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Exercício Resolvido - Reta tangente à intersecção de superfícies

Encontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva definida pela intersecção das superfícies:

No ponto P de coordenadas

Solução:
A primeira superfície é mais simples de perceber que é um cilindro. A segunda é um paraboloide. As superfícies podem ser vistas, separadas, abaixo:

Reta tangente


Colocando elas juntas, temos:

Paraboloide

Cálculo da curva da intersecção das superfícies:
Se há intersecção, então os valores de x, y e z devem ser iguais nas duas superfícies. A primeira superfície pode ser parametrizada da seguinte forma:


Porém, das Relações Trigonométricas temos que Sen²(a) + Cos²(a) = 1. Assim:



Podendo ser feita a igualdade:


A equação paramétrica fica:


Como z pode assumir qualquer valor pois não é dependente de x nem de y na primeira superfície, então sua forma parametrizada pode ser z = z. Ficando, portanto:


A outra superfície tem equação z = x² + y²
Assim, a curva de intersecção das superfícies na sua forma parametrizada é:


Ou seja, a curva é uma circunferência de raio 2 na altura z = 4. Veja na figura abaixo a curva em cor vermelha:

Paraboloide

O que o exercício pede é a reta tangente à curva de intersecção no ponto P.
Esta reta terá equação do tipo



Onde a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear da reta. Porém, como ela é tangente no ponto P então o coeficiente angular da reta deve ser a derivada de y em relação a x. A derivada pode ser calculada por:


Mas, no ponto P temos que:


Logo:



Assim,



Com isso, já é possível determinar a equação da reta:



Como ela passa pelo ponto P:



A equação da reta fica:



A parametrização pode ser feita da seguinte forma:



Veja também:
Exercício Resolvido - Geometria analítica: Reta e elipse

Abaixo a figura com o ponto P em verde e em preto, a reta tangente:

Paraboloide

Aproximando um pouco mais:




Exercício Resolvido - Geometria analítica: Reta e elipse

Determine a equação da reta tangente à elipse de equações paramétricas:
x = 4*Cos(t)
y = 3*Sen(t)
no ponto correspondente ao valor paramétrico t = π/4. Identifique os vértices e os focos da elipse. Represente graficamente, num mesmo plano, a elipse e a reta tangente.

Solução:
Se a reta é tangente à elipse no ponto para t = π/4 então, a reta deve passar pelo ponto da elipse onde t = π/4 e a derivada da reta (inclinação) deve ser a mesma da derivada da elipse neste mesmo ponto.
Neste caso, temos que para t = π/4:

x = 4*Cos(π/4) = 2*√2
y = 3*Sen(π/4) = 1,5*√2

A derivada da elipse é facilmente calculada derivando a equação paramétrica com relação a t

x' = -4*Sen(t)
y' = 3*Cos(t)

Para t = π/4:

x' = -2*√2
y' = 1,5*√2

Assim:

dy/dx = y'/x' = -0,75

e esta é a inclinação da elipse e portanto da reta neste ponto.
Assim, a reta é dada por:

y = -0,75*x + b

Mas esta reta passa pelo ponto (2*√2 , 1,5*√2)
Assim:

1,5*√2 = -0,75*(2*√2) + b
b = 3*√2

A reta será:

y = -0,75*x + 3*√2


Os vértices da elipse podem ser determinados facilmente com a equação dela já que o centro desta elipse é o ponto (0,0). Com isso, os vértices encontram-se sobre os eixos, no caso, para os seguintes valores de t:

t = 0
t = π/2
t = π
t = 3π/2

Nestes valores de t, temos os seguintes pontos:
t = 0
x = 4, y = 0
t = π/2
x = 0, y = 3
t = π
x = -4, y = 0
t = 3π/2
x = 0, y = -3

Os focos podem ser determinados já que conhecemos os vértices. Como os vértices são dados por (±4,0) e (0,±3), temos que:

f² = 4² - 3² = 7
f = (±√7,0)




Exercício Resolvido - Geometria analítica: Ponto, Reta e Circunferência no plano.

Sejam A(-7,4) e B (5,-12) pontos no plano.
a)Encontre a inclinação da reta que contém A e B
b)Encontre uma equação da reta que passa por A e B.Quais as intersecções com os eixos ?.
c)Encontre o ponto médio do segmento AB.
d)Encontre o comprimento do segmento AB.
e)Encontre uma equação para a mediatriz de AB.
f)Encontre uma equação para a circunferência para o qual AB é um diâmetro.

Solução:

a) A inclinação da reta é dada pelo ângulo formado entre a reta e o eixo das abcissas (eixo x). Assim, temos que pensar na reta como um triângulo retângulo. Veja a figura a seguir:






Na figura acima, temos a reta que passa pelos pontos A e B e o triângulo retângulo que comentei anteriormente, formado pelos pontos A, B e C. Observe que o segmento de reta AC é paralelo ao eixo x e portanto, o ângulo formado pela reta e o eixo x é o mesmo formado pela reta e o segmento AC.
Porém, perceba que a reta é decrescente, ou seja, quanto maior o valor de x, menor o de y na reta. Assim, a inclinação é um ângulo no intervalo 90° < inclinação < 180°.
Bom, do desenho acima podemos perceber que o ângulo CÂB somado ao ângulo de inclinação da reta é 180°.

tg(a + b) = (tg(a) + tg(b))/(1 - tg(a)*tg(b))

Como, neste caso, a + b = 180° e sabendo que Tg(180°) = 0

(tg(a) + tg(b))/(1 - tg(a)*tg(b)) = 0
tg(a) + tg(b) = 0
tg(a) = -tg(b)

Assim, a tangente do ângulo CÂB é a mesma tangente do ângulo de inclinação da reta, porém com sinal trocado.
Podemos perceber que a tangente do ângulo CÂB é dada por:

tg(a) = BC/CA

Onde:

CA = 5 - (-7) = 12
BC = 4 - (-12) = 16
tg(a) = 16/12 = 4/3

Logo, o ângulo CÂB = ArcTg(4/3) = 53,13°
Assim, como:
CÂB + inclinação = 180°
Inclinação = 180° - 53,13° = 126,87°



b) A equação da reta pode ser obtida de forma mais simples. Temos que toda equação de reta num plano é da forma:

y = a*x + b

Como temos dois pontos que definem essa reta:

A(-7,4) e B(5,-12), então
4 = a*(-7) + b (Ponto A)
-12 = a*(5) + b (Ponto B)

Das equações acima, temos que:

a = -4/3
b = -16/3

Assim, a equação da reta é:

y = (-4/3)*x - 16/3



c) Para obter o ponto médio de um segmento, basta somar os pontos que limitam este segmento e dividir por dois, neste caso:

A = (-7,4)
B = (5,-12)
(A+B)/2 = ( -7 + 5 , -12 + 4) / 2 = (-2/2 , -8/2) = (-1,-4)
M = (-1,-4)

Na figura a seguir é possível verificar o ponto médio em vermelho:




d) Para o cálculo do comprimento AB vamos voltar ao triângulo retângulo que foi utilizado no exercício a). Vimos que podemos formar um triângulo retângulo, formado pelos pontos ABCA. Neste caso, o segmento AB é a hipotenusa do triângulo, com isso, como já calculamos o valor dos segmentos CA e BC no item a), temos:

AB² = CA² + BC²
AB² = 12² + 16²
AB² = 400
AB = 20.

Outro método mais direto de calcular este valor é com base nos pontos dados, veja como:

AB² = [ 5 - (-7) ]² + [ 4 - (-12) ]²

Onde cada um desses valores são as coordenadas dos pontos A e B. Com isso teremos que AB = 20, como calculado anteriormente.



e) Mediatriz é o conjunto de pontos que são equidistantes a dois pontos determinados. Neste caos é o conjunto de pontos equidistantes aos pontos A e B.

Assim, seja um ponto D(x,y) equidistante a A e B, desta forma, a distância de D para A é dada por:

dist(DA)² = [ x - (-7) ] ² + [ y - 4 ]² = x² + 14x + 49 + y² - 8y + 16
dist(DB)² = [ x - 5 ]² + [ y - (-12) ]² = x² - 10x + 25 + y² + 24 + 144

Como as distância devem ser iguais:

x² + 14x + 49 + y² - 8y + 16 = x² - 10x + 25 + y² + 24y + 144

Simplificando temos os termos iguais:

14x + 49 - 8y + 16 = -10x + 25 + 24y + 144
24x + 65 = 32y + 169
32y = 24x - 104
4y = 3x - 13
y = (3/4)x - 13/4
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Veja também:

Exercício Resolvido - Geometria analítica: Reta e elipse

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Podemos concluir que a mediatriz de dois pontos é uma reta, dada a equação obtida acima.




f) Se AB é um diâmetro do círculo, então o ponto médio de AB é o centro da circunferência. Como já temos todos estes dados, calculados anteriormente, sabemos que o comprimento AB = 20, logo o raio da circunferência é de 10. Como o centro dessa circunferência é (-1,-4) a equação é dada por:

[ x - (-1) ]² + [ y - (-4) ]² = 10²
[ x + 1 ]² + [ y + 4 ]² = 10²


Perceba que além do segmento AB, a mediatriz também passa pelo centro desta circunferência e portanto um segmento seu forma um diâmetro desta circunferência.


