Exercício resolvido - Integral - Cálculo da área abaixo das curvas

Calcule a área gerada pela intersecção das curvas:
y1 = x³ - 6x² + 8x
y2= x² - 4x


Solução:
Para a solução desse tipo de exercício é recomendável que se estime as curvas para saber os intervalos de integração.
Por se tratarem de polinômios, este dado não é difícil de se obter.
Fazendo para y1 = x³ - 6x² + 8x = x(x² - 6x + 8)

Encontrando as raízes:
x(x² - 6x + 8) = 0
x = 0
x² - 6x + 8 = 0
Soma = 6
Produto = 8
Logo, as raízes são 4 e 2
(Este método de obtenção das raízes pela soma e produto é baseado na intuição, ou seja, verifica-se a soma das raízes (-b/a) e o produto delas (c/a) e se for possível observar os valor das raízes, como nesse caso, então não é necessário calculá-las).

Fazendo o limite de y1 para x tendendo ao infinito, temos y1 tendendo ao infinito.
O mesmo para x tendendo a -infinito -> y1 tende a -infinito.

Desta forma podemos estimar como este gráfico se comporta, veja:
Ele começa de -infinito, corta o eixo x para x = 0 e depois num ponto para x = 2 (certamente tem um ponto de máximo entre esses pontos). Após isso, corta o eixo x para x = 4 e cresce até o infinito.

Analisando y2 = x² - 4x. Como é uma equação do 2º grau, é bem fácil determinar esta curva.
Ela possui raízes x = 0 e x = 4. Como o coeficiente de x² é positivo, sua concavidade é para cima.
Com isso, pode-se estimar as duas curvas:
Integral da área entre duas curvas
Em azul a curva de y1, em preto a curva de y2 e em amarela a área a ser calculada.

Agora, fica mais fácil fazer o exercício.
Devemos obter, inicialmente, os pontos onde as curvas se cortam.

Para isso, basta igualar as equações:
x² - 4x = x³ - 6x² + 8x
x(x - 4) = x(x² - 6x + 8)
x = 0 é uma solução

x-4 = x² - 6x + 8
x² - 7x + 12 = 0

Soma = 7
Produto = 12
Raízes: x = 4 e x = 3 são outras soluções.

Logo, as curvas se interceptam para:

x = 0, x = 3 , x = 4
y = 0, y = -3, y = 0

Pontos:
(0,0) , (3,-3) , (4,0)

Agora, observando a figura, temos que a primeira área varia, em x, de 0 a 3, e em y, de y2 a y1 ficando:

A segunda área varia, em x, de 3 a 4, e em y, de y1 a y2. Perceba um detalhe, que nesta segunda área a variação de y é trocada, por isso a área não pode ser calculada numa vez só, ou seja, com x variando de 0 a 4 e y de y2 a y1, pois se assim fosse feito, esta segunda área seria computada como negativa.
Assim, a área total é A1 + A2 = (135 + 7)/12 = 71/6



12 comentários:

  1. Ei cara, tem como você resolver uma questão de derivadas? Já tentei de todas as formas e não consegui de jeito nenhum. Lá vai a questão:
    - Sendo f(x) = x³ + x² + 4x, calcule a derivada de sua função inversa no ponto o qual y0 = 6.

    Essa questão foi tirada do livro "Fundamentos de Matemática Elementar"

    Vlw, abraço!

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  2. Este comentário foi removido pelo autor.

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  3. Por isso que não achavá o resultado tá fazendo de 0 a 4 e o resultado erra negativo valeww pela explicação

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  4. Por isso que não achavá o resultado tá fazendo de 0 a 4 e o resultado erra negativo valeww pela explicação

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    1. Esse erro é muito comum. Mas que bom que conseguiu percebê-lo, melhor errar aqui do que na prova. :)

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  5. Olá gostaria de saber se tem como me ajudar com a seguinte questão, estou com dúvidas sobre ela.
    "Calcule a área da região limitada, pelas curvas y= x³ e as retas y= -1 e y =8."
    Queria saber como fazer os cálculos da tal integral definida e o gráfico.
    Valeu atenção

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  6. Será que teria como vc resolver um exercício sob cálculo de área pelas integrais. Segue as funções :
    g (x) = x^2 + x e h (x)= 2x^2 -2

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  7. Será que teria como vc resolver um exercício sob cálculo de área pelas integrais. Segue as funções :
    g (x) = x^2 + x e h (x)= 2x^2 -2

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  8. Pode resolver essa semana por favor!!! Encontre a área da região limitada pelas curvas y - x = 6 e y – x³ = 0 e 2y + x = 0

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