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Exercício Resolvido - Fatoração

Fatore a expressão abaixo:
a - 18a² + 81

Solução:
Para facilitar, vou adotar as seguintes substituições:
a⁴ = c²
Assim:
c² - 18c + 81 = c² - 2*(9c) + 9² = (c – 9)² = (a² - 9)²
Mas a² - 9 é uma diferença de dois quadrados:
a² - 9 = (a – 3)(a + 3)
Tendo, portanto:
(a² - 9)² = [(a – 3)(a + 3)]²


Exercícios Resolvidos - Fatoração

Fatore as expressões abaixo:
a) a⁴ - 1
b) a⁶ - 1

Solução:
a)
Aplicando fatoração de diferença de quadrados:
a⁴ - 1 = [(a²)² - 1²]
[(a²)² - 1²] = (a² - 1)(a² + 1)
Perceba que a² - 1 é uma diferença de quadrados também.
(a² - 1)(a² + 1) = (a - 1)(a + 1)(a² + 1)

b)
Aplicando diferença de quadrados:
a⁶ - 1 = [(a³)² - 1²]
[(a³)² - 1²] = (a³ - 1)(a³ + 1)
Agora temos a multiplicação de dois polinômios do 3º grau. Sabe-se que, todo polinômio de grau ímpar possui, pelo menos, uma raiz real, ou seja, pode ser fatorado. Para isso devemos achar as raízes dos polinômios:

Raízes de a³ - 1:
a³ - 1 = 0
a³ = 1
a = 1, a = (-1/2) + (√3/2) i (complexa, não interessa) e a = (-1/2) - (√3/2) i (complexa, não interessa)
Logo:
a³ - 1 = (a-1)(a² + A*a + B)
a³ - 1 = a³ + A*a² + B*a - a² - A*a - B
a³ - 1 = a³ + a²*(A - 1) + a*(B - A) - B
Assim:
A - 1 = 0
A = 1
B - A = 0
B = A = 1

Desta forma:
a³ - 1 = (a-1)(a² + a + 1)

Raízes de a³ + 1:
a³ + 1 = 0
a³ = -1
a = -1, a = (1/2) + (√3/2) i e a = (1/2) - (√3/2) i

Assim:
a³ + 1 = (a+1)(a² + A*a + B)
a³ + 1 = a³ + a²*(A + 1) + a*(A + B) + B
A + 1 = 0
A = -1
A + B = 0
B = -A = 1
a³ + 1 = (a + 1)(a² - a + 1)

Por fim:
a⁶ - 1 = (a³ - 1)(a³ + 1) = (a-1)(a² + a + 1)(a+1)(a² - a + 1)