Exercício resolvido - Geometria Analítica (reta e ponto)

Dado o ponto P(2,-1) e a reta de equação y=3x-5, escreva uma equação da reta que contém o ponto P e
a) seja paralela a reta r.
b) seja perpendicular a reta r.


Solução:
a) Uma reta paralela é aquela que tem o mesmo coeficiente angular. Logo, a reta tem a forma:
y = 3x + b

Mas ela passa por P(2,-1)
-1 = 3.2 + b
b = -7

Logo, a reta é:
y = 3x - 7
Equação da reta paralela

b) Para ser perpendicular, o produto dos coeficientes angulares das retas deve ser -1. Logo a reta tem a forma:
y = (-1/3)x + b

Mas ela passa por P(2,-1)
-1 = (-1/3).2 + b
b = -1/3

Logo, a reta é:
y = (-1/3)x - 1/3

equação da reta perpendicular




Exercício Resolvido - Geometria analítica (Ponto e Reta)

Determinar a projeção ortogonal do ponto P(2,4) sobre a reta.
x = 1+2t
y = -1+3t

Solução:
Vou fazer a solução deste exercício de duas formas. Uma envolvendo apenas conhecimentos de geometria analítica básica (mais trabalhosa), outra envolvendo conceitos vetoriais.

Método 1:
Inicialmente vou determinar a reta na forma y = a.x + b. Para isso, basta isolar o 't' nas duas igualdades acima:

x = 1 + 2t
t = (x - 1) / 2

y = -1 + 3t
t = (y + 1) / 3

(x - 1) / 2 = (y + 1) / 3
3x - 3 = 2y + 2
2y = 3x - 5
y = 1,5x - 2,5

sabe-se que retas ortogonais tem o produto dos seus coeficientes angulares igual a -1.
Logo, a reta ortogonal à reta acima, da forma:
y = ax + b
Será tal que:

a*(1,5) = -1
a = -2/3
Porém essa reta passa pelo ponto (2,4)
y = (-2/3)x + b
4 = (-2/3).2 + b
b = 4 + 4/3
b = 16/3

Logo, a reta que é ortogonal à y = 1,5x - 2,5 e passa por P(2,4) é: y = (-2/3)x + 16/3
Assim, a projeção ortogonal do ponto P na reta y = 1,5x - 2,5 será a intersecção dessas duas retas, e a intersecção ocorre quando temos os valores de y e x iguais, logo:

1,5x - 2,5 = (-2/3)x + 16/3
x(3/2 + 2/3) = 5/2 + 16/3
x(9/6 + 4/6) = 15/6 + 32/6
x(13/6) = 47/6
x = 47/13

Logo, o ponto será:
(47/13 , 38/13)


Método 2: 
Utilizando teoria vetorial
x = 1+2t
y = -1+3t
Esta reta tem a forma vetorial:
(x,y) = (1,-1) + t*(2,3)
O vetor diretor da reta é (2,3)

Logo, uma reta ortogonal a essa terá vetor diretor ortogonal a (2,3). Se eles são ortogonais e diferentes de zero, o produto escalar entre eles será zero.

Assim:
(a,b).(2,3) = 2a + 3b = 0

Arbitrando a = 1, b = -2/3. Como o valor de 'a' pode ser arbitrado e ele é diretamente proporcional a 'b', se utilizarmos a = 3, b = -2. Apenas para trabalharmos com números inteiros.

Logo, sabendo que esta reta passa pelo ponto (2,4), a reta será:
(x,y) = (2,4) + h*(3, -2)
ou
x = 2 + 3h
y = 4 - 2h

Achando o ponto de intersecção das retas:
2 + 3h = 1 + 2t -> h = (-1 + 2t) / 3
4 - 2h = -1 + 3t
4 - 2*(2t - 1) / 3 = -1 + 3t
4 - 4t/3 + 2/3 = -1 + 3t
17/3 = 13t/3
t = 17/13

Logo, x = 47/13 e y = 38/13

Gráfico do exercício abaixo:
Distância de ponto a reta




Exercícios Resolvidos - Geometria analítica



Dado um triângulo cujos vértices são A(1,1), B(4,0) e C(3,4), determine:

a) O pé da altura relativa ao vértice C.
b) A área do triângulo ABC.

Solução:

a)

Para determinar este ponto, devemos encontrar a reta que passa por C e é perpendicular à reta AB, pois a altura relativa a algum vértice de um triângulo é, por definição, a reta que passa por esse ponto e é perpendicular à reta que une os outros dois vértices.

Como retas perpendiculares tem coeficientes angulares com sinal trocado e inversas, que calcular o coeficiente angular da reta AB:

Como AB passa por A(1,1), temos:

y = ax + b

a + b = 1


Como passa por B(4,0), temos:

y = ax + b

0 = 4a + b

Mas

a + b = 1

0 = 3a + (a+b)

0 = 3a + 1

a = -1/3

b = 4/3

Coeficiente angula da reta AB: -1/3

Logo, coeficiente angular da reta altura é: 3

Assim, ela tem a forma:

y = 3x + b

Mas essa reta deve passar pelo ponto C (3,4)

4 = 3*3 + b

b = 4 - 9 = -5

Logo, a reta é:

y = 3x - 5

O pé dessa altura é o ponto que as retas AB e a reta altura se interceptam:

Reta AB:

y = (-1/3)x + 4/3

Reta altura:

y = 3x - 5

Igualando ambas:

3x - 5 = (-1/3)x + 4/3

(10/3)x = 19/3

x = (19/10) = 1,9

y = 3*(19/10) - 5

y = 5,7 - 5 = 0,7


Ponto P = (1,9 , 0,7)


b) Sabendo que a altura deste triângulo vai do ponto P(1,9 , 0,7) ao ponto C(3,4), a distância 'd' entre esses pontos será o valor desta altura:

h² = (3, 1.9)² + (4 - 0,7)²

h² = 1,1² + 3,3²

h² = 1,21 + 10,89 = 12,1

h = 3,479

O tamanho da base, é a distância do ponto A ao ponto B.

d² = (4 - 1)² + (0 - 1)²

d² = 3² + 1² = 10

d = 3,1623

A área será:



A área ainda pode ser calculada pelo determinante da matriz:



Onde a primeira coluna são as coordenadas x dos vértices, e a segunda coluna as coordenadas y.


Exercício Resolvido - Circunferência e distância de pontos

Sejam A(-4,0) e B(0,8) pontos externos do diâmetro da circunferência de centro no ponto C. A reta que passa por C é perpendicular ao diâmetro AB intercepta o eixo das abcissas no ponto P.Qual a distancia entre os pontos B e P?
a)5
b)6
c)7
d)9
e)10

Solução:
Como temos os pontos A e B diametralmente opostos, a distância entre eles é o valor do diâmetro dessa circunferência.
A distância 'd' entre eles é dada por:

d² = (-4 - 0)² + (0 - 8)² = 16 + 64 = 80
d = 4√5

Assim, o raio dessa circunferência é 2√5 e o raio ao quadrado será 20.
Como a equação geral de uma circunferência é:
(x - xo)² + (y - yo)² = r²
Onde xo e yo são as coordenadas do centro e x e y são as coordenadas dos pontos pertencentes à circunferência, temos:

Para o ponto A:
(-4 - xo)² + (0 - yo)² = 20
16 + 8xo + xo² + yo² = 20
Para o ponto B
(0 - xo)² + (8 - yo)² = 20
xo² + 64 - 16yo + yo² = 20

Assim, como ambos são iguais a 20:
16 + 8xo + xo² + yo² = xo² + 64 - 16yo + yo²
8xo +16yo = 48
Dividindo tudo por 8 para simplificar
xo + 2yo = 6
xo = 6 - 2yo

Substituindo este valor nas equações acima:
xo² + 64 - 16yo + yo² = 20
(6 - 2yo)² + 64 - 16yo + yo² = 20
36 - 24yo + 4yo² + 64 - 16yo + yo² = 20
5yo² - 40yo + 80 = 0
Dividindo tudo por 5 para simplificar
yo² - 8yo + 16 = 0

Aplicando Bhaskara temos:
yo = 4
Logo:
xo = -2
Assim, as coordenadas do ponto central são (-2,4)

Equação da reta que passa por A e B:
No ponto A (-4,0), x = -4 e y = 0
Como a equação de uma reta é do tipo y = ax + b
0 = -4a + b

No ponto B (0,8), x = 0, y = 8
8 = 0*a + b
b = 8
a = 2
y = 2x + 8

O coeficiente angular dessa reta é 2, logo o da reta perpendicular a essa, terá coeficiente angular de -1/2, já que o coeficiente angular de retas perpendiculares possuem sinal contrário e um é o inverso do outro. Mas queremos que essa reta passe por C (-2, 4)
Para essa reta, a equação é do tipo:
y = (-1/2)x + b
Mas passa por C (-2, 4), onde x = -2 e y = 4
4 = (-1/2)*(-2) + b
4 = 1 + b
b = 3

A equação é:
y = (-1/2)x + 3

Esta reta corta o eixo das abcissas (eixo x) quando y = 0. Logo:
0 = (-1/2)x + 3
x = 6
Ponto P = (6,0)

A distância entre os pontos P (6,0) e B (0,8) é:
d² = (6-0)² + (0-8)²
d² = 36 + 64
d² = 100
d = 10

Letra e)

Abaixo o que aconteceu nesse exercício:
Em laranja, a distância 'd' entre os pontos P e B;
Em azul a circunferência;
Em preto, a reta y = 2x + 8 que passa por A e B;
Em cinza, a reta y = (-1/2)x + 3 perpendicular à que passa por A e B passando pelo ponto C e;
Em vermelho, os pontos A, B, C e P.


Exercício resolvido - Geometria analítica em 3 dimensões

Encontre o ponto de intersecção do plano 2x-y-3z-4 = 0 com a reta que passa pelo ponto (0,1,-1) e tem a direção do vetor (1,-2,1).


Solução:
A reta que passa pelo ponto (0,1,-1) e tem direção do vetor (1, -2, 1) é dada pela equação:
(x,y,z) = (Ponto) + a*(Vetor)
(x,y,z) = (0, 1, -1) + a*(1, -2, 1)
x = a
y = 1 - 2a
z = -1 + a

Substituindo esses valores de x, y e z no plano temos:
2(a) - (1-2a) - 3(-1 + a) - 4 = 0
2a - 1 + 2a + 3 - 3a - 4 = 0
4a - 3a - 5 + 3 = 0
a - 2 = 0
a = 2

Para a = 2:
x = 2
y = -3
z = 1

Logo, o ponto de intersecção da reta com o plano é (2, -3, 1)



Exercício Resolvido - Lugar Geométrico

Se o ponto P(x,y) é tal que sua distância do ponto A(3,2) é sempre duas vezes a sua distância de B(4,1), encontre uma equação que deve ser satisfeita pelas coordenadas de P.

Solução:
Distância do ponto P ao ponto A é:
√[(x-3)² + (y-2)²].
Vou chamar esta distância de 'd'
d = √[(x-3)² + (y-2)²]

Distância do ponto P ao ponto B é:
2d = √[(x-4)² + (y-1)²]

Multiplicando a distância do ponto P ao ponto A por 2 e igualando à distância do ponto P ao ponto B temos:
2*√[(x-3)² + (y-2)²] = √[(x-4)² + (y-1)²]

Elevando os dois lados ao quadrado:
4*[(x-3)² + (y-2)²] = [(x-4)² + (y-1)²]
4*[x² - 6x + 9 + y² - 4y + 4] = x² - 8x + 16 + y² - 2y + 1
4x² - 24x + 52 + 4y² - 16y = x² - 8x + 16 + y² - 2y + 1
3x² + 3y² - 16x - 14y + 35 = 0

Como x² e y² tem coeficientes iguais, podemos afirmar que esta é a equação de uma circunferência. Para saber qual é o centro e o raio desta circunferência, procedemos da seguinte forma:
3x² + 3y² - 16x - 14y + 35 = 0

Agrupamos os termos que multiplicam 'x' e 'y' e isolamos, do lado direita da igualdade, os termos independentes:
3x² - 16x + 3y² - 14y = -35

Somamos constantes de ambos os lados da igualdade de forma conveniente a ter quadrados perfeitos:
(3x² - 16x + 64/3) + (3y² - 14y + 49/3) = -35 + 64/3 + 49/3 = -35 + 113/3 = 8/3

Dividindo tudo por 3, para deixar x² e y² sem coeficientes:
[x² - (16/3)x + 64/9] + [y² - (14/3)y + 49/9] = 8/9
(x - 8/3)² + (y - 7/3)² = [(2/3)*√2]²

Centro: ( 8/3 , 7/3)
Raio : (2/3)*√2