Exercício Resolvido - Análise de conjuntos

Mostre que não existe número racional tal que x²=2.

Solução:

Percebam: de fato não existe número racional tal que x² = 2, pois para isso, x = 2 ou -2, ambos irracionais. Porém, por existir real que satisfaz x² = 2, este valor de x só pode ser irracional, já que os conjuntos dos irracionais e dos racionais são disjuntos, ou seja, um elemento de qualquer um deles, não pertence ao outro.

Porém, provando de forma analítica por absurdo, temos:

Supondo que x seja racional.

Obs.: todo número racional pode ser escrito como divisão de dois números inteiros primos entre si.

Então, se x é racional, existem valores inteiros p e q, primos entre si (ou seja, não possuem divisor comum diferente de 1) tais que:
x = p/q
Assim:
x² = (p/q)² = 2
logo:
p² = 2*q²
O que garante que é um número par. Porém, como p e q são inteiros, se é um número par, certamente p também o é, pois todo quadrado perfeito que é par tem como raiz quadrada um número par.
Assim, p = 2*r, sendo r um número inteiro pois p é par e inteiro. Logo, p² = 4*r².
Então:
x² = (p/q)² = (2r/q)² = 2
Logo:
2*q² = 4*r²
q² = 2*r²
O que garante que é par, e pela mesma lógica acima, se é par, então q é par. Assim, temos que tanto p quanto q são pares, e portanto não são primos entre si, como admitido inicialmente. Logo, isso nos leva a concluir que nossa afirmação inicial é absurda, e a nossa afirmação inicial foi de que x era racional.
Ou seja, não existe x racional tal que x² = 2.


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