 2 'puxando' esta segunda roldana para cima. Logo a força que age nela, para cima, é de 2*P. Como a roldana está em equilíbrio, a força do cabo que puxa a roldana para baixo é de 2*P. Assim, a tração neste segundo cabo será 2*P.

Pelo mesmo raciocínio, na terceira roldana existirão duas forças de intensidade 2*P puxando ela para cima. Logo a tração do cabo que suspende o bloco 1 deve valer 4*P.

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Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 36 - Física
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 41 - Física


Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 36 - Física

  18:25   , , ,   No comments   Edit
Dois blocos de massas iguais estão ligados por um cabo inextensível e de massa desprezível. Esses blocos são puxados para a direita por uma força F, constante.

Considerando-se que não há atrito e desprezando-se a resistência do ar, qual o módulo da tensão no cabo?
Solução:
Como F é o único dado do exercício, devemos achar nossa resposta em função de F.
Este é um exercício típico de ação e reação (3ª Lei de Newton). Perceba que existe uma força agindo no bloco da direita, porém esta força é transmitida ao outro bloco por meio de um cabo. Neste exercício os objetos não estão parados, logo existe uma força resultante em cada um. O bloco da direita sofre a ação de duas forças: da força F e da tração do cabo, que age nele de forma contrária à força F, justamente pelo fato da ação e reação, ou seja, este cabo realiza a ação de puxar a bola da esquerda com uma força, como reação, ela (a bola da esquerda) puxa o cabo. Ambas têm mesma intensidade, direção porém sentido contrário. No bloco da esquerda há apenas uma força agindo nele, esta é a força de tração do cabo, porém nele ela tem sentido igual à da força F, ou seja, da esquerda para a direita.
Como ambos se movem com uma aceleração igual, a força resultante nos dois deve ser igual, pois eles possuem massas iguais.

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Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 41 - Física

Assim:
Força resultante agindo no bloco da direita deve ser igual à sua massa multiplicada da sua aceleração:

$ \left | F \right | \, - \, \left | T \right | \, = \, m \times a $

Força resultante agindo no bloco da esquerda deve ocorrer o mesmo:

$ \left | T \right | \, = \, m \times a $

Assim:

$ \left | F \right | \, = \, 2m \times a $

$ m \times a \, = \, \frac{\left | F \right |}{2} $

$ \left | T \right | \, = \, \frac{\left | F \right |}{2} $


Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 35 - Física

  18:07   , , ,   4 comments   Edit
Dois blocos de massas 10 kg e 20 kg estão suspensos por cabos, conforme ilustrado na figura. O cabo A é preso ao teto e faz um ângulo de 60º com a horizontal. O cabo B é perpendicular à direção vertical.
Considerando que os blocos estão em equilíbrio estático, qual o valor do módulo da tensão no cabo A?
Dados:

sen 60º = √3/2
cos 60º = 0,5
g = 10 m/s²

Solução:
Nesta questão deve-se perceber que agindo no ponto que o cabo B esta fixo na parede, e assim, existe nele uma tração.
Exercícios deste tipo tornam-se relativamente simples quando nos damos conta que o sistema está em equilíbrio, ou seja, não há nada se movendo com aceleração. Neste caso, esta tudo estático. Essa observação é importante pois com isso, temos a certeza de que a força resultante em qualquer ponto deve ser nula, pois se não fosse nula, este ponto não estaria parado.

Vou chamar o ponto de união do cabo A ao B de ponto P. Este ponto, como todos os outros, está parado, ou seja, a força resultante nele é nula. Observando a figura percebemos que existem três forças atuando nesse ponto:
1ª - A tração do cabo A
2ª - A tração do cabo B
3ª - A tração do cabo que suspende os blocos


Para facilitar nossa vida, convém decompor a tração do cabo A em duas forças uma na direção vertical e outra na horizontal:
Para que o ponto P esteja em equilíbrio devemos ter:
FB = FAHor e;
FBlocos = FAVert

Ainda, devemos saber que FAVert é a projeção vertical da tração em A e FAHor é a projeção horizontal. Assim, FA*Sen(60°) = FAVert e FA*Cos(60°) = FAHor. Este ângulo de 60° é o que o cabo A faz com a horizontal.

Mas ainda do exercício temos um dado importante:
FAVert = FBlocos (equilíbrio), mas:
FBlocos = (10 + 20)*10 = 300N
Logo, FAVert = 300N, com isso:
FA*Sen(60°) = FAVert = 300N
FA*√3/2 = 300N
FA = (600/√3)N.


Exercício Resolvido - Lugar Geométrico

  00:37   , ,   No comments   Edit
Se o ponto P(x,y) é tal que sua distância do ponto A(3,2) é sempre duas vezes a sua distância de B(4,1), encontre uma equação que deve ser satisfeita pelas coordenadas de P.

Solução:
Distância do ponto P ao ponto A é:
√[(x-3)² + (y-2)²].
Vou chamar esta distância de 'd'
d = √[(x-3)² + (y-2)²]

Distância do ponto P ao ponto B é:
2d = √[(x-4)² + (y-1)²]

Multiplicando a distância do ponto P ao ponto A por 2 e igualando à distância do ponto P ao ponto B temos:
2*√[(x-3)² + (y-2)²] = √[(x-4)² + (y-1)²]

Elevando os dois lados ao quadrado:
4*[(x-3)² + (y-2)²] = [(x-4)² + (y-1)²]
4*[x² - 6x + 9 + y² - 4y + 4] = x² - 8x + 16 + y² - 2y + 1
4x² - 24x + 52 + 4y² - 16y = x² - 8x + 16 + y² - 2y + 1
3x² + 3y² - 16x - 14y + 35 = 0

Como x² e y² tem coeficientes iguais, podemos afirmar que esta é a equação de uma circunferência. Para saber qual é o centro e o raio desta circunferência, procedemos da seguinte forma:
3x² + 3y² - 16x - 14y + 35 = 0

Agrupamos os termos que multiplicam 'x' e 'y' e isolamos, do lado direita da igualdade, os termos independentes:
3x² - 16x + 3y² - 14y = -35

Somamos constantes de ambos os lados da igualdade de forma conveniente a ter quadrados perfeitos:
(3x² - 16x + 64/3) + (3y² - 14y + 49/3) = -35 + 64/3 + 49/3 = -35 + 113/3 = 8/3

Dividindo tudo por 3, para deixar x² e y² sem coeficientes:
[x² - (16/3)x + 64/9] + [y² - (14/3)y + 49/9] = 8/9
(x - 8/3)² + (y - 7/3)² = [(2/3)*√2]²

Centro: ( 8/3 , 7/3)
Raio : (2/3)*√2





Exercício Resolvido - Derivada de 1/[Sec(2x-1)]³/²

  21:41      3 comments   Edit
Calcule a derivada de f(x) = 1/[Sec(2x-1)]³′²

Solução:
Das RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS temos que:
$f(x) \, = \, \frac{1}{\left [ Sec \left ( 2x \, - \, 1 \right ) \right ]^\frac{3}{2}} \, = \, \left [ Cos \left ( 2x \, - \, 1 \right ) \right ]^\frac{3}{2}$

Assim:
$\frac{df(x)}{dx} \, = \, \frac{3}{2} \times \left [ Cos \left ( 2x \, - \, 1 \right ) \right ] ^\frac{1}{2} \times \left [- Sen \left ( 2x \, - \, 1 \right ) \right ] \times 2 \, = \, -3 \times \sqrt{Cos \left ( 2x \, - \, 1 \right )} \times Sen \left ( 2x \, - \, 1 \right )$

Desta forma, a derivada de f(x) é:
$$ \frac{df(x)}{dx} \, = \,  -3 \times \sqrt{Cos \left ( 2x \, - \, 1 \right )} \times Sen \left ( 2x \, - \, 1 \right ) $$


Exercício Resolvido - Somatório

  21:11      10 comments   Edit
Calcule X9 e X21 sabendo que:

Solução:
Do 1º e do 3º somatório temos que X9 + X21 = 10 e do 2º e do 4º somatório X9² + X21² = 52.
Assim:
X9² + X21² = 52, sabendo que X9 = 10 - X21,  X9² = (10 - X21)² = 100 - 20X21 + X21², então:
100 - 20X21 + X21² + X21² = 52
2X21² - 20X21 + 100 = 52
2X21² - 20X21 + 48 = 0, dividindo tudo por 2
X21² - 10X21 + 24 = 0
Resolvendo temos:
X21 = 6 ou X21 = 4

Na verdade, estas são as soluções pois se X21 = 4, X9 = 6, e se X21 = 6, X9 = 4. Existem duas soluções para este exercício.


Exercício Resolvido - Somatório

  20:22      No comments   Edit
Calcule:
Neste caso, como j não varia e sim apenas i, abre-se o somatório em i e deixa a soma em função de j, ficando:

 [(-1)² + 1/j] + [0² + 1/j] + [1² + 1/j] + [2² + 1/j] + [3² + 1/j] = 1 + 1 + 4 + 9 + 5/j = 15 + 5/j.


