5 Exercícios Resolvidos clássicos de MRUV e MRU para você fixar o assunto.

Veja 5 exercícios resolvidos de MRUV e MRU

1 - O gráfico abaixo mostra a velocidade de dois ciclistas (C1 e C2) em função do tempo. Ambos partem
da posição inicial zero pata t = 0 e percorrem trajetórias retilíneas no mesmo sentido. Com base nos dados da figura, determine:

a) o valor da aceleração do ciclista C1 no instante t = 5 s;

b) a distância entre os ciclistas no instante em que eles têm a mesma velocidade.


Exercício Resolvido de MRU
Gráfico da velocidade do ciclista 1 (em azul) e do ciclista 2 (em vermelho). É possível verificar que ambos desenvolvem um movimento MRUV inicialmente, e depois MRU.

2 - Numa prova de 100 m rasos, um atleta consegue percorrê-los em 10 s. O gráfico a seguir mostra,
aproximadamente, como varia a velocidade deste atleta durante a prova. Com isso determine:

a) qual a velocidade média durante os 10 s.

b) estime, a partir do gráfico, um valor razoável para vf.

Gráfico da velocidade do atleta nos 10 s de duração da prova

3 - A maior aceleração (ou desaceleração) que é desejável que os passageiros de um trem urbano sintam é de 2 m/s². Se a distância entre duas estações consecutivas é de 800 m e supondo que o trem pare em todas as estações, calcule:

a) a máxima velocidade que o trem pode atingir.

b) o tempo mínimo que o trem deve levar de uma estação até a outra.


4 - Um objeto parte do repouso de um ponto A e percorre, em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado um trecho até outro ponto B. No mesmo instante em que o primeiro objeto parte de A para B, outro parte de B em direção à A em Movimento Retilíneo Uniforme (velocidade constante). A distância entre A e B é de 50 m. Depois de 10 s da partida, os objetos se cruzam exatamente no meio do percurso AB. Com isso, calcule:

a) a velocidade do móvel que partiu de B.

b) a velocidade do objeto que partiu de A chegará em B.

5 - Um ciclista se desloca de acordo com a equação S = 40 + 10t + t² com dados no SI. Com isso, determine:

a) a posição inicial do ciclista, a velocidade inicial do ciclista e a aceleração do ciclista

b) sua posição S e velocidade V quando o tempo for 10 s

Soluções:

Exercício 1 - 
a) A equação da velocidade é dada por:

Como para t = 0, V0C1 = 0, temos:


Porém, no gráfico a reta passa pelo ponto VC1 = 4 m/s, t = 10 s. Então:


Como a velocidade de C1 cresce linearmente no trecho de 0 s até 10 s, então sua aceleração é constante. Assim, neste intervalo de tempo:


b) Vendo o gráfico percebemos que há uma intersecção dos gráficos. 

Ponto onde ambos os ciclistas possuem a mesma velocidade marcado com um círculo em preto

Como este é um gráfico da velocidade pelo tempo, a intersecção ocorre quando ambos têm a mesma velocidade e, é possível perceber que ela ocorre quando o ciclista C2 já está com velocidade contante de 2,4 m/s. Agora, é preciso saber qual o tempo, porém isso fica simples da saber pois já temos a equação da velocidade do ciclista C1 até 10 s.

Então:


Agora, é preciso calcular a posição de cada um dos ciclistas para saber a diferença entre elas, assim temos a distância entre eles:
A equação da posição em MRUV é:


No caso do exercício temos que até 6 s, o ciclista C1 esteve unicamente em movimento MRUV, pois o gráfico de sua velocidade manteve-se como uma reta crescente sem mudança brusca de inclinação. Porém, não pode-se dizer o mesmo do ciclista C2, que no tempo t = 5 s sua velocidade passa a ser constante. Assim, ele desenvolve um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado até o tempo de 5 s e a partir daí, mantém sua velocidade constante de 2,4 m/s. Precisamos, portanto, saber qual é a equação da velocidade do ciclista C2 até t = 5s.


