Cálculo I: Números Reais

Neste post falaremos dos Números Reais e suas propriedades na introdução ao Cálculo.

O conjunto dos números reais (ℝ) é formado pela união dos conjuntos Naturais (ℕ), Inteiros (ℤ), Racionais (ℚ) e Irracionais (𝕀).

No conjunto dos números Naturais (ℕ) existe uma propriedade importante, denominada Princípio da Indução Finita (para mais detalhes, clique aqui). Essa propriedade é muito utilizada no estudo de sequências.

Com as propriedades existentes no conjunto dos ℝ, assim como no conjunto dos ℕ, ℤ e ℚ, é possível que se defina as operações de ADIÇÃO e MULTIPLICAÇÃO. Neste ponto definimos o que é um Corpo.

Definição 1: Um corpo é um conjunto M diferente de vazio que possui duas operações: ADIÇÃO ⊕ e MULTIPLICAÇÃO ⊗ de modo que satisfaça as seguintes propriedades:

a) Associativa: Dados a,b,c ∈ M são verdadeiras as seguintes relações:

(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)

(a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)

b) Comutativa: Dados a,b ∈ M, são verdadeiras as seguintes relações:

a ⊕ b = b ⊕ a

a ⊗ b = b ⊗ a

c) Elemento neutro da adição: Deve existir 0 ∈ M tal que a ⊕ 0 = a, para todo a ∈ M.

d) Elemento neutro da multiplicação: Deve existir 1 ∈ M, tal que a ⊗ 1 = a, para todo a ∈ M.

e) Elemento simétrico ou oposto da adição: Deve existir -a ∈ M para cada elemento a ∈ M tal que:

a ⊕ (-a) = 0 (elemento neutro da adição).

f) Elemento inverso da multiplicação: Deve existir a⁻¹ ∈ M* para cada a ∈ M de forma que:

a ⊗ (a⁻¹) = 1 (elemento neutro da multiplicação)

g) Propriedade distributiva da multiplicação de uma adição: Para quaisquer elementos a, b, c ∈ M, deve ser válida a seguinte igualdade:

a ⊗ (b ⊕ c) = a ⊗ b ⊕ a ⊗c

De posse dessa definição temos que, dos conjuntos acima mencionados, apenas os conjuntos ℝ e ℚ satisfazem a definição acima para as operações de adição e multiplicação usuais e, portanto, podem ser chamados de Corpo.

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Exercícios resolvidos:

Exercício 1: Mostre que o conjunto dos números Racionais (ℚ) forma um corpo segundo as operações de adição e multiplicação usuais:

O conjunto ℚ é formado por números que podem ser escritos por:

Onde tanto a quanto b são números Inteiros (ℤ), onde b ≠ 0.
Sejam os três números Racionais a seguir:

Vamos verificar as propriedades:

Propriedade a) Associativa:
Esta propriedade é válida para a soma e a multiplicação usuais já que, para quaisquer a,b,c,d,e,f ∈ ℤ são verdadeiras as igualdades:

Propriedade b) Comutativa:
Esta propriedade é válida para a soma e a multiplicação usuais já que, para quaisquer a,b,c,d ∈ ℤ são verdadeiras as igualdades:

Propriedade c) Elemento neutro da adição:
É válida pois o 0 pertence ao conjunto dos números Racionais.


Propriedade d) Elemento neutro da multiplicação:
É válida pois o 1 pertence ao conjunto dos números Racionais.

Propriedade e) Elemento simétrico ou oposto da adição:
É válida pois para qualquer elemento que pertença aos Racionais, o seu simétrico também pertence.

Propriedade f) Elemento inverso da multiplicação:
É válida pois para qualquer elemento que pertença aos Racionais, o seu inverso também pertence.

Propriedade g) Propriedade distributiva da multiplicação de uma adição:
É válida pois para qualquer elemento que pertença aos Racionais, a igualdade abaixo é verdadeira:

Por satisfazer todas as propriedades, temos que os números Racionais formam um corpo.