Exercício Resolvido - Somatório duplo

  20:12      8 comments   Edit
Sabendo que: Xi = 2i, calcule:
Solução:
Para resolver este exercício, facilita que o somatório que esta dentro dos colchetes seja resolvido primeiro. É importante perceber que o termo dentro dos parênteses (xi - 3) não depende de j. Ou seja, para cada j (j = 2, j = 3, j = 4 e j = 5) o termo entre parênteses é somado, sem sofrer alteração.






Desenvolvendo o que foi obtido acima temos:
 = 4*[(X1-3) + (X2-3) + (X3-3) + (X4-3) + (X5-3) + (X6-3) + (X7-3) + (X8-3)] =
= 4*(2-3+4-3+6-3+8-3+10-3+12-3+14-3+16-3) = 4*48 = 192


Exercício Resolvido - Equação

  19:07   ,   No comments   Edit
Considere a equação 4x + (3x/2) - 4 = x. A solução dessa equação é?

Solução:
4x + 3x/2 - 4 = x

Para que se possa eliminar a divisão por 2 do segundo termo, pode-se multiplicar todos os termos por dois. Isto não altera o resultado, desde que a multiplicação seja feita dos dois lados da igualdade:

2*(4x + 3x/2 - 4) = 2*(x)

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:

2*4x + 2*3x/2 - 2*4 = 2*x
8x + 3x - 8 = 2x
11x - 8 = 2x

Da mesma forma que foi feito com a  multiplicação, podemos também somar ou subtrair qualquer valor dos dois lados da igualdade que não altera-se a equação. Neste caso, por ser conveniente para que se anule o 2x do lado direito da igualdade, subtrai-se os mesmos 2x de toda a equação:

11x - 8 - [2x] = 2x - [2x]
11x - 8 - 2x = 2x - 2x
9x - 8 = 0

Para isolar o termo com x, somamos 8 de ambos os lados da igualdade:

9x - 8 + [8] = 0 + [8]
9x - 8 + 8 = 0 + 8
9x = 8

Dividindo toda a expressão por 9 para obtermos o valor de x, temos:

(9x)/9 = (8)/9
x = 8/9


Progressão Aritmética (PA)

  14:56   ,   3 comments   Edit
Pessoal, eventualmente, vou postar algumas aulas aqui, desenvolvidas por mim. Qualquer dúvida que alguém possa ter, deixe nos comentários que vou procurar sanar.

PA:
Na matemática existe uma matéria muito importante chamada sequências. Dela e da teoria de conjuntos, por incrível que possa parecer, nasce todo o cálculo de limites e por consequência, derivada e integral.

Hoje vamos falar das progressões aritméticas.

PA é uma sequência que possui um termo inicial, geralmente chamado de a₁ e uma razão r. A partir do primeiro termo e da razão, obtemos os termos seguintes da seguinte forma:

a₂ = a₁ + r
a₃ = a₂ + r = (a₁ + r) + r = a₁ + 2r
a₄ = a₃ + r = (a₁ + 2r) + r = a₁ + 3r
...

Desta forma podemos deduzir que a fórmula do termo geral da sequência é:
an = a₁ + (n-1)*r

Ficando:
a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , .... , an uma sequência com n termos. 

Já conseguimos obter a fórmula do termo geral da PA. Outro dado bastante importante de se conseguir calcular é a soma de todos os termos de uma sequência, e na PA não poderia ser diferente.

Então o que queremos é a soma dos termos da PA, esta soma nada mais é do que:

S = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + .... + an, ou ainda

S = a₁ + (a₁ + r) + (a₁ + 2r) + (a₁ + 3r) + ... + [a₁ + (n-1)r]. 

Observe bem e perceba que a soma de todos os termos equidistantes ao centro desta sequência são iguais. Vou ser mais claro.

Se somarmos o 1º termo ao último, é a mesma coisa que somarmos o 2º ao penúltimo, e o 3º ao antepenúltimo ....
Veja:

Somando o 1º ao último
a₁ + an = a₁ + [a₁ + (n-1)r] = 2a₁ + (n-1)r = 2a₁ + n*r- r = 2a₁ + r*(n - 1)

Somando o 2º ao penúltimo:
a₂ + an-1 = (a₁ + r) + [a₁ + (n-2)r] = 2a₁ + r + (n-2)r = 2a₁ + r + n*r - 2r = 2a₁ + n*r - r = 2a₁ + r*(n - 1)

Somando o 3º ao antepenúltimo:
a₃ + an-2 = (a₁ + 2r) + [a₁ + (n-3)r] = 2a₁ + 2r + n*r - 3r = 2a₁ + n*r - r = 2a₁ + r*(n - 1)

Percebeu? Sempre teremos 2a₁ + r*(n - 1).