Da mesma forma o seu gráfico começa com V0C2 = 0 e passa pelo ponto VC2 = 2,4 quando t = 5. Assim, substituindo esse valores na equação temos:


Então:


A posição de C1 quando t = 6 s:



A posição de C2 quando t = 6 s deve ser calculada somando os dois trechos, já que ele desenvolve um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado até 5 s e um Movimento Retilíneo Uniforme a partir deste tempo. Assim, calculamos o deslocamento de C2 até t = 5 s:



Distância percorrida no intervalo de tempo t = 5 s até t = 6 s, ou seja, em apenas 1 segundo. Aqui, como não há aceleração pois a velocidade é constante (V = 2,4 m/s), basta usar a mesma equação porém com aceleração nula (isso irá resultar a equação da posição de MRU)


Assim, a distância percorrida pelo ciclista C2 será de:


A distância entre eles será de 8,4 - 7,2 = 1,2 m


Exercício 2 -
a) Como o atleta percorre 100 m em 10 s, sua velocidade média será de:

MRU - Movimento Retilíneo Uniforme

b) Aproximando o gráfico na primeira parte por uma reta, até t = 5 s temos:


Como mostrado em amarelo, a aproximação fica abaixo do real. Há duas áreas formadas pelas curvas; uma primeira fica acima da reta o que garante que a reta esta sub-estimando a velocidade; e uma segunda que fica abaixo da reta, próxima do ponto marcado em preto, que super-estima a velocidade. Porém, visivelmente a primeira área é muito superior à segunda, o que garante que a aproximação por reta é sub-estimada, ou seja, o deslocamento calculado no primeiro intervalo usando a reta será inferior ao real deslocamento. Porém, vamos calcular quando seria vf se os gráficos fossem as retas:

Precisamos, primeiramente, calcular a aceleração no primeiro trecho, imaginando que seja uma eta:


Como V0 = 0 e o tempo final é t = 5 s


Assim, o deslocamento no primeiro trecho será:


No segundo treco ( entre t = 5 s e t = 10 s, ou seja, num intervalo de tempo de 5 s) a velocidade foi aproximada para uma constante, V = Vf. Neste trecho, o deslocamento é dado por:


O deslocamento total será:


Mas o deslocamento total é de 100 m:


Porém, como sabemos que o primeiro trecho o deslocamento foi um pouco maior, ou seja:


Desta forma, o Stotal real será um pouco maior, o que irá causar uma leve redução de Vf. Assim, um valor bastante coerente para Vf é de 13 m/s.


Exercício 3 -
a) A situação de maior velocidade será se o trem partir com aceleração de 2 m/s² a, no meio do trajeto, desacelerar a 2 m/s². Neste caso, ele irá percorrer 400 m com aceleração de 2 m/s² e 400 m com a desaceleração de mesma intensidade. Usando a equação de Torricelli temos:


onde d é o deslocamento. Neste caso, temos d = 400 m, a = 2 m/s² e como ele parte do repouso, V0 = 0, então:


b) O tempo pode ser calculado pela equação da velocidade. Na primeira metade ele alcança a velocidade de 40 m/s, assim:


Como a primeira metade do trajeto é percorrida com aceleração de 2 m/s² e, da mesma forma, a segunda metade é percorrida com desaceleração de 2 m/s², o tempo de cada trecho é o mesmo. Assim o tempo total será de 40 s.

Veja também:
5 Exercícios Resolvidos de Resistência Equivalente Para Você Fixar o Assunto

Exercício 4 -

a) O objeto que parte de A se desloca em MRUV. Assim, sua posição é dada por:


Como ele parte do repouso e desconsiderando sua posição inicial, temos:


O objeto que parte de B, se desloca em MRU:


O exercício fala que após 10 s eles se encontram no meio do percurso, ou seja, eles percorreram 25 m. Assim SB = 25 m e SA = 25 m.
Substituindo na equação de SB para calcular sua velocidade, temos:


b) Substituindo os dados na equação de SA temos:

Usando a equação de Torricelli temos:


Substituindo os valores para saber a velocidade do objeto que partiu de A no ponto B:


Exercício 5 -

Se você chegou até aqui, parabéns, a sua vontade em aprender este assunto já me fala muito sobre você.

É preciso se concentrar e estar atento aos detalhes, além de exercitar e isso exige dedicação.