Exercício 2: Por que o conjunto dos números Naturais (ℕ) não é um corpo?
Por não possuir números negativos contata-se que a propriedade e) não pode ser cumprida. Além dela, a Propriedade f) também não.

Exercício 3: Por que o conjunto dos números Irracionais (𝕀) não é um corpo?

Por não possuir os números 0 e 1, não satisfaz as Propriedades c) e d).
Surge, destas propriedades, a seguinte Proposição:

Proposição 1: Para todo conjunto que seja um corpo, é verdadeiro:
1 - O elemento neutro é único;
2 - A unidade é única;
3 - Para cada elemento x do conjunto, existe um único elemento simétrico;
4 - Para cada elemento x do conjunto, existe um único elemento inverso multiplicativo;
5 - Se a,b,c pertencem ao conjunto de tal forma que a+b = a+c então, b = c;
6 - Dados a,b que pertençam ao conjunto, é verdadeiro:
-(-a) = a
-(a+b) = (-a) + (-b)
(-a)*b = a*(-b)
(-a)*(-b) = a*b
7 - Dados a,b que pertençam ao conjunto, é verdadeiro dizer que:
a*b = 0 se, e somente se, a = 0 ou b = 0
8 - Dados a,b que pertençam ao conjunto e sejam diferentes de zero, é verdadeiro dizer que:
(a⁻¹)⁻¹ = a
(a*b)⁻¹ = a⁻¹ * b⁻¹

Definição 2: Um corpo ordenado é um corpo K que possua um subconjunto P não vazio denominada conjunto dos números positivos de K, tal que:
a) Para todo a,b ∈ P tem-se que a+b e a*b ∈ P.
b) Para cada a ∈ K uma e somente uma das afirmativas abaixo é verdadeira:
ou a = 0, ou a ∈ P ou -a ∈ P

Definição 3: Seja C um corpo ordenado e seja S um subconjunto não vazio de C, define-se que:
a) S é limitado superiormente em C caso exista algum termo a ∈ C que seja maior ou igual a todos os termos de S. Dizemos nesse caso que a é uma cota superior de S em C. Se a for a menor cota superior de S em C, chamamos a de supremo de S em C.
b) S é limitado inferiormente em C caso exista algum termo b ∈ C que seja menor ou igual a todos os termos de S. Dizemos nesse caso que b é uma cota inferior de S em C. Se b for a menor cota inferior de S em C, chamamos b de ínfimo de S em C.
c) S é limitado em C quando possui cota inferior e superior em C.

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Exercício resolvido:
Exercício 4: Mostre que o conjunto A = [3, 10) é limitado em ℝ.
De fato, basta tomarmos 2 ∈ ℝ e 15 ∈ ℝ, onde 2 é uma cota inferior e 15 é uma cota superior. No caso temos 3 como ínfimo de A em ℝ e 10 como supremo de A em ℝ.

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Em outras palavras, o supremo de um conjunto é um valor tal que seja maior ou igual a todos os valores do conjunto porém não existe valor "intermediário" entre ele e o maior valor do conjunto. Esta afirmação só é verdadeira quando o supremo é o próprio maior valor do conjunto.
O raciocínio análogo ocorre para o ínfimo, devendo ser ele o menor valor do conjunto.

Definição 4: Um corpo ordenado completo é um conjunto tal que todo subconjunto dele, limitado inferiormente, admite ínfimo nele.

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Exercício resolvido:
Exercício 5: Mostre que ℚ não é um corpo ordenado completo.
Dado o conjunto A = {x ∈ ℚ / x² > 2} temos que o ínfimo do conjunto √2 ∉ Q. Desta forma, este subconjunto de ℚ não possui ínfimo em ℚ, mas apenas em ℝ. (Veja também: Mostre que √2 não é Racional).

