Exercício resolvido - Associação mista de resistores

Calcule a resistência equivalente da associação mista de resistores entre os pontos A e B no circuito abaixo:
Associação mista de resistores

Solução:

Neste exercício, tem-se dois curtos formando um "X" no meio do quadrado. Como já comentado nos outros casos, a melhor forma de visualizar a disposição dos resistores é unindo os pontos ligados por curto. Neste caso, o vértices do quadrado podem ser transformados em um ponto só.

Associação mista de resistores
Assim, os pontos A e D podem ser considerados como um mesmo ponto. Da mesma forma, os pontos B e C. Unindo, primeiramente, os pontos A e D temos:

Associação mista de resistores

Unindo agora os pontos B e C:

Associação de resistores em paralelo
Assim, fica fácil perceber que todas as resistências estão em paralelo. Como todas elas são iguais, tem-se que a resistência equivalente entra os pontos A e B é R/4.

Para saber mais sobre associação de resistores, veja 5 Exercícios Resolvidos de Associação de Resistores Para Você Fixar o Assunto


Cálculo I: Números Reais

Neste post falaremos dos Números Reais e suas propriedades na introdução ao Cálculo.

O conjunto dos números reais (ℝ) é formado pela união dos conjuntos Naturais (ℕ), Inteiros (ℤ), Racionais (ℚ) e Irracionais (𝕀).

Conjunto dos Números Reais

No conjunto dos números Naturais (ℕ) existe uma propriedade importante, denominada Princípio da Indução Finita (para mais detalhes, clique aqui). Essa propriedade é muito utilizada no estudo de sequências.

Com as propriedades existentes no conjunto dos ℝ, assim como no conjunto dos ℕ, ℤ e ℚ, é possível que se defina as operações de ADIÇÃO e MULTIPLICAÇÃO. Neste ponto definimos o que é um Corpo.

Definição 1: Um corpo é um conjunto M diferente de vazio que possui duas operações: ADIÇÃO ⊕ e MULTIPLICAÇÃO ⊗ de modo que satisfaça as seguintes propriedades:

a) Associativa: Dados a,b,c ∈ M são verdadeiras as seguintes relações:

(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)

(a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)


b) Comutativa: Dados a,b ∈ M, são verdadeiras as seguintes relações:

a ⊕ b = b ⊕ a

a ⊗ b = b ⊗ a

c) Elemento neutro da adição: Deve existir 0 ∈ M tal que ⊕ 0 = a, para todo a ∈ M.

d) Elemento neutro da multiplicação: Deve existir 1 ∈ M, tal que ⊗ 1 = a, para todo a ∈ M.

e) Elemento simétrico ou oposto da adição: Deve existir -a ∈ M para cada elemento a ∈ M tal que:

a ⊕ (-a) = 0 (elemento neutro da adição).

f) Elemento inverso da multiplicação: Deve existir a⁻¹ ∈ M* para cada a ∈ M de forma que:

 (a⁻¹) = 1 (elemento neutro da multiplicação)

g) Propriedade distributiva da multiplicação de uma adição: Para quaisquer elementos a, b, c ∈ M, deve ser válida a seguinte igualdade:

a ⊗ (b ⊕ c) = a ⊗ b ⊕ a ⊗c

De posse dessa definição temos que, dos conjuntos acima mencionados, apenas os conjuntos ℝ e ℚ satisfazem a definição acima para as operações de adição e multiplicação usuais e, portanto, podem ser chamados de Corpo.


Exercícios resolvidos:

Exercício 1: Mostre que o conjunto dos números Racionais (ℚ) forma um corpo segundo as operações de adição e multiplicação usuais:
O conjunto ℚ é formado por números que podem ser escritos por:

Onde tanto a quanto b são números Inteiros (ℤ), onde b ≠ 0.
Sejam os três números Racionais a seguir:
Vamos verificar as propriedades:

Propriedade a) Associativa:
Esta propriedade é válida para a soma e a multiplicação usuais já que, para quaisquer a,b,c,d,e,f ∈ ℤ são verdadeiras as igualdades:

Propriedade b) Comutativa:
Esta propriedade é válida para a soma e a multiplicação usuais já que, para quaisquer a,b,c,d ∈ ℤ são verdadeiras as igualdades:
Propriedade c) Elemento neutro da adição:
É válida pois o 0 pertence ao conjunto dos números Racionais.