Desta forma fica fácil calcular a soma da PA, pois como:
S = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + .... + an = (a₁ + an) + (a₂ + an-1) + (a₃ + an-2) + ... Onde a soma dentro de cada parênteses desses é igual a [2a₁ + r*(n - 1)]. Ainda, como temos n termos na sequência, teremos (n/2) "parênteses". Assim:

S = [2a₁ + r*(n - 1)] + [2a₁ + r*(n - 1)] + [2a₁ + r*(n - 1)] + ... = (n/2)*[2a₁ + r*(n - 1)]
ou, se conhecemos o último termo da PA:
S = (a₁ + an)*(n/2) ou, se conhecemos o segundo termo e o penúltimo
S = (a₂ + an-1)*(n/2).
...

De acordo com os dados do problema, qualquer uma das fórmulas da soma pode ser aplicada. O que facilita nesse caso é o fato da soma dos termos equidistantes ao centro da sequência ser sempre igual.

Enfim, gosto muito de trabalhar com letras, pois com elas obtemos respostas que podem ser aplicadas sempre. Se deseja conferir, faça uma série de PA de quantos termos desejar, e verifique as propriedades citadas acima.

Exemplo:
Calcule a soma dos números positivos múltiplos de 9 menores que 100.

Solução:
Sabemos que o primeiro termo (a1) é 9 e que esta é a razão também, pois queremos os números múltiplos de 9, ou seja:
9, 18, 27, ...

Como eles devem ser menor que 100, devemos achar o maior número múltiplo de 9 menor que 100, e este número é o 99

Assim, a PA terá 11 termos, pois:
an = a1 + (n-1)*r
99 = 9 + (n-1)*9
90 = 9*(n-1)
n-1 = 10

n = 11

Da fórmula da soma da PA:

S = (a1 + an)*(n/2)
Assim:

S = (9 + 99)*(11/2) = (108)*(11/2) = 54*11 = 594


Exercício Resolvido - Queda livre

  22:24   ,   No comments   Edit
Considere uma mulher que cai de 43 metros do topo de um edifício sobre uma caixa metálica que afunda 45cm. A mulher sobrevive sem ferimentos graves. Suponha que a acereleração na colisão é constante. Determine o valor da desaceleração da colisão.

Solução:
Considerando g = 10m/s² sabemos que a velocidade dela ao atingir a caixa é de:
V² = Vo² + 2*g*H
Como Vo = 0
V² = 2*10*43
V² = 860
V = 29,33m/s

Ela percorre 0,45m até parar no choque. Utilizando a mesma fórmula, só que agora queremos velocidade final nula, temos:
V² = Vo² + 2*a*H'
0² = 29,33² + 2*a*0,45
0,9*a = -860
a = -955,56m/s²

O sinal negativo é coerente, já que é uma desaceleração.

Exercícios relacionados:
http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2012/01/mruv.html
http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2012/01/queda-livre.html


Lançamento oblíquo

  22:18   , ,   No comments   Edit
Uma bola é lançada verticalmente para cima, e demora 2,22 segundos até atingir 36,8m. Determine:

a-) a velocidade inicial;
b-) a velocidade na altura de 36,8m;

c-) a distancia adicional que o corpo percorre até parar.


Solução:
Adotando g = 10m/s²
a) Da equação H = Vo*t - g*t²/2

O sinal negativo de g é pelo fato de o sentido de g ser contrário ao da velocidade.
36,8 = Vo*2,22 - 10*2,22²/2
61,442 = Vo*2,22
Vo = 27,68 m/s

b) V = Vo - g*t = 27,68 - 10*t = 27,68 - 22,2 = 5,48m/s

c)V² = Vo² - 2*g*H
Como a velocidade final é zero:
0² = 27,68² - 2*10*H
20H = 766,18
H = 38,31m



Exercício resolvido - Queda Livre

  21:56   ,   No comments   Edit
Uma chave de fenda cai de uma construção e atinge o solo com velocidade de 24m/s. Determine:
a-) a altura inicial antes da queda;
b-) o tempo de queda.