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O conjunto dos ℝ é um corpo ordenado completo.

PS: O conjunto dos números Naturais pode ser definido com o 0 (zero) ou sem ele. Esta definição fica a critério do professor.

Exercício Resolvido - Maximização de volume: Multiplicadores de Lagrange

Cálculo do máximo e do mínimo volume de uma caixa utilizando multiplicadores de Lagrange

Calcule o maior e o menor volume de uma caixa retangular cuja área deve ser de 1500 cm² e a soma das arestas 200 cm.

Solução:

Como se trata de um exercício de obtenção do máximo e do mínimo de uma função segundo algumas condições, o uso da teoria de multiplicadores de Lagrange se torna adequado.

Neste caso, teremos uma equação a ser maximizada e minimizada que é o volume. Chamando de a, b e c as arestas da caixa temos:

As condições que devemos obedecer são:

Condição de aresta:

Condição de área:

Com isso podemos construir a função de Lagrange:

Assim, as soluções que maximizam e minimizam o volume segundo as condições de área e de aresta são dadas pela solução do seguinte sistema:



Disso, temos que:

Da primeira equação:

Da segunda equação:

Aqui já podemos concluir que a = b

Veja também:

Exercício Resolvido - Multiplicadores de Lagrange

Utilizando este resultado nas duas últimas equações temos:

c = 50 - 2a

a² + 2ac = 750

Substituindo:

a² + 2a*(50 - 2a) = 750

3a² - 100a + 750 = 0

Neste último caso, temos uma equação do segundo grau em a, que tem como raízes:

Assim, como b = a e c = 50 - 2a temos os valores das arestas:

Portanto:

Perceba que a terceira equação não foi utilizada, nem mesmo a relação de a e b com os multiplicadores de Lagrange λ₁ e λ₂ de onde concluímos que a = b. O uso destas equações iria nos fornecer os valores dos multiplicadores, o que não nos interessa a não ser que seja necessário. Como não foi, não calculá-los, simplifica bastante o problema.

Abaixo, veja o gráfico tridimensional de: Volume x a x b onde c foi substituído por c = 50 - a - b.

Em azul, a linha que estabelece a condição de área (ab + ac + bc = 750) e em verde, os pontos onde a área é máxima e mínima segundo as condições impostas:

Veja apenas a curva em azul e os pontos:

Esboce o gráfico de 2x³ - 3x² - 3x +2

Esboço do gráfico de 2x³ - 3x² - 3x +2

Uma das ferramentas que o cálculo e nos proporciona é a possibilidade de esboçar o gráfico de uma função com o uso da derivada. Algumas etapas podem ser seguidas para a análise de uma função e obtenção de sua curva, são elas:

1º - Estabelecer o domínio da função. O domínio da função é importante pois limita a análise apenas onde importa. Além disso, pontos fora do domínio da função podem ser pontos inconsistentes, como no caso da função 1/x para x = 0.

2º - Cálculo das intersecções do gráfico com os eixos x e y. Nem sempre é possível calcular as intersecções com o eixo x, mas poder estimá-los já ajuda bastante.

3º - Verificar se é um função periódica. Se sim, analisa-se apenas o intervalo onde a função não se repete, após isso é possível conhecer o resultado para os demais pontos do domínio;

4º - Verificar se a função é par ou ímpar. Se for par, então ela é simétrica em relação ao eixo y. Se for ímpar, será simétrica mas rebatida em relação ao eixo x.

5º - Verificar como a função se comporta em pontos de descontinuidade e fronteiras do domínio.

6º - Se o domínio não for limitado, verificar o comportamento da função no infinito (positivo e negativo).

7º - Estuda da primeira derivada da função para achar onde a função é crescente ou decrescente e os pontos críticos (derivada = 0).

8º - Estudo da segunda derivada para verificar a concavidade da função, além de saber se os pontos críticos são pontos de máximo, mínimo ou inflexão.

