Exercício resolvido - Derivada de função inversa

Sendo f(x) = x³ + x² + 4x, calcule a derivada de sua função inversa no ponto o qual y = 6.
Essa questão foi tirada do livro "Fundamentos de Matemática Elementar Vol 8".

Solução:
Dedução do teorema da derivada inversa.

Seja f(x) = y uma função de x.
Assim, seja 'g' a inversa de f(x), ou seja, g(y) = x.

Exemplo:
f(x) = 3x + 4
y = 3x + 4
x = (y - 4) / 3 = g(y)

Vale ressaltar que a função do exemplo é bijetora em qualquer intervalo real. Por isso admite inversa em qualquer intervalo.
O que queremos é a derivada da inversa de f(x), ou seja, g ' (y).

Sebe-se que
g(y) = x
Logo, f(g(y)) = y

Utilizando o teorema da derivada composta, derivando dos dois lados em relação a y, temos:
f '(g(y))*g '(y) = 1
g '(y) = 1 / f '(g(y))
Mas g(y) = x
g '(y) = 1 / f '(x)

Voltando ao exercício: f(x) = x³ + x² + 4x
f '(x) = (3x² + 2x + 4)

Logo:
g '(y) = 1 / (3x² + 2x + 4)

Para y = 6, devemos achar o valor de x:
x³ + x² + 4x = 6
x³ + x² + 4x - 6 = 0

Por inspeção, percebemos que x = 1 satisfaz.
Como a função é bijetora, só admite uma solução. Porém, toda equação do terceiro grau, tem 3 soluções. Logo, as outras duas devem ser complexas.

Verificando:
Como x = 1 é raiz:
x³ + x² + 4x - 6 = (x-1)*(x² + ax + b)
x³ + x² + 4x - 6 = x³ + ax² + bx - x² - ax - b

b = 6
a = 2
x³ + x² + 4x - 6 = (x-1)*(x² + 2x + 6)
E de fato, as raízes de x² + 2x + 6 são complexas.!

Logo:
g '(y) = 1 / (3x² + 2x + 4)
g '(6) = 1 / (3*1² + 2*1 + 4) = 1 / (3+2+4) = 1/9


10 comentários:

  1. Valeu! Não sei nem como agradecer, brigadão mesmo! Eu travei nessa equação do terceiro grau, não fazia mínima de como encontrar as raízes. Enfim, agora posso dormir mais tranquilo rsrs

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  2. Só mais uma coisa: Quando a função é bijetora, ela tem necessariamente apenas uma raiz real? Não sabia disso...

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  3. Sim. Ser bijetora significa que para cada valor de x existe um e apenas um valor de f(x), ou, dizendo o mesmo só que de outra forma, para cada valor de f(x) existe apenas um valor de x.
    Por exemplo:
    f(x) = (x-3)*(x-4)
    não é uma função bijetora, pois para f(x) = 0, temos dois valores de x (x = 3, x = 4).
    Entendeu?

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  4. Olá novamente! Peguei uma questão aqui que me tirou algumas horas de sono, mas consegui resolver. Porém, não fiquei satisfeito com a minha resolução, visto que estou na faculdade e só utilizei recursos aprendidos no ensino médio, ou seja, nada de derivadas, integrais e talz. A questão é de minimização e envolve geometria analítica. Veja só:

    - Traçar uma tangente à elipse 2x² + y² = 2 de modo que a área do triângulo que ela forma com os eixos coordenados positivos seja mínima. Obter as coordenadas do ponto de tangência e a área mínima.

    Valeu

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  5. Pedro, vou tentar ver se arrumo um tempo para fazer essa questão, mas não vou poder garantir cara. Começou minha semana de provas... Mas tendo tempo, vou tentar lhe ajudar.

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  6. A expressão da derivada y' para a função y=f(x) dada implicitamente pela expressão x^3=x+y/x-y

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  7. alguém pode me ajudar a calcular a derivada da função f(x) ( 3x²+x ) . (1+x+x³) e a função f(x) ( 2+x)²

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  8. Um pouco feliz com os exercicios mas o que mi colocou mas acioso foi o exemplo resolvido que ainda esta expressa em funcao do y enquanto e dada em funcao de x

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  9. Upssss! sim senhor, xtava mxmo sem saidas com o esse exercicio, muitissimo obrigad!

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