Solução:
A velocidade final é de 24m/s. Vou assumir que a aceleração da gravidade é 10m/s²
a) Pela equação V² = Vo² + 2*a*h, temos que:
24² = 0² + 2*10*h
576 = 20*h
h = 28,8m

b)
h = g*t²/2
h = 10*t²/2
28,8 = 10*t²/2
57,6 = 10*t²
5,76 = t²
t = 2,4s

Exercícios relacionados:
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Números complexos

  21:14   ,   No comments   Edit
Calcule (1-i)⁹⁶ + (1-i)⁹⁷

Solução:

Para fazer este exercício é interessante colocar os números complexos na forma trigonométrica:

1-i = √2*[Cis(-π/4)]

onde Cis(a) = Cos(a) + i*Sen(a)

Assim:

(1-i)⁹⁶ = (√2)⁹⁶*[Cis(-96*(π/4))] = 2⁴⁸*[Cis(-24π)] = 2⁴⁸[Cis(2π)] = 2⁴⁸

(1-i)⁹⁷ = (√2)⁹⁷*[Cis(-97*(π/4))] = (√2)⁹⁷*[Cis(-π/4)] = (√2)⁹⁷*[Cos(π/4) - i*Sen(π/4)] =
(1-i)⁹⁷ = (√2/2)*(√2)⁹⁷*(1-i) = 2⁴⁸*(1-i) = 2⁴⁸ - i*2⁴⁸

(1-i)⁹⁶ + (1-i)⁹⁷ = 2⁴⁸ + 2⁴⁸ - i*2⁴⁸ = 2⁴⁸*(2-i)


Dedução da fórmula da soma da PG por indução.

  15:52   ,   5 comments   Edit

Fórmula da soma da PG (Progressão Geométrica) - DEDUÇÃO

Uma PG é definida por um termo inicial (a1) e uma razão (q). Cada termo desta sequência é o anterior multiplicado da razão, assim a sequência fica:
Progressão Geométrica
A soma dos termos de uma Progressão Geométrica nada mais é do que:
Progressão Geométrica
1 - Utilizando o método da indução finita para calcular a Soma da PG:
Provaremos que a Soma da PG é dada por:
Progressão Geomátrica
1º) Veremos se a fórmula é válida para n = 1:
O que é verdadeiro, já que o resultado da Soma de uma Progressão Geométrica com apenas um termo é ele mesmo.

2º) Supomos que a fórmula da Soma da PG é válida para um valor "n" aleatório:
Soma de uma progressão geométrica
3º) Partindo da hipótese assumida acima, devemos chegar que a fórmula da Soma da PG é válida para "n+1":

A soma "S(n+1)" será a soma de todos os termos da PG até n (Sn) mais o termo a1*q^(n), tendo assim:
Progressão geométrica
Porém, pela suposição assumida em 2º, temos:
Que pode ser escrito como:
Progressão Geométrica

Logo, a fórmula da Soma da PG é verdadeira.

Outra forma de deduzir a fórmula da Soma da PG

Agora, para aplicar o método, multiplicamos a Soma da PG por 'q', tendo:
Progressão Geométrica
Agora fazemos a seguinte subtração:
Progressão Geométrica
Perceba que vários dos termos serão anulados por serem iguais, restando apenas:
Progressão Geométrica
isolando os termos:

Progressão Geométrica

  Progressão Geométrica


Pra descontrair: E enquanto isso...

  23:57   1 comment   Edit
... no horário do rodízio em um restaurante churrascaria e pizzaria ...


Estômago: - Cara, manera aê o que vai comer. Essa semana foi foda. Manda uns vegetais pra dentro, porque as coisas no intestino tão feias.
Primeiro prato (800 g): Arroz, feijoada, costela de porco, picanha, coração de galinha e tomate.
Estômago: - Tá de sacanagem, né? Duas rodelas de tomate? E essas carnes malpassadas? Pelo menos mastiga direito essa porra.
Segundo prato (550 g): Arroz, costelão 12 h, picanha, alcatra e salada de maionese.
Estômago: - Chega de carne, cara, não cabe mais nada aqui. Lembra daquela úlcera? Tá faltando pouco pra cicatriz abrir. Tu quer fuder com tudo, né ? Manda um pouco de água.
Bebida: Cerveja 600 ml.
Estômago: - Seu imbecil, eu falei um pouco de água.
Eu: - Ué, Cerveja tem água. E ainda é diurético.
Estômago: - Cerveja tem o inferno dentro, porra. Tá fudendo aqui com o suco-gástrico.
Esposa: - Amor, com quem você tá falando?
Eu: - Nada, não, tô pensando alto.
Sobremesa: 300 g de pudim.
Estômago: - Eita porra, cabe mais não. Tá ouvindo? 
Intestino: - O que tá acontecendo aí em cima? Que zona é essa?
Estômago: - O cara tá empurrando comida. Agora veio pudim pra dentro. Não sei mais o que fazer.
Intestino: - Vamos mandar direto.
Estômago: - O quê?
Intestino: - É isso aí, operação descarga.
Estômago: - Cara, o cérebro não vai gostar.
Intestino: - Foda-se o cérebro, ele nunca veio aqui em baixo pra saber como são as coisas.
Estômago: - Vamos dar mais uma chance pra ele. Eu acho que ele não vai mais …
Bebida 2: Cafezinho c/ bastante açúcar.
Estômago: - Filho de uma puta. Vou explodir.
Intestino: - Operação descarga iniciando. Anda, libera o canal do duodeno que eu já tô conversando com o esfíncter.
Coração: - Que que tá havendo aí embaixo? A adrenalina tá aumentando muito.
Intestino: - Operação descarga.
Coração: - Quem autorizou isso? O cérebro não me mandou nada.
Estômago: - Foda-se aquela geleia! Nem músculo tem.
Intestino: - É isso aê, foda-se essa geléia inútil. Vinte segundos pra abrir o esfíncter anal. Quero ver o ânus arder com esse suco gástrico.
Esposa: - Amor, você tá passando bem? Tá suando todo, aonde você vai?
Eu: - Preciso ir ao banheiro, urgente. Paga a conta e me espera no carro.
Esposa: - O que você comeu?
Eu: - Não sei. Acho que foi o tomate.