9º - Por fim, verificar assíntotas. (Veja este exercício para determinar assintotas de uma função)

Para exemplificar, será feito o esboço do gráfico da função:

f(x) = 2x³ - 3x² - 3x +2, para x є (-2, 3).

1º - A função f(x) não apresenta restrição em seu domínio, porém o exercício pede a análise do gráfico apenas no intervalo (-2,3).

2º - Intersecção com o eixo y (ou seja, para x = 0):
f(0) = 2
Saber os pontos onde a função f(x) corta o eixo x é bastante complicado por se tratar de uma função do 3º grau, mas é possível fazer uma estimativa percorrendo o domínio:
f(-2) = -20
f(-1) = 0
f(0) = 2
f(1) = -2
f(2) = 0
f(3) = 20

Nisso, já descobrimos duas raízes da função f(x). Além disso, para x entre 0 e 1 há outra, pois há troca de sinal da função. Como é um polinômio do terceiro grau que só admite três raízes, então elas já foram estimadas.

3º - A função não é periódica.

4º -
f(-x) = -2x³ - 3x² + 3x + 2 ≠ f(x), logo a função não é par
-f(-x) = 2x³ + 3x² - 3x - 2 ≠ f(x), logo a função não é ímpar também
Como não é nenhuma das duas, não podemos concluir nada a respeito do gráfico neste item.

5º - Ela não apresenta descontinuidade em nenhum ponto e os pontos na fronteira do domínio estabelecido, f(-2) e f(3), já foram calculados.

6º - O domínio é limitado.

7º - Derivando f(x)
f ' (x) = 6x² - 6x - 3
Aplicando Bhaskara temos:

Δ = 36 - 4*6*(-3) = 36 + 72 = 108

√Δ = 6√3

Logo, x1 e x2 são pontos críticos. Calculando f(x) para x = x1 e x = x2 temos:

f(x1) = -2,6

f(x2) = 2,6

8º -

f '' (x) = 12x - 6.

A segunda derivada é um reta crescente que é nula para x = 1/2. Portanto, por ser crescente, para x < 1/2, ela é negativa (concavidade de f(x) é para baixo) e para x > 1/2, ela é positiva (concavidade para cima). É interessante calcular f(x) para x = 1/2 para saber o ponto onde há a troca de concavidade:

f(1/2) = 0

Perceba que, de brinde, encontramos a terceira raiz de f(x).

9º - Por ser uma função polinomial, não há assintotas.

Verifica-se agora as informações que foram obtidas:

- O gráfico passa pelos pontos: (-2, -20) , (-1, 0) , (0, 2), (1, -2), (2, 0), (3, 20)

- Possui uma raiz para x entre 0 e 1.

-Tem pontos críticos: (1,37 , -2,6) , (-0,37 , 2,6)

- Tem concavidade para cima para x > 1/2 e para baixo para x < 1/2. Assim, (-0,37 , 2,6) é um ponto de máximo local, e (1,37 , -2,6) é um ponto de mínimo local.

Colocando os pontos encontrados no gráfico:

Em preto o pontos críticos e em vermelho os pontos calculados na 2ª etapa. Em cinza o ponto onde há mudança na concavidade de f(x).

Com isso já é possível fazer o esboço do gráfico ligando os pontos e lembrando dos intervalos onde a concavidade é para cima e onde é para baixo.

Veja abaixo como fica o gráfico:

Exercício Resolvido - Multiplicadores de Lagrange

Encontre os valores de máximo e mínimo global da função



na região definida por



Solução:

Este tipo de exercício deve ser feito utilizando a teoria de Multiplicadores de Lagrange. No caso, o conjunto definido por  é um conjunto compacto e portanto, como f(x,y) é contínua, ela assume máximo e mínimo em , porém, eles são pontos críticos da função f ou pontos da fronteira, onde . Neste caso devemos calcular os pontos críticos de f e os pontos críticos de f na fronteira (segundo a condição ), utilizando os multiplicadores de Lagrange.

