Dedução da fórmula de juros composto para parcelas iguais

Dedução passo-a-passo da fórmula de juros composto para dívidas que são pagas em parcelas iguais

Vou fazer um post hoje que é muito útil. Será mostrado aqui como encontrar a fórmula para calcular a taxa de juros de uma dívida que é parcelada e paga em parcelas únicas.

Solução:
Inicialmente, deve-se ter em mente que esse tipo de dívida funciona de seguinte forma:
Imagine alguém que deve R$100,00 a você e vai lhe pagar uma taxa de 10% de juros ao mês. Assim, após 1 mês, ele lhe deve:

R$100,00 + 10%*(R$100,00) = R$100,00 + 0,1*R$100,00 = 1,1*R$100,00 = R$110,00

Agora, digamos que após esse mesmo mês, ele lhe pagou R$15,00. Então agora ele lhe deve:

R$110,00 - R$15,00 = R$95,00

Ou seja, da dívida real reduziu-se R$5,00 apenas.

Passando-se outro mês, a dívida passa a ser:

R$95,00 + 10%*(R$95,00) = R$95,00 + 0,1*R$95,00 = 1,1*R$95,00 = R$104,50

E assim segue.

Da mesma forma funciona qualquer dívida.
Para realizar os cálculos e fazer a demonstração, vou utilizar as seguintes letras:

Taxa de juros mensal em porcentagem = J
Valor da parcela paga a cada mês = P
Valor inicial da dívida = V
Número de parcelas = n

O empréstimo é feito no mês 'zero'.
Assim, após o primeiro mês deve-se o valor da dívida mais o juros:



Mas neste momento, é paga a 1ª parcela, passando a ser o valor da dívida:


Para facilitar a visualização, vou chamar este valor agora de V2, então:


Após 2 meses:


Neste momento, ele novamente vai pagar a parcela, passando a ser sua dívida:


Chamando este valor de V3:


Após 3 meses:



Após isso, claro, será paga uma parcela, passando a ter o valor V4.



É possível perceber uma relação recorrente de Vn:



Onde V1 = V que é o valor inicial da dívida.

Manipulando um pouco a equação geral de recorrência acima, é possível perceber propriedades interessantes. Veja abaixo:



Substituindo:



Usando:



Teremos:



Percebam que os termos que multiplicam o fator P são termos de uma PG onde:



e a razão



Usando a fórmula da soma da PG podemos simplificar a fórmula para:



Aqui fica mais fácil perceber qual deve ser a equação de Vn em função de V, que é o valor inicial da dívida.



Porém, Vn tem que ser nulo, já que queremos que após n meses a dívida esteja totalmente paga. Portanto, basta igualar o resultado obtido acima a zero:



Manipulando temos:



Agora, esta fórmula pode ser manipulada como se desejar.
Exemplo: Caso deseja-se calcular a parcela a ser paga dado que:

Se a taxa de juros for 5%  J = 5
O empréstimo for de R$ 1.000,00 → V = 1000
O tempo para pagar de 10 meses → n = 10

Vamos calcular o valor da parcela:

Isolando P na fórmula acima:



Substituindo os valores



Como





Ou seja, nestas condições, R$ 129,50 deve ser a parcela. Este não é o valor exato, que é dado por R$ 129,5046, porém, por ser um valor monetário, só pode ter duas casas após a vírgula. Vaja como ficaria:

Dívida Mês Parcela Após pagar parcela
R$ 1.000,00 0 R$ 0,00 R$ 1.000,00
R$ 1.050,00 1 R$ 129,50 R$ 920,50
R$ 966,53 2 R$ 129,50 R$ 837,03
R$ 878,88 3 R$ 129,50 R$ 749,38
R$ 786,85 4 R$ 129,50 R$ 657,35
R$ 690,21 5 R$ 129,50 R$ 560,71
R$ 588,75 6 R$ 129,50 R$ 459,25
R$ 482,21 7 R$ 129,50 R$ 352,71
R$ 370,35 8 R$ 129,50 R$ 240,85
R$ 252,89 9 R$ 129,50 R$ 123,39
R$ 129,56 10 R$ 129,50 R$ 0,06




Perceba que o valor da dívida, após os 10 meses, fica em R$ 0,06. Ele não zera devido ao resultado não ser exato, já que a parcela deveria ser R$ 129,504574965...