Exercício Resolvido - Conjuntos

  22:47   ,   4 comments   Edit
Em uma pesquisa realizada num grupo de 100 alunos, constatou-se que 42 falam inglês, 12 falam inglês e francês, 18 falam espanhol e inglês e 16 falam espanhol e francês. O numero de alunos que falam espanhol é precisamente 50% maior que i número daqueles que falam francês. Com base nessas informações, julgue os itens abaixo como verdadeiros ou falsos.

( ) O numero de alunos que falam frances é igual a 0,6 do numero dos que falam espanhol.

( ) Se 9 dos alunos consultados falam 3 linguas e 5 não falam nenhuma delas, então mais da metade dos alunos falam francês.

( ) Se 9 dos alunos consultados falam as três linguas e 5 não falam nenhuma delas, então exatamente 24 desses alunos não falam apenas inglês.

Solução:
Total: 100 alunos
Línguas: Inglês, francês e espanhol.
Podemos ter alunos que:
Não falam nada: N
Falam só inglês: In
Falam só francês: F
Falam só espanhol: E
Inglês e francês: InF
Inglês e espanhol: InE
Espanhol e francês: EF
Inglês, espanhol e francês: InEF

Sabemos que:
In + F + E + InF + InE + EF + InFE + N = 100          (1)
42 = In + InE + InF + InEF                                         (2)
12 = InF + InEF                                                          (3)
18 = InE + InEF                                                          (4)
16 = EF + InEF                                                           (5)
E + EF + InE + InEF = 1,5*(F + EF + InF + InEF)  (50% maior). 
Trabalhando essa igualdade:

E + InE = 1,5F + 0,5EF + 1,5InF + 0,5InEF               (6)

Assim, usando (2) em (1):
42 + F + E + EF + N = 100
F + E + EF + N = 58                                                  (7)

Primeira afirmação:
Falsa, pois o número de alunos que falam espanhol é precisamente 50% maior que o número daqueles que falam francês.
Assim, vou chamar de EE os alunos que falam espanhol (E + InE + EF + InEF) e de FF (F + EF + InF + InFE) os que falam francês.
Do exercício temos que:
EE = 1,5FF, logo
FF = 0,666666EE, e não 0,6 apenas.

Segunda afirmação:
InFE = 9 e N = 5, então FF > 50.
De (3), InF = 3
De (4), InE = 9
De (5), EF = 7
De (2), In = 21
Combinando todos esses dados em (1):
21 + F + E + 3 + 9 + 7 + 9 + 5 = 100
F+E = 46
Usando (6):
E + 9 = 1,5F + 0,5*7 + 1,5*3 + 0,5*9
E - 1,5F = 3,5

Tendo o sistema:
E + F = 46
E - 1,5F = 3,5
2,5F = 42,5
F = 17
Assim, FF = F + InF + EF + InFE = 17 + 3 + 7 + 9 = 36 < 50, falsa.

Terceira afirmação:
Falsa também. Já que o número de alunos que falam apenas inglês é 21, sendo, portanto, o número dos que NÃO falam apenas inglês 100-21 = 79


Exercício Resolvido - Número de elementos de conjuntos

  20:55   ,   9 comments   Edit
Se X é um conjunto com um número finito de elementos, n(X) representa o número de elementos do conjunto X. Considere A,B e C com as seguintes propriedades:

n(A U B U C) = 25
n(A - C) = 13
n(B - A) = 10
n(A ∩ C) = n[C - (A U B)]
Qual o maior valor possível de n(C) ?