Cálculo dos pontos críticos de f:

Pontos:



Todos eles pertencem à região 

Assim, devemos observar o seguinte teorema:

Teorema: Dada a função f: ℝ² → ℝ e (x0, y0) um ponto crítico de f. Então:
a) Se det[H] no ponto (x0, y0) for menor que zero, então (x0, y0) é um ponto de sela;
b) Se det[H] no ponto (x0, y0) for maior que zero e também no ponto (x0, y0),  então (x0, y0) é um ponto de mínimo local;
c) Se det[H] no ponto (x0, y0) for maior que zero e também no ponto (x0, y0),  então (x0, y0) é um ponto de máximo local e;
d) Se det[H] no ponto (x0, y0) for igual a zero, então nada podemos afirmar.

Derivadas parciais de segunda ordem:



Determinante da Matriz Hessiana:



Para o ponto (0,0)

|H| = -4 → Ponto de Sela, logo não é nem máximo nem mínimo local e portanto, também não é global, por não ser um ponto da fronteira de .

Para o ponto 

|H| = -4 + 24/2 =  8
 → Ponto de máximo local. Calculando 

Para o ponto 

|H| = -4 + 24/2 =  8
 → Ponto de máximo local. Calculando 

Cálculo dos pontos críticos na fronteira utilizando Multiplicadores de Lagrange  λ - pontos críticos de g(x,y) = f(x,y) + λ(x² + 4y² - 10) = y² - y⁴ - x² + λ(x² + 4y² - 10):

Assim, devemos resolver o sistema:



Neste caso, como temos 2x(λ - 1) = 0, então ou x = 0 ou λ = 1;
- Para x = 0, temos x² + 4y² = 10 onde obtemos . Assim, os pontos são:



Calculando f:



- Para λ = 1, temos 2y( 1 - 2y² + 4λ) = 0 onde obtemos:



Deste último caso:



Para  o resultado é o obtido anteriormente, para x = 0.

Então, os pontos e os valores de f(x,y) na fronteira e no interior da região definida são:

Na fronteira:


No interior:


Logo, dos resultados obtidos, temos que -10 é o valor mínimo da função na região definida, 1/4 é o valor máximo local e global na região definida, e -15/4 é um ponto de máximo na fronteira da região definida.

Veja também:
Exercício Resolvido - Geometria analítica e reta tangente

Exercício Resolvido - Pontos de máximo, mínimo e sela

Obs.: Perceba que na fronteira eu não calculei a segunda derivada para saber se os pontos são de máximo ou mínimo. Na verdade, por ser a função contínua na fronteira e, também na fronteira, ela ser uma curva e não uma superfície, não existe a possibilidade de haver um ponto de sela, neste caso ou o ponto crítico é de mínimo ou ponto de máximo. 

Como nos pontos críticos da fronteira a função f(x,y) assume apenas dois valores (-10 e -15/4) então um deles só pode ser um ponto de máximo na fronteira e o outro só pode ser um ponto de mínimo na fronteira. Esta certeza existe pois sabemos que -15/4 > -10. Neste caso, para sair de -15/4 e chegar em -10 se o caminho não fosse unicamente crescente, certamente haveria outro ponto crítico que seria detectado nos cálculos.

Então, a certeza de que um deles é máximo na região da fronteira e o outro é mínimo na região da fronteira, vem do fato de eles serem pontos críticos, de existirem apenas 2 valores e de a função ser uma curva contínua e não uma superfície.

Abaixo, a superfície em amarelo, em azul a curva que marca a fronteira, em cinza os pontos  que são os pontos de máximo em toda a região, em vermelho os pontos  que são pontos de minimo em toda região e em preto o ponto (0,0) que é ponto de sela e os pontos  que são pontos de máximo na fronteira apenas: