Mostrando postagens com marcador MRU. Mostrar todas as postagens
Mostrando postagens com marcador MRU. Mostrar todas as postagens

Exercício Resolvido - Queda livre: VESTIBULAR UERJ 2011

Vestibular UERJ 2011 questão 22 sobre queda livre

Um trem em alta velocidade desloca-se ao longo de um trecho retilíneo a uma velocidade constante de 108 km/h. Um passageiro em repouso arremessa horizontalmente ao piso do vagão, de uma altura de 1 m, na mesma direção e sentido do deslocamento do trem, uma bola de borracha que atinge esse piso a uma distância de 5 m do ponto de arremesso.
O intervalo de tempo, em segundos, que a bola leva para atingir o piso é cerca de:
(A) 0,05
(B) 0,20
(C) 0,45
(D) 1,00

Solução:
Inicialmente é preciso fazer a conversão das unidades para haver consistência:



Como pode ser visto na figura ilustrativa abaixo a bola irá realizar um movimento de um lançamento oblíquo. Isto ocorre pois a velocidade horizontal da bola é a velocidade que o passageiro vai lançar ela. Porém, o cálculo do tempo que a bola vai levar para chegar ao chão em nada tem a ver com a velocidade de lançamento e tampouco com a velocidade do trem. Uma característica do lançamento oblíquo é a independência dos movimentos verticais e horizontais, assim, o tempo que a bola vai levar para chegar ao solo irá depende apenas do seu movimento de queda livre, ou seja, da ação da gravidade sobre a bola.

UERJ Queda Livre MRUV
Trajeto da bola (vermelha) dentro do trem (azul). A bola percorre verticalmente um movimento de queda livre (MRUV) e, horizontalmente, um Movimento Retilíneo Uniforme (MRU).
Como o valor da gravidade não é fornecido, chamarei de g e se for necessário usar algum valor numérico farei isso no fim do exercício.
Assim, na vertical a bolinha percorre um movimento de queda livre com velocidade inicial nula, pois e bola só tem velocidade inicial na horizontal:

Exercício Resolvido - Queda Livre: ITA 2003

Como ele pede uma resposta aproximada (no enunciado está "O intervalo de tempo (...) é cerca de:"), podemos adotar que g ≈ 10 m/s², assim:



A resposta correta é (C).


5 Exercícios Resolvidos clássicos de MRUV e MRU para você fixar o assunto.

Veja 5 exercícios resolvidos de MRUV e MRU

1 - O gráfico abaixo mostra a velocidade de dois ciclistas (C1 e C2) em função do tempo. Ambos partem
da posição inicial zero pata t = 0 e percorrem trajetórias retilíneas no mesmo sentido. Com base nos dados da figura, determine:

a) o valor da aceleração do ciclista C1 no instante t = 5 s;

b) a distância entre os ciclistas no instante em que eles têm a mesma velocidade.


Exercício Resolvido de MRU
Gráfico da velocidade do ciclista 1 (em azul) e do ciclista 2 (em vermelho). É possível verificar que ambos desenvolvem um movimento MRUV inicialmente, e depois MRU.

2 - Numa prova de 100 m rasos, um atleta consegue percorrê-los em 10 s. O gráfico a seguir mostra,
aproximadamente, como varia a velocidade deste atleta durante a prova. Com isso determine:

a) qual a velocidade média durante os 10 s.

b) estime, a partir do gráfico, um valor razoável para vf.

Gráfico da velocidade do atleta nos 10 s de duração da prova

3 - A maior aceleração (ou desaceleração) que é desejável que os passageiros de um trem urbano sintam é de 2 m/s². Se a distância entre duas estações consecutivas é de 800 m e supondo que o trem pare em todas as estações, calcule:

a) a máxima velocidade que o trem pode atingir.

b) o tempo mínimo que o trem deve levar de uma estação até a outra.


4 - Um objeto parte do repouso de um ponto A e percorre, em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado um trecho até outro ponto B. No mesmo instante em que o primeiro objeto parte de A para B, outro parte de B em direção à A em Movimento Retilíneo Uniforme (velocidade constante). A distância entre A e B é de 50 m. Depois de 10 s da partida, os objetos se cruzam exatamente no meio do percurso AB. Com isso, calcule:

a) a velocidade do móvel que partiu de B.

b) a velocidade do objeto que partiu de A chegará em B.

