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MatLab - Criando uma função



Neste post será ensinado como fazer uma função no MatLab

Uma função no MatLab deve ser escrita em um script. Para isso, deve-se criar um novo script, apertando em New/Script na parte superior esquerda.


Após isso, irá abrir uma janela onde uma função pode ser escrita. Uma função possui a seguinte estrutura:

Função em MatLab

As saídas são variáveis que serão devolvidas pela função. No caso do exemplo há três saídas.
As entradas são variáveis necessárias para que a função seja executada. Há, também, três entradas neste exemplo.
O nome da função que esta sendo aqui definida é funcao. Ao salvar a função, cria-se um arquivo *.m que DEVE ter o mesmo nome da função, neste caso o arquivo gerado deverá ter o nome funcao.m.

Exemplo: Função que recebe três valores e calcula a soma e o produto deles:



Assim, para acessá-la no Command Window basta proceder conforme a seguir:

Programação em MatLab

Veja que neste caso, a variável A recebeu a soma 10+3+2, e a variável B, o produto 10*3*2.

Um comando importante para a programação em MatLab é o for

Uso do for em MatLab

A sintaxe geral é a seguinte:

for variavel = inicio:incremento:fim
    ...
    %declarações
    ...
end

Neste exemplo, em cada passo serão executadas as declarações e a variável variavel será modificada, começando com o valor de inicio, incrementando com o valor de incremento até o valor de fim.

Uso do if em MatLab

Outra função importante na programação é o uso do if. O if é uma condição imposta. Ele tem a seguinte sintaxe geral:

if a == b      %Se a variável a for igual a b
    a = 0;
elseif a > b   %Caso a diferente de b e a maior que b
    a = b;
else           %Caso contrário (a diferente de b e a menor que b)
    b = a
end            %fim da função

O comando if possui as seguintes formas de comparação:


Comparações usando if
Comparação Comando
Igual ==
Diferente ~=
Maior >
Menor <
Maior igual >=
Menor Igual <=

Exemplo:
Dada uma matriz M, criar uma função que verifique quantos valores se repetem nesta matriz.


Veja que esta função vai percorrendo cada elemento da matriz para verificar se acha outro igual a ele. Ao encontrar outro igual, a função finaliza com o uso do break e passa para o próximo elemento de referência.
Pode surgir a dúvida de que após o primeiro elemento igual, existam outros que também sejam iguais e com o uso do break, estes outros elementos estariam sendo ignorados. Isso não ocorre pois o elemento identificado como igual, será um elemento de referência em algum momento. Veja, abaixo, como o processo ocorre detalhadamente:

%Definindