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Exercício resolvido - IME CG 2009/2010 - Estática

Duas barras AC e BD estão apoiadas e ligadas por pinos sem atrito, conforme a figura. As barras, de 4 m de comprimento, são feitas de material homogêneo e possuem massa linear igual a  5 kg/m. Sabendo que as barras formam um sistema em equilíbrio no momento em que o ponto  D é tracionado em  300 N e que, no meio da barra  AC, é colocado um corpo com 20 litros de volume, determine as reações horizontal e vertical, em Newtons, nos pontos A e B.
  Dados:
aceleração gravitacional = 10 m/s²
3 = 1,7
massa específica do corpo = 2000 kg/m³

Solução:
Como o sistema esta em equilíbrio temos que:
∑F = 0 (Somatório da forças = 0)
∑M = 0 (Somatório dos momentos = 0)

Para facilitar, vou decompor a força 300 N na direção horizontal e vertical. Além disso, como o corpo na barra AC tem 20 litros de volume (ou 0,02 m³) e que sua massa específica é de 2000 kg/m³, temos que sua massa é:
0,02*2000 = 40 kg
Como a aceleração da gravidade é 10 m/s²
Peso do corpo = 400 N.

Ambas as barras tem massa de 5 kg/m* 4 m = 20 kg, pesando 200 N cada uma.

Assim temos:
Observe que no ponto C existem 4 forças, 2 delas são a reação na barra AC, e duas na barra BD

Neste tipo de exercício, é interessante 'separarmos' as barras, já que cada uma delas deve estar em equilíbrio  pois não estão se movendo e nem girando.
Estudo da barra AC:


Equilíbrio das forças verticais:
RCVAC + 200 + 400 + RAV = 0
RCVAC = - 600 - RAV

Equilíbrio das forças horizontais:
RAH - RCHAC = 0
RAH = RCHAC

Momento em relação a qualquer ponto é nulo.
Vou fazer em relação ao ponto C, já que não estou interessado em calcular as forças em C, e sim em A e B:
RAV*4 + 400*2 + 200*2 = 0
RAV*4 = -1200

Disso, temos que:
RCVAC = -600 - RAV = - 600 + 300 = - 300 N

Obs.: É importante perceber que as forças que atuam no ponto C quando estudamos apenas a barra AC tem um sentido, porém ao estudarmos a barra BD, estas forças terão sentido contrário, já que serão a reação da barra AC na barra BD. Assim como os vetores dessas forças estão em sentidos contrários, RCVAC = RCVBD e RCHAC = RCHBD.
Estudo da barra BD:
Equilíbrio das forças verticais:
RBV - 200 +  RCVBD + 300*sen(30°) = 0
RBV - 200 +  RCVBD + 150 = 0
RBV +  RCVBD = 50

Equilíbrio das forças horizontais:
RBH + RCHBD + 300*cos(30°) = 0
RBH + RCHBD + 255 = 0
RBH + RCHBD = -255

Momento resultante em relação a qualquer ponto é nulo:
Novamente irei calcular em relação ao ponto C:
300*cos(30°)*1 - RBH*3 = 0
3RBH = 255
RBH = 85 N

Como RBH + RCHBD = -255
RCHBD = - 340 N

Falta resolver:
RAH = RCHAC
RBV +  RCVBD = 50
Sabemos que:
RCVBD = RCVAC = - 300 = - 300 N, logo, RCVBD = - 300 N
RCHBD = RCHAC = -340 N, logo, RCHAC = - 340 N

Com isso
RAH = - 340 N
RBV - 300 = 50
RBV = 350 N
Assim:
Forças em A:
RAV = -300 N
RAH = -340 N
Forças em B:
RBV = 350 N
RBH = 85 N

PS: Agora sim, certamente esta correto este exercício. Depois de algumas correções e momentos de reflexão (rs), esta é a resposta. Podem confiar..


Exercício Resolvido - Força e momento resultante. Equilíbrio estático


Uma barra (20 m) de massa 200 kg é apoiada nas suas extremidades por suportes A e B. Uma pessoa começa a andar pela barra. Sabendo que a pessoa possui massa de 55 kg, determine as forças nos suportes A e B para manter a barra em equilíbrio nas seguintes situações:

(a) a pessoa está na extremidade A;
(b) a pessoa está na extremidade B;
(c) a pessoa está no centro da barra;
(d) a pessoa está a 5 m de uma das extremidades.

Solução:

a)
Força e momento resultante
Perceba que neste caso, a pessoas por estar no ponto A, a reação da barra é toda no ponto A, ou seja, devido à pessoa, não há aumento de reação no ponto B.
Devido à barra, por ser supostamente homogênea (estou supondo pois o exercício não fala nada), a reação em cada ponto é igual a 100 Kg, pois ambos estão equidistantes ao centro da barra.
Neste primeiro caso então:
Reação em A: 100 + 55 = 155Kg
Reação em B: 100Kg

Verificando se o momento resultante da barre é nulo:
Momento em relação ao ponto B (poderia ser em relação ao ponto A, ou ao centro, tem que dar zero em relação a qualquer um dos pontos da barra):

55*20 (momento devido à pessoa) - 155*20 (momento devido à reação da barra no ponto A) + 200*10 (momento devido à massa da barra) = 1100 - 3100 + 2000 = 0

b)Não vou colocar o desenho neste caso pois a situação é exatamente a mesma, com a diferença que agora a reação em B passa a ser 155 Kg, e em A permanece sendo 100 Kg.

c)

Vamos agora fazer a análise para descobrir as forças:
Somatório da força resultante deve ser zero:
FA + FB - 200 - 55 = 0
Somatório dos momentos em relação a qualquer ponto deve ser zero (vou fazer em relação a B de novo):
FA*20 - 200*10 - 55*10 = 0
FA*20 = 2000 + 550
F= 127,5 Kg
Como:
FA + FB - 200 - 55 = 0
127,5 + F= 255
F= 127,5 Kg
São iguais, como era de se esperar, já que todos os pesos estão concentrados no meio da barra.

d)
Da mesma forma que foi feito o anterior, devemos ter:
Força resultante igual a zero:
FA + FB - 55 - 200 = 0
FA + FB = 255

Veja também:
Exercício resolvido - IME CG 2009/2010 - Estática

Momento resultante igual a zero (para mudar, vou fazer o momento em elação a A)
55*5 + 200*10 - FB*20 = 0
275 + 2000  = FB*20
FB*20 = 2275
F= 113,75 Kg
Como:
FA + FB = 255
FA +  113,75  = 255
FA = 141,25 Kg