5 - Um ciclista se desloca de acordo com a equação S = 40 + 10t + t² com dados no SI. Com isso, determine:

a) a posição inicial do ciclista, a velocidade inicial do ciclista e a aceleração do ciclista

b) sua posição S e velocidade V quando o tempo for 10 s

Soluções:

Exercício 1 - 
a) A equação da velocidade é dada por:

Como para t = 0, V0C1 = 0, temos:


Porém, no gráfico a reta passa pelo ponto VC1 = 4 m/s, t = 10 s. Então:


Como a velocidade de C1 cresce linearmente no trecho de 0 s até 10 s, então sua aceleração é constante. Assim, neste intervalo de tempo:


b) Vendo o gráfico percebemos que há uma intersecção dos gráficos. 

Ponto onde ambos os ciclistas possuem a mesma velocidade marcado com um círculo em preto

Como este é um gráfico da velocidade pelo tempo, a intersecção ocorre quando ambos têm a mesma velocidade e, é possível perceber que ela ocorre quando o ciclista C2 já está com velocidade contante de 2,4 m/s. Agora, é preciso saber qual o tempo, porém isso fica simples da saber pois já temos a equação da velocidade do ciclista C1 até 10 s.

Então:


Agora, é preciso calcular a posição de cada um dos ciclistas para saber a diferença entre elas, assim temos a distância entre eles:
A equação da posição em MRUV é:


No caso do exercício temos que até 6 s, o ciclista C1 esteve unicamente em movimento MRUV, pois o gráfico de sua velocidade manteve-se como uma reta crescente sem mudança brusca de inclinação. Porém, não pode-se dizer o mesmo do ciclista C2, que no tempo t = 5 s sua velocidade passa a ser constante. Assim, ele desenvolve um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado até o tempo de 5 s e a partir daí, mantém sua velocidade constante de 2,4 m/s. Precisamos, portanto, saber qual é a equação da velocidade do ciclista C2 até t = 5s.


Da mesma forma o seu gráfico começa com V0C2 = 0 e passa pelo ponto VC2 = 2,4 quando t = 5. Assim, substituindo esse valores na equação temos:


Então:


A posição de C1 quando t = 6 s:



A posição de C2 quando t = 6 s deve ser calculada somando os dois trechos, já que ele desenvolve um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado até 5 s e um Movimento Retilíneo Uniforme a partir deste tempo. Assim, calculamos o deslocamento de C2 até t = 5 s:



Distância percorrida no intervalo de tempo t = 5 s até t = 6 s, ou seja, em apenas 1 segundo. Aqui, como não há aceleração pois a velocidade é constante (V = 2,4 m/s), basta usar a mesma equação porém com aceleração nula (isso irá resultar a equação da posição de MRU)


Assim, a distância percorrida pelo ciclista C2 será de:


A distância entre eles será de 8,4 - 7,2 = 1,2 m


Exercício 2 -
a) Como o atleta percorre 100 m em 10 s, sua velocidade média será de:

MRU - Movimento Retilíneo Uniforme

b) Aproximando o gráfico na primeira parte por uma reta, até t = 5 s temos:


Como mostrado em amarelo, a aproximação fica abaixo do real. Há duas áreas formadas pelas curvas; uma primeira fica acima da reta o que garante que a reta esta sub-estimando a velocidade; e uma segunda que fica abaixo da reta, próxima do ponto marcado em preto, que super-estima a velocidade. Porém, visivelmente a primeira área é muito superior à segunda, o que garante que a aproximação por reta é sub-estimada, ou seja, o deslocamento calculado no primeiro intervalo usando a reta será inferior ao real deslocamento. Porém, vamos calcular quando seria vf se os gráficos fossem as retas:

Precisamos, primeiramente, calcular a aceleração no primeiro trecho, imaginando que seja uma eta:


Como V0 = 0 e o tempo final é t = 5 s


Assim, o deslocamento no primeiro trecho será:


No segundo treco ( entre t = 5 s e t = 10 s, ou seja, num intervalo de tempo de 5 s) a velocidade foi aproximada para uma constante, V = Vf. Neste trecho, o deslocamento é dado por:


O deslocamento total será:


Mas o deslocamento total é de 100 m:


Porém, como sabemos que o primeiro trecho o deslocamento foi um pouco maior, ou seja:


Desta forma, o Stotal real será um pouco maior, o que irá causar uma leve redução de Vf. Assim, um valor bastante coerente para Vf é de 13 m/s.