Propriedade d) Elemento neutro da multiplicação:
É válida pois o 1 pertence ao conjunto dos números Racionais.

Propriedade e) Elemento simétrico ou oposto da adição:
É válida pois para qualquer elemento que pertença aos Racionais, o seu simétrico também pertence.

Propriedade f) Elemento inverso da multiplicação:
É válida pois para qualquer elemento que pertença aos Racionais, o seu inverso também pertence.

Propriedade g) Propriedade distributiva da multiplicação de uma adição:
É válida pois para qualquer elemento que pertença aos Racionais, a igualdade abaixo é verdadeira:

Por satisfazer todas as propriedades, temos que os números Racionais formam um corpo.

Exercício 2: Por que o conjunto dos números Naturais (ℕ) não é um corpo?
Por não possuir números negativos contata-se que a propriedade e) não pode ser cumprida. Além dela, a Propriedade f) também não.

Exercício 3: Por que o conjunto dos números Irracionais (𝕀) não é um corpo?

Por não possuir os números 0 e 1, não satisfaz as Propriedades c) e d).
Surge, destas propriedades, a seguinte Proposição:

Proposição 1: Para todo conjunto que seja um corpo, é verdadeiro:
1 - O elemento neutro é único;
2 - A unidade é única;
3 - Para cada elemento x do conjunto, existe um único elemento simétrico;
4 - Para cada elemento x do conjunto, existe um único elemento inverso multiplicativo;
5 - Se a,b,c pertencem ao conjunto de tal forma que a+b = a+c então, b = c;
6 - Dados a,b que pertençam ao conjunto, é verdadeiro:
-(-a) = a
-(a+b) = (-a) + (-b)
(-a)*b = a*(-b)
(-a)*(-b) = a*b

7 - Dados a,b que pertençam ao conjunto, é verdadeiro dizer que:
a*b = 0 se, e somente se, a = 0 ou b = 0
8 - Dados a,b que pertençam ao conjunto e sejam diferentes de zero, é verdadeiro dizer que:
(a⁻¹)⁻¹ = a
(a*b)⁻¹ = a⁻¹ * b⁻¹


Definição 2: Um corpo ordenado é um corpo K que possua um subconjunto P não vazio denominada conjunto dos números positivos de K, tal que:
a) Para todo a,b ∈ P tem-se que a+b e a*b ∈ P.
b) Para cada a ∈ K uma e somente uma das afirmativas abaixo é verdadeira:
ou a = 0, ou a ∈ P ou -a ∈ P

Definição 3: Seja C um corpo ordenado e seja S um subconjunto não vazio de C, define-se que:
a) S é limitado superiormente em C caso exista algum termo a ∈ C que seja maior ou igual a todos os termos de S. Dizemos nesse caso que a é uma cota superior de S em C. Se a for a menor cota superior de S em C, chamamos a de supremo de S em C.
b) S é limitado inferiormente em C caso exista algum termo b ∈ C que seja menor ou igual a todos os termos de S. Dizemos nesse caso que b é uma cota inferior de S em C. Se b for a menor cota inferior de S em C, chamamos b de ínfimo de S em C.
c) S é limitado em C quando possui cota inferior e superior em C.

Exercício resolvido:
Exercício 4: Mostre que o conjunto A = [3, 10) é limitado em .
De fato, basta tomarmos 2  ℝ e 15  ℝ, onde 2 é uma cota inferior e 15 é uma cota superior. No caso temos 3 como ínfimo de A em  e 10 como supremo de A em ℝ.

Em outras palavras, o supremo de um conjunto é um valor tal que seja maior ou igual a todos os valores do conjunto porém não existe valor "intermediário" entre ele e o maior valor do conjunto. Esta afirmação só é verdadeira quando o supremo é o próprio maior valor do conjunto.
O raciocínio análogo ocorre para o ínfimo, devendo ser ele o menor valor do conjunto.

Definição 4: Um corpo ordenado completo é um conjunto tal que todo subconjunto dele, limitado inferiormente, admite ínfimo nele.


