Exercício Resolvido - Número de elementos de conjuntos

Se X é um conjunto com um número finito de elementos, n(X) representa o número de elementos do conjunto X. Considere A,B e C com as seguintes propriedades:

n(A U B U C) = 25
n(A - C) = 13
n(B - A) = 10
n(A ∩ C) = n[C - (A U B)]
Qual o maior valor possível de n(C) ?

Solução:

Da primeira informação do exercício temos que C pode ter 25 elementos
De n(A - C) = 13, temos que A possui 13 elementos que C não possui. Combinada com a informação anterior, podemos concluir que C pode ter então, no máximo 12 elementos.

Neste ponto, vamos então supor que n(C) = 12. Se for menos, haverá alguma contradição com as informações do exercício.

Relações:
n(X ∩ Y) = n(X) + n(Y) - n(X U Y)
n(X - Y) = n(X) - n(X ∩ Y)

Assim:
Adotando que (A U B) = K, para simplificar, de n(A U B U C) = 25 temos:
n(K U C) = n(K) + n(C) - n(K ∩ C)
n(K U C) = n(K) + 12 - n(K ∩ C) = 25
n(K) - n(K ∩ C) = 13
Mas:
Equação 1) n(K) - n(C ∩ K) = n(K - C) = 13

De n(A - C) = 13 temos:
n(A) - n(A ∩ C) = 13
Equação 2) n(A)  = n(A ∩ C) + 13

De n(A ∩ C) = n[C - (A U B)] temos:
n(A ∩ C) = n(C - K)
Usando a equação 2)
Equação 3) n(A) - 13 = n(C - K)
Mas:
n(C - K) = n(C) - n(C ∩ K)
Usando a equação 1)
n(C - K) = n(C) + 13 - n(K)
Assim:
n(A) - 13 = n(C) + 13 - n(K) = 12 + 13 - n(K) = 25 - n(K)
Equação 4) n(A) = 38 - n(K)

De n(B - A) = 10 temos:
n(B - A) = n(B) - n(B ∩ A) = n(B) - [n(B) + n(A) - n(B U A)] = 10
n(B - A) = n(B) - n(B) - n(A) + n(K) = 10
n(B - A) = - n(A) + n(K)
Usando equação 4)
n(B - A) = -38 + n(K) + n(K) = 10
2*n(K) = 48
n(K) = 24
n(A) = 14
n(C - K) = n(A ∩ C) = 1
n(C ∩ K) = 11

Temos que:
n(K ∩ C) = n[(A U B) ∩ C] = n[(A ∩ C) U (B ∩ C)] = n(A ∩ C) + n(B ∩ C) - (A ∩ B ∩ C) = 11
Equação 5) n(A ∩ C) + n(B ∩ C) - (A ∩ B ∩ C) = 11

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + (A ∩ B ∩ C)
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - [n(A ∩ C) + n(B ∩ C) - (A ∩ B ∩ C)]
Usando a equação 5) temos
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - 11
Substituindo valores
25 = 14 + n(B) + 12 - 1 - 11
n(B) = 11

Ou seja, temos resultados viáveis considerando que n(C) = 12. Como este é o maior valor possível segundo as duas primeiras hipóteses, então n(C) não pode ser mais que 12. Logo, o máximo de elementos que C pode ter é 12.

Uma solução numérica seria:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14};
B = {14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24};
C = {14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}.


7 comentários:

  1. Judson Fernandes (Phell)20 de fevereiro de 2012 21:11

    Mas que resolução incrível, com certeza eu nunca conseguiria. Muito obrigado por ter perdido tanto tempo para faze-la.!

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  2. Valeu. Quando precisar é só gritar.. ehhehe

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  3. Judson Fernandes (Phell)20 de fevereiro de 2012 21:34

    Vou gritar mesmo rs, do jeito que esses exercicios estão...
    Se tiver com tempo ae, me ajuda nesse?
    http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20120220145945AAOY1IU

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  4. meee ajudou muitoo... jamais entederiaaa
    obg

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  5. Obrigado pela ajuda, Meu amigo! Continue com o bom trabalho!

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  6. Valeu Erickson, eu que agradeço. Volte sempre que precisar.

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