Exercício 3 -
a) A situação de maior velocidade será se o trem partir com aceleração de 2 m/s² a, no meio do trajeto, desacelerar a 2 m/s². Neste caso, ele irá percorrer 400 m com aceleração de 2 m/s² e 400 m com a desaceleração de mesma intensidade. Usando a equação de Torricelli temos:


onde d é o deslocamento. Neste caso, temos d = 400 m, a = 2 m/s² e como ele parte do repouso, V0 = 0, então:


b) O tempo pode ser calculado pela equação da velocidade. Na primeira metade ele alcança a velocidade de 40 m/s, assim:


Como a primeira metade do trajeto é percorrida com aceleração de 2 m/s² e, da mesma forma, a segunda metade é percorrida com desaceleração de 2 m/s², o tempo de cada trecho é o mesmo. Assim o tempo total será de 40 s.

Veja também:
5 Exercícios Resolvidos de Resistência Equivalente Para Você Fixar o Assunto

Exercício 4 -

a) O objeto que parte de A se desloca em MRUV. Assim, sua posição é dada por:


Como ele parte do repouso e desconsiderando sua posição inicial, temos:


O objeto que parte de B, se desloca em MRU:


O exercício fala que após 10 s eles se encontram no meio do percurso, ou seja, eles percorreram 25 m. Assim SB = 25 m e SA = 25 m.
Substituindo na equação de SB para calcular sua velocidade, temos:


b) Substituindo os dados na equação de SA temos:

Usando a equação de Torricelli temos:


Substituindo os valores para saber a velocidade do objeto que partiu de A no ponto B:


Exercício 5 -

Se você chegou até aqui, parabéns, a sua vontade em aprender este assunto já me fala muito sobre você.

É preciso se concentrar e estar atento aos detalhes, além de exercitar e isso exige dedicação.

Vamos ao exercício 5:

a) Neste exercício basta saber que a equação de movimento é dada por:



Como ele se desloca de acordo com a equação:

 

Então:
Posição inicial S0 = 40 m
Velocidade inicial V0 = 10 m/s
Aceleração a = 2 m/s²

b) Para o tempo de 10 s, a sua posição será:



Como a velocidade em MRUV é dada pela equação:



Temos, no tempo 10 s:



Exercício Resolvido - MRU e MRUV, Mosca e trem.

Um trem esta numa estação A, inicialmente em repouso e parte com aceleração de 0,3 m/s².
Numa estação B parte do repouso outro trem, com aceleração de 0,1 m/s².
Pousada em seu nariz há uma mosca que neste mesmo instante passa a voar retilineamente em direção ao trem B com velocidade constante de 15 m/s.

Ambos os trens deslocam-se um de encontro ao outro e a distância inicial deles é de 500 m.
A mosca que inicialmente estava no nariz do trem A voa e encosta no B. Após isso, sem alterar sua velocidade, retorna e encosta no trem A, repetindo este procedimento até que os trens se chocam e a mosca morre esmagada.

a) Qual o tempo que levará até que a mosca morra esmagada?
b) Qual o deslocamento de cada um dos trens?
c) Qual a distância percorrida pela mosca?

Solução

a) A equação que descreve a posição dos trens é a equação do MRUV (Movimento Retilíneo Uniformemente Variado), já que ambos possuem aceleração constante.