Exercício resolvido:
Exercício 5: Mostre que ℚ não é um corpo ordenado completo.
Dado o conjunto A = {x ∈ ℚ / x² > 2} temos que o ínfimo do conjunto √2 ∉ Q. Desta forma, este subconjunto de não possui ínfimo em , mas apenas em . (Veja também: Mostre que √2 não é Racional).

O conjunto dos ℝ é um corpo ordenado completo.

PS: O conjunto dos números Naturais pode ser definido com o 0 (zero) ou sem ele. Esta definição fica a critério do professor.




Carros usados e carros novos: a assustadora verdade sobre o custo dos carros

Se está pensando em trocar de carro, saiba como calcular o custo mensal de um carro usado ou um carro novo e descubra valores que vão além da prestação.

Carros Novos
Ter um carro novo é o sonho de muitos brasileiros.

Diversas são as concessionárias, os comerciais e os massivos meios de propaganda que envolvem o seu dia-a-dia e o fazem acreditar que ter um carro novo o tornará uma pessoa melhor e mais respeitada.

A verdade é que essa briga é desigual e lamento lhe informar, mas você já começa perdendo.

São milhares de profissionais de marketing trabalhando nisso, edifícios de dezenas de andares, tomados por computadores e pelos melhores profissionais da área, que estão o estudando e o analisando, 24 horas por dia, para fazerem você acreditar que o que você precisa é comprar um carro novo.

Porém, todo este trabalho é feito para levá-lo a agir pelo impulso, pela emoção, e nada melhor do que os números para alimentar a razão e fazê-la tomar as rédeas da situação.

Neste post iremos mostrar como calcular quanto um carro usado ou novo lhe custa por mês e você vai descobrir que este valor vai muito além da prestação.

Com esta estimativa mensal fica muito mais fácil saber se aquele seu carro dos sonhos cabe no seu bolso ou se é melhor esperar um pouco ou talvez, procurar outro mais barato.



Vamos ao que interessa.

Como no Brasil, diversas são as formas de comprar a prazo variando entre número de parcelas e juros por mês, o cálculo inicial será feito imaginando que o carro será pago à vista, sem pagamento de juros. 

Assim, caso esteja pensando em comprar um carro parcelado, some o juros (somente o juros, e não a parcela) pago ao valor final obtido.

Vamos às contas:

Irei conduzir os cálculos de forma exemplificada, para facilitar sua leitura e sua compreensão.

Digamos que o carro pretendido por você custe R$35.000,00.

Neste caso, a compra desse carro consiste em uma decisão simples:

- Ou você fica com os seus R$35.000,00
- Ou você troca esse dinheiro pelo carro.

Apenas para que fique claro, vale ressaltar que ao comprar o carro, você está abrindo mão de ter o dinheiro e todos os benefícios que este dinheiro pode lhe trazer em prol do conforto de ter um carro.

Assim, o rendimento de R$175,00 por mês (considerando 0,5% de rendimento na poupança, o que é muito conservador já que a poupança tem rendido mais que isso os últimos dias e você pode aplicar em outros investimentos melhores) é um valor que você estaria deixando de ganhar para ter o seu carro.

Começamos assim com o primeiro valor do montante: R$175,00 / mês = R$2.100 / ano (sem considerar juros sobre juros).

O segundo valor é a desvalorização do seu veículo. Este valor varia bastante, pois carros novos desvalorizam mais no primeiro ano, enquanto carros semi-novos ou usados desvalorizam menos. Vamos considerar uma desvalorização de 10% ao ano.

Temos assim o segundo valor: R$3.500,00 / ano

Em seguida, custos de uso como combustível e manutenção. Estes valores, é claro, vão variar dependendo de quanto você usa seu carro, além de que carros usados geram mais manutenção. 

Um valor médio e realista de custo de manutenção para alguém que roda em média 1.500 km / mês (considerando pneus, óleo, filtros, limpador de pára-brisa, etc) seria: R$300,00 / mês = R$3.600,00 / ano

Para o combustível: R$400,00 / mês = R$4.800,00 / ano

Ainda faltam o seguro do carro e o IPVA, ambos variando de acordo com estado/região onde você reside.