Solução:

Da primeira informação do exercício temos que C pode ter 25 elementos
De n(A - C) = 13, temos que A possui 13 elementos que C não possui. Combinada com a informação anterior, podemos concluir que C pode ter então, no máximo 12 elementos.

Neste ponto, vamos então supor que n(C) = 12. Se for menos, haverá alguma contradição com as informações do exercício.

Relações:
n(X ∩ Y) = n(X) + n(Y) - n(X U Y)
n(X - Y) = n(X) - n(X ∩ Y)

Assim:
Adotando que (A U B) = K, para simplificar, de n(A U B U C) = 25 temos:
n(K U C) = n(K) + n(C) - n(K ∩ C)
n(K U C) = n(K) + 12 - n(K ∩ C) = 25
n(K) - n(K ∩ C) = 13
Mas:
Equação 1) n(K) - n(C ∩ K) = n(K - C) = 13

De n(A - C) = 13 temos:
n(A) - n(A ∩ C) = 13
Equação 2) n(A)  = n(A ∩ C) + 13

De n(A ∩ C) = n[C - (A U B)] temos:
n(A ∩ C) = n(C - K)
Usando a equação 2)
Equação 3) n(A) - 13 = n(C - K)
Mas:
n(C - K) = n(C) - n(C ∩ K)
Usando a equação 1)
n(C - K) = n(C) + 13 - n(K)
Assim:
n(A) - 13 = n(C) + 13 - n(K) = 12 + 13 - n(K) = 25 - n(K)
Equação 4) n(A) = 38 - n(K)

De n(B - A) = 10 temos:
n(B - A) = n(B) - n(B ∩ A) = n(B) - [n(B) + n(A) - n(B U A)] = 10
n(B - A) = n(B) - n(B) - n(A) + n(K) = 10
n(B - A) = - n(A) + n(K)
Usando equação 4)
n(B - A) = -38 + n(K) + n(K) = 10
2*n(K) = 48
n(K) = 24
n(A) = 14
n(C - K) = n(A ∩ C) = 1
n(C ∩ K) = 11

Temos que:
n(K ∩ C) = n[(A U B) ∩ C] = n[(A ∩ C) U (B ∩ C)] = n(A ∩ C) + n(B ∩ C) - (A ∩ B ∩ C) = 11
Equação 5) n(A ∩ C) + n(B ∩ C) - (A ∩ B ∩ C) = 11

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + (A ∩ B ∩ C)
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - [n(A ∩ C) + n(B ∩ C) - (A ∩ B ∩ C)]
Usando a equação 5) temos
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - 11
Substituindo valores
25 = 14 + n(B) + 12 - 1 - 11
n(B) = 11

Ou seja, temos resultados viáveis considerando que n(C) = 12. Como este é o maior valor possível segundo as duas primeiras hipóteses, então n(C) não pode ser mais que 12. Logo, o máximo de elementos que C pode ter é 12.

Uma solução numérica seria:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14};
B = {14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24};
C = {14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}.


Exercício Resolvido - Divisão e produto de polinômios

  18:19      No comments   Edit
Dividindo-se o polinômio A(x)=x³-2x²-x+2 pelo polinômio B(x),obtém-se o quociente Q(x)=x-3 e o resto R(x)=3x-1, é verdade que:

a)B(2)=2 
b)B(-2)=1

Solução:

Temos que:
(x-3)*B(x) + 3x-1 = x³ - 2x² - x + 2
(x-3)*B(x) = x³ - 2x² - 4x + 3
B(x) = (x³ - 2x² - 4x + 3)/(x-3)

Assim:
B(2) = (2³ - 2*2² - 4*2 + 3)/(2-3) = (8 - 8 - 8 + 3)/(-1) = 5 (Letra 'a)' esta incorreta)
B(-2) = [(-2)³ -2*(-2)² - 4*(-2) + 3]/(-2-3) = (-8 - 8 + 8 + 3)/(-5) = -5/-5 = 1 (Letra 'b)' esta correta)


Exercício Resolvido - Divisão e multiplicação de polinômios

  18:11      No comments   Edit
O resto da divisão do polinômio p(x) por (x-1)³ é polinômio r(x). sabendo-se que o resto da divisão de r(x) por (x-1) é igual a 5, encontre o valor de p(1):

Solução:


Da imagem podemos ver que:
r(x) = q(x)*(x-1) + 5
p(x) = Q(x)*(x-1)³ + r(x)

p(x) = Q(x)*(x-1)³ + q(x)*(x-1) + 5
p(1) = Q(1)*(1-1)³ + q(1)*(1-1) + 5
p(1) = Q(1)*0 + q(1)*0 + 5 = 5
p(1) = 0