Vamos ao exercício 5:

a) Neste exercício basta saber que a equação de movimento é dada por:



Como ele se desloca de acordo com a equação:

 

Então:
Posição inicial S0 = 40 m
Velocidade inicial V0 = 10 m/s
Aceleração a = 2 m/s²

b) Para o tempo de 10 s, a sua posição será:



Como a velocidade em MRUV é dada pela equação:



Temos, no tempo 10 s:



23 comentários:

  1. Seria interessante mostrar, na questão 3,que a velocidade máxima ocorre realmente na metade do percurso. Isto é facilmente demonstrado usando-se a equação de Torricelli.

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    1. Sim caro "Anônimo", isso de fato acontece. Como o primeiro trecho há uma aceleração do veículo e, chegando na metade, ele inicia a desaceleração, no ponto central do deslocamento ele terá a velocidade máxima. Bem observado. :)

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  2. Olá, não entendi porque a aceleração do exercício 5 é de 2m/s². Faltou a aceleração na equação? x=40+10t+ (2?)t²

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    1. Pois de acordo com a fórmula a aceleração é dividida por 2, veja lá:
      S = So + Vo*t + a*t²/2

      Assim, se a posição é dada pela equação:
      S = 40 + 10t + t²

      Então a aceleração é 2.

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    2. tratava mais de uma questão de interpretação do que lógico, talvez por isso algumas pessoas tenham notado essa dificuldade. Muito útil as questões acima, conseguiu abranger de forma fácil ao complicado diversos tipos de interpretações - visualização das questões - show!

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  3. Aki não abre as fórmulas, poderia me mandar ou anexar,aqui aparece todas com erro

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    1. Darlidson. Tente instalar o google chrome. Com ele deve funcionar.

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  4. velocidade do movel q parte de B para A no exercicio 4 não seria -2,5 m/s. um sinal pode fazer a diferença

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    1. Olá Alexandre. Entendi sua dúvida. É possível assumir que um dos móveis tem velocidade negativa, já que eles estão andando em direções contrárias. Porém, percebendo que eles estão indo em direções opostas, não há essa necessidade, já que não há soma dessas velocidades ou qualquer outra relação entre elas.

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    2. Acredito que seu conceito está errado. Pois ao analisarmos graficamente, a velocidade acima do eixo das abcissas é positiva, em momento algum podemos simplesmente "considerar" velocidade negativa! Ainda mais que a reta é crescente, sendo uma equação de 1º grau, isto é, velocidade tanto de C1 como de C2, neste caso, sempre é positiva!

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    3. trata-se de um sinal apenas para indicar um direção adotada, exemplo positivo para direita, negativo para esquerda.

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  5. pergunta
    o valor da aceleração do ciclista C1 no instante t = 5 s;

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    Porém, no gráfico a reta passa pelo ponto VC1 = 4 m/s, t = 10 s. Então:Porém, no gráfico a reta passa pelo ponto VC1 = 4 m/s, t = 10 s.

    no exercicio 1 voce calculou o tempo e a velocidade errada t=5 V=2,4

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    1. Olá Pocoio Picoli. Isso é verdadeiro, mas para o Ciclista 2 apenas.

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  6. Não entendi muito a questão 1 :\ Ele pede a aceleração no instante t=5, não t=10...

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    1. É que no intervalo de 0s a 10s a aceleração é constante

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    2. Mas por que usar o 10 e não o 5?

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    3. Pois quando t=10s o ponto é conhecido: V = 4m/s e t = 10 s. Para o t = 5s a velocidade não é conhecida no gráfico de C1. Porém, como a aceleração é constante, o resultado obtido para t = 10s é o mesmo para t = 5s

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  7. Muito bom, a questão dos ciclistas foi complicado, mas entendi, de resto de boas!

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    1. Que bom que gostou Lucas. Volte sempre que precisar

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  8. Olá! Na resolução da letra a da questão 2 você colocou como unidade de velocidade [m/s²]. :)

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  9. Eu não entendi o proque o deslocamento 2/b foi Vf15/2

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    1. Tudo bem Rickey. O deslocamento é dado pela soma da área abaixo da curva. Como não sabemos calcular a área abaixo da curva até 5s, foi feita uma aproximação. Porém, pela figura, pode-se perceber que essa aproximação é grosseira. O resultado da 2b) é um valor aproximado. Não é possível, com os conhecimentos de MRUV do ensino médio, calcular o valor exato.

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