Um seguro razoável para um carro deste valor poderia ser de R$1.000,00 / ano

O IPVA, considerando que seja de 3% (incluso seguro obrigatório e outras taxas que são pagas junto), R$1.050,00

Assim, temos:

Gasto Valor por ano
Poupança R$2.100,00
Desvalorização R$3.500,00
Manutenção R$3.600,00
Combustível R$4.800,00
Seguro R$1.000,00
IPVA R$1.050,00
TOTAL R$16.050,00

Dividindo o valor total por 12 para termos o gasto por mês, teremos que este carro irá custar, R$1.337,50 / mês




Como foi visto, este valor é uma aproximação para um caso específico e bem definido, porém com esta metodologia você pode calcular quanto custa para o seu caso. Há quem pense que este método é muito preciosista e acaba levando em consideração custos que são exageros, como o caso do rendimento na poupança. Mas isso não é verdade. Considerar o rendimento do seu dinheiro é algo que deve ser feito e enfatiza a relação de troca entre o dinheiro e o carro.

Para ajudá-lo a calcular para o seu caso, seguem algumas dicas:

- O rendimento da Poupança é bastante simples, bastando saber o custo do veículo e o percentual de rendimento (em geral, 0,5%);
- Com relação à desvalorização, basta você pegar o valor médio do carro que quer comprar e o valor do mesmo carro com 1 ano a mais de uso;
- A manutenção vai depender da intensidade com que você usará o carro. Um carro comprado para viajar todos os dias certamente dará mais manutenção do que outro comprado apenas para ir ao trabalho;
- O consumo de combustível pode ser feito com a quilometragem que se deseja andar e o consumo do carro. Se a sua média é de 2.000 km / mês e o consumo do carro é de 15 km/l, seu gasto será de 133,333 litros. Para o combustível custando R$3,50 temos R$466,67 / mês = R$5.600,00 / ano, por exemplo ;
- O seguro é um valor fácil de encontrar com pesquisas na internet e;
- O IPVA é definido com base no estado que o carro é emplacado.

Agora, antes de comprar o seus próximos carros usados ou novos, faça alguns cálculos para depois não se surpreender e acabar endividado.


Exercício Resolvido - Resistência Equivalente Circuito 5

Calcule a resistência equivalente da associação mista de resistores entre os pontos A e B no circuito abaixo:

Circuito 5

Associação de resistores em paralelo

Solução:

Inicialmente, é importante dar nomes aos pontos:
Associação de resistores em série

Verificamos que há um curto entre os pontos C e D. Como já comentado nos outros casos, a melhor forma de visualizar a disposição dos resistores é unindo os pontos ligados por curto. Neste caso, os pontos C e D tornam-se um ponto só. Assim, dispomos os pontos no "espaço" e vamos unindo-os com o que houver entre eles, da seguinte forma:

Entre os pontos A e B há uma resistência;

Entre os pontos A e C há uma resistência;

Entre os ponto A e D há uma resistência;
Entre os pontos C e B há uma resistência;
Associação de resistores em paralelo
E, finalmente, entre os pontos D e B há uma resistência;
Associação de resistores em paralelo

Agora fica fácil visualizar o circuito, que deve ser resolvido iniciando pelos resistores em paralelo.
Associação de resistores em série
Como devemos calcular a resistência equivalente entre A e B, temos que os resistores R/2 estão em série (neste momento o ponto C//D pode ser eliminado).
Associação de resistores em paralelo
Restando dois resistores em paralelo. Assim, a resistência equivalente entre A e B é R/2.


Exercício Resolvido - Resistência Equivalente Circuito 4

Calcule a resistência equivalente da associação mista de resistores entre os pontos A e B no circuito abaixo:

Circuito 4


Solução:

Utilizando a estratégia de unir pontos ligados por um curto, pode-se perceber que as resistências de 80Ω estão em paralelo, tendo como resistência equivalente uma de 40Ω.



Temos, agora, as resistências de 60Ω e de 40Ω em série que, somadas, geram uma resistência equivalente de 100Ω


ficando as duas resistências de 100Ω em paralelo. Calculando a resistência equivalente temos:


Assim, as resistências de 150Ω e de 50Ω ficam em série. Somadas temos uma resistência equivalente de 200Ω em paralelo com a outra de 200Ω.



Resolvendo esta associação em paralelo, temos que a resistência equivalente entre os pontos A e B é de 100Ω.

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