SA = SoA + VoA*t + aA*t²/2
SB = SoB + VoB*t + aB*t²/2

Considerando que o trem A desloca-se em uma direção positiva (ou seja, com isso o deslocamento de B será negativo, já que os trens se deslocam em direções opostas) e que a sua posição inicial é a origem, temos que SoA = 0 e que SoB = 500 m. Como ambos os trens partem do repouso temos que suas equações da posição de cada trem ficam:

SA = aA*t²/2
SB = 500 + aB*t²/2

Como o trem B se desloca numa direção negativa, sua aceleração é negativa, aB = -0,1 m/s², logo:

SA = 0,3*t²/2
SB = 500 - 0,1*t²/2

Quando os trens se chocam, ambos estão no mesmo ponto, logo SA = SB. E com isso podemos calcular o tempo que leva até eles se chocarem:

SA = SB
0,3*t²/2 = 500 - 0,1*t²/2
Multiplicando tudo por 2
0,3*t² = 1000 - 0,1*t²
Com isso
0,4*t² = 1000
t² = 2500
t = 50 s

b) Como o tempo que os trens levam para se chocarem é de 50 s, basta substituir este tempo nas equações da posição dos trens e ver quanto eles se deslocaram. Para o trem A:

SA = 0,3*t²/2
SA = 0,3*50²/2
SA = 375 m
Logo o deslocamento do trem A é de 375 m.

Para o trem B:

SB = 500 - 0,1*t²/2
SB = 500 - 0,1*50²/2
SB = 500 - 125
SB = 375 m

Este resultado não é o quanto o trem B se DESLOCOU, mas sim a POSIÇÃO do trem B após os 50 s. Como deveria ser, veja que o resultado é o mesmo do trem A, o que é bastante óbvio já que eles se chocam e para isso precisam estar na mesma posição. Para saber o deslocamento do trem B, basta lembrar que ele partiu do ponto SoB = 500 m. Se no fim ele estava no ponto 375 m, então ele se deslocou:

500 - 375 = 125 m
Logo, o deslocamento do trem B é de 125 m.

c) Para o cálculo de quanto a mosca percorreu basta usar as equações de MRU (Movimento Retilíneo Uniforme) pois a velocidade da mosca não se altera em momento nenhum.

SMOSCA = VMOSCA*t

Como já sabemos o tempo (t = 50 s) e a velocidade dela é de 15 m/s:

SMOSCA = 15*50 = 750 m
Logo, a distância percorrida pela mosca é de 750 m.

Comentários:
A distância percorrida pela mosca é maior que a distância entre os trens, o que parece ser bem estranho. Porém lembre-se que a mosca fica "indo e voltando" de um trem para o outro e por isso acaba percorrendo uma distância maior que os 500 m.


Choque com mola - Quantidade de movimento e energia

Um corpo de massa m1 = 2 kg escorrega por uma mesa sem atrito com velocidade de 10m/s. Diretamente à frente do corpo, deslocando-se com velocidade de 3 m/s, na mesma direção, está outro corpo de massa m2 = 5 kg. Uma mola ideal (ver figura) apresenta rigidez elástica K = 1120 N/m e está presa ao segundo bloco. Qual a máxima deformação na mola?
Energia

Solução:
Inicialmente, vamos pensar que o conjunto formado pelos dois blocos e pela mola é um corpo só. Como não há força externa agindo, a quantidade de movimento será, obrigatoriamente mantida. Ainda, como a mola é ideal, ela não tem massa, logo, não possui quantidade de movimento e não há perda de energia ao ser comprimida.

Assim:
Qantes = m1*v1 + m2*v2 = 2 kg * 10 m/s + 5 kg * 3 m/s = 20 kg.m/s + 15 kg.m/s = 35 kg.m/s

Agora, perceba o que irá ocorrer após o choque:
Como o bloco1 está mais rápido, ele irá agir no conjunto bloco2+mola e claro, sofrerá uma reação. Esta força é verificada na mola, que será comprimida, porém, ao mesmo tempo o conjunto bloco2+mola irá acelerar, da mesma forma, o bloco1 irá desacelerar, como reação. Isso vai ocorrer até um certo instante, onde a velocidade do conjunto será a mesma, ou seja, o bloco1 desacelera e o conjunto bloco2+mola acelera, num dado momento, eles terão mesma velocidade e a partir daí, a mola irá empurrar o bloco1, isto vai fazer com que o bloco1 diminua ainda mais sua velocidade, e a velocidade do conjunto bloco2+mola continua aumentando.

Mas, o que vale, é que nesse instante de velocidade igual há a máxima compressão da mola e, como se sabe, a quantidade de movimento é a mesma, ou seja, 35 kg.m/s.