Exercício Resolvido - Divisão de polinômios

  18:01      No comments   Edit
Dividindo-se um polinômio p(x) por (x-4),obtém-se quociente (x²-3x-9) e resto 8. determine o valor de p(1): 

Solução:

 Com a figura acima fica mais fácil visualizar que:
p(x) = (x² - 3x - 9)*(x-4) + 8
p(x) = x³ - 4x² - 3x² + 12x - 9x + 36 + 8
p(x) = x³ - 7x² + 3x + 44
p(1) = 1 - 7 + 3 + 44 = 41


Exercício Resolvido - Escala térmica

  17:29      No comments   Edit
Uma determinada escala de temperatura, denominada A, é graduada de tal forma que se baseia nos seguintes
pontos fixos:
- ponto de fusão do gelo (que, na escala Celsius, corresponde a 0 °C) vale 100 °A;
- ponto de ebulição da água (que, na escala Celsius, corresponde a 100 °C) vale 1.000 °A.
Quanto vale, na escala A, a temperatura de 30 °C? 

Solução:

Veja as escalas;
Como podemos observar na figura, a escala em °C é dividida em 100 partes, ou seja, vai de 0 a 100, e a escala °A é dividida em 900 partes, vai de 100 a 1000. Desta forma, cada °C aumentado, significa um aumento de 9°A. Logo, ao aumentarmos 30°C, aumentamos 30*9 = 270°A. Porém a escala °A começa do 100°A. 
Logo, 
30°C = 370°A.


Exercício Resolvido - Dilatação térmica

  17:10      No comments   Edit
Uma barra de cobre de comprimento L = 2,0 m é exposta ao calor, sofrendo aumento de temperatura ΔT = 100 °C. Devido à dilatação térmica linear do material, ocorre expansão da barra.
Qual a variação do comprimento da barra?
Dados: αCu = 1,6 x 10¯⁵ °C¯¹

Solução:

Fórmula da variação linear:
L - Lo= Lo*α*ΔT = 2*0,000016*100 = 0,0032 m = 3,2 cm


Exercício Resolvido - Conjuntos

  16:54   ,   3 comments   Edit
Em um hotel há 100 pessoas, 30 comem porco, 60 comem galinhas e 80 comem alface. Qual é o maior número de pessoas que não comem nem porco nem galinha?

Solução:

Sei que 70 não comem porco, 40 não comem galinhas e 20 não comem alface.

Das 70 que não comem porco, podemos ter que 40 delas, não comam galinha também. Desta forma, 40 não comem nem galinha nem porco. Dessas 40, 20 podem não comer alface. Assim:

O número máximo das pessoas que não comem carne é 40, e que não comem nenhuma das comidas, 20.

Assim fica:

20 não comem NADA
30 comem os 3
30 comem galinha e alface
20 comem só alface.


Exercício Resolvido - Número de elementos de um conjunto

  16:27   ,   7 comments   Edit
Dados os conjuntos A, B e C tais que:
n(B U C) = 20; 
n(A ∩ B)= 5; 
n(A ∩ C)= 4; 
n(A ∩ B ∩ C) = 1; 
n(A U B U C) = 22. 

Nessas condições, o número de elementos de A - ( B ∩ C) é igual a:

a)10
b)9
c)8
d)7
e)6

Solução:

Dados:
n(B U C) = 20
n(A ∩ B)= 5 -> A e B tem 5 elementos em comum.
n(A ∩ C)= 4 -> A e C tem 4 elementos em comum.
n(A ∩ B ∩ C) = 1 -> Existe 1 elemento que é comum aos três conjuntos
n(A U B U C) = 22

n(B U C) = n(B) + n(C) - n(B ∩ C)
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Da segunda equação temos:
22 = n(A) + n(B) + n(C) - 5 - 4 - n(B ∩ C) + 1 = n(A) + n(B) + n(C) - 8 - n(B ∩ C)
30 = n(A) + n(B) + n(C) - n(B ∩ C)

Da primeira equação temos:
20 = n(B) + n(C) - n(B ∩ C)

Fazendo a subtração delas:
30 = n(A) + n(B) + n(C) - n(B ∩ C)
20 = n(B) + n(C) - n(B ∩ C)
10 = n(A)

Das afirmações do exercícios, sabemos que existe apenas 1 elemento que pertence a todos os conjuntos.
Desta forma, B ∩ C tem apenas 1 elemento que pertence ao conjunto A. 
Assim:
A - ( B ∩ C) = 10 - 1 = 9
Letra b)


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