Exercício Resolvido - Conjuntos

Em uma pesquisa realizada num grupo de 100 alunos, constatou-se que 42 falam inglês, 12 falam inglês e francês, 18 falam espanhol e inglês e 16 falam espanhol e francês. O numero de alunos que falam espanhol é precisamente 50% maior que i número daqueles que falam francês. Com base nessas informações, julgue os itens abaixo como verdadeiros ou falsos.

( ) O numero de alunos que falam frances é igual a 0,6 do numero dos que falam espanhol.

( ) Se 9 dos alunos consultados falam 3 linguas e 5 não falam nenhuma delas, então mais da metade dos alunos falam francês.

( ) Se 9 dos alunos consultados falam as três linguas e 5 não falam nenhuma delas, então exatamente 24 desses alunos não falam apenas inglês.

Solução:
Total: 100 alunos
Línguas: Inglês, francês e espanhol.
Podemos ter alunos que:
Não falam nada: N
Falam só inglês: In
Falam só francês: F
Falam só espanhol: E
Inglês e francês: InF
Inglês e espanhol: InE
Espanhol e francês: EF
Inglês, espanhol e francês: InEF

Sabemos que:
In + F + E + InF + InE + EF + InFE + N = 100          (1)
42 = In + InE + InF + InEF                                         (2)
12 = InF + InEF                                                          (3)
18 = InE + InEF                                                          (4)
16 = EF + InEF                                                           (5)
E + EF + InE + InEF = 1,5*(F + EF + InF + InEF)  (50% maior). 
Trabalhando essa igualdade:

E + InE = 1,5F + 0,5EF + 1,5InF + 0,5InEF               (6)

Assim, usando (2) em (1):
42 + F + E + EF + N = 100
F + E + EF + N = 58                                                  (7)

Primeira afirmação:
Falsa, pois o número de alunos que falam espanhol é precisamente 50% maior que o número daqueles que falam francês.
Assim, vou chamar de EE os alunos que falam espanhol (E + InE + EF + InEF) e de FF (F + EF + InF + InFE) os que falam francês.
Do exercício temos que:
EE = 1,5FF, logo
FF = 0,666666EE, e não 0,6 apenas.

Segunda afirmação:
InFE = 9 e N = 5, então FF > 50.
De (3), InF = 3
De (4), InE = 9
De (5), EF = 7
De (2), In = 21
Combinando todos esses dados em (1):
21 + F + E + 3 + 9 + 7 + 9 + 5 = 100
F+E = 46
Usando (6):
E + 9 = 1,5F + 0,5*7 + 1,5*3 + 0,5*9
E - 1,5F = 3,5

Tendo o sistema:
E + F = 46
E - 1,5F = 3,5
2,5F = 42,5
F = 17
Assim, FF = F + InF + EF + InFE = 17 + 3 + 7 + 9 = 36 < 50, falsa.

Terceira afirmação:
Falsa também. Já que o número de alunos que falam apenas inglês é 21, sendo, portanto, o número dos que NÃO falam apenas inglês 100-21 = 79


4 comentários:

  1. Judson Fernandes (Phell)21 de fevereiro de 2012 00:18

    Escolhi como a melhor: http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20120220145945AAOY1IU , vê o comentário que eu deixei la pf.

    Cara, esse método de usar as devidas letras representando as partes do diagrama de veen, funciona sempre ou tem alguma condição para poder usa-lo? É pra eu poder saber se quando não acho usando esse método se o erro é meu ou não tem dado suficiente ou coisas assim.

    Obrigado por toda ajuda que me deu hoje! (Espero poder lhe perturbar mais rs)

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  2. A princípio funciona sempre. É simplesmente uma forma de organizar o exercício.
    Vou agora revisar o exercício acima.. Vamos ver...

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  3. Cara. Refiz aqui, deu a mesma coisa.. Não sei se tem alguma coisa digitada errada. Na segunda afirmação, os alunos que falam francês é 36 mesmo, menor que a metade. Porém os que falam espanhol é 54. Talvez seja o número dos alunos que falam espanhol que ele queira, ou tem alguma coisa diferente no enunciado.

    Na terceira afirmação, alunos que não falam apenas inglês seria o que? Tentei ver o que poderia ser. Talvez seja os alunos que falam outra língua além de inglês (InF, InE, InEF), mas esta soma de 21, o que seria falso também. Não sei..

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  4. Judson Fernandes (Phell)21 de fevereiro de 2012 14:49

    Ah ta, entendi cara.
    Poxa deve ser erro no enunciado/gabarito mesmo. ;D

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