Logo:
Qdepois = (m1 + m2)*v
35 kg.m/s = (2 kg + 5 kg)*v
v = 5 m/s

Energia
Por ser a mola ideal, não há perdas de energia, ou seja, a energia inicial do conjunto é mantida, logo:

Eantes = m1*(v1²)/2 + m2*(v2²)/2 = 100 N.m + 22,5 N.m = 122,5 N.m

Edepois = (m1 + m2)*(v²)/2 + k*x²/2

122,5 N.m = (7*25)/2 N.m + 1120*x²/2 N.m
35 = 560*x²
x² = 0,0625
x = 0,25 m

Logo, x = 25 cm

Este exercício ainda pode ser feito utilizando a velocidade relativa. O raciocínio é o mesmo:
Qantes = m1*v1relativa = 2*7 = 14 kg.m/s
Eantes = m1*(v1relativa²)/2 = 49 N.m
Qdepois = (m1 + m2)*v = 7*v
14 = 7*v
v = 2 m/s
Edepois = (m1 + m2)*v²/2 + k*x²/2
49 = 7*2²/2 + 1120*x²/2
49 = 14 + 560x²
35 = 560x²
x = 0,25 m = 25 cm


Exercício Resolvido - Velocidade média

Um percurso de 310 km deve ser feito por um ônibus em 5 h. O primeiro trecho de 100 km é percorrido com velocidade média de 50 km/h e o segundo trecho de 90 km, com velocidade média de 60 km/h. Que velocidade média deve ter o ônibus no trecho restante para que a viagem se efetue no tempo previsto?

Solução:
No primeiro trecho, ele percorreu 100 km com velocidade de 50 km/h, o tempo gasto foi de 100/50 = 2 h
No segundo trecho, ele percorreu 90 km com velocidade de 60 km/h, o tempo gasto foi de 90/60 = 1,5 h
Como ele já gastou 3,5 h = 3 h 30 min e ele tem que levar 5 h, ele ainda tem 1 h 30 min.
Dos 310 km ele percorreu 190 km, logo, ele tem ainda 310-190 = 120 km para percorrer.

Então, ele tem que percorrer 120 km em 1,5 h (1 h 30 min = 1,5 h)
Logo, a velocidade dele deve ser:

120/1,5 = 80 km/h


Exercício Resolvido - Velocidade média

Quatro cidades A, B, C e D estão dispostas tal que as distâncias rodoviárias entre A e B, B e C e C e D são, respectivamente, AB = 60 km, BC = 100 km e CD = 90 km. Se um automóvel vai de A até B a uma velocidade de 60 km/h, da cidade B até a C a uma velocidade média de 50 km/h e da C até a D a uma velocidade média de 45 km/h, determine a velocidade média desse automóvel em km/h, para o percurso de A até D.

Solução:
Distância percorrida: 60 + 100 + 90 = 250 km
Tempo:
Se ele percorre 60 km a uma velocidade de 60 km/h, o tempo será de 1 h
Se ele percorre 100 km a 50 km/h, o tempo será de 100/50 = 2 h
Se ele percorre 90 km a 45 km/h, o tempo será de 90/45 = 2 h

O tempo total:
1+2+2 = 5h

Velocidade média: 250/5 = 50 km/h


Lançamento oblíquo

Uma bola é lançada verticalmente para cima, e demora 2,22 segundos até atingir 36,8m. Determine:

a-) a velocidade inicial;
b-) a velocidade na altura de 36,8m;

c-) a distancia adicional que o corpo percorre até parar.


Solução:
Adotando g = 10m/s²
a) Da equação H = Vo*t - g*t²/2

O sinal negativo de g é pelo fato de o sentido de g ser contrário ao da velocidade.
36,8 = Vo*2,22 - 10*2,22²/2
61,442 = Vo*2,22
Vo = 27,68 m/s

b) V = Vo - g*t = 27,68 - 10*t = 27,68 - 22,2 = 5,48m/s

c)V² = Vo² - 2*g*H
Como a velocidade final é zero:
0² = 27,68² - 2*10*H
20H = 766,18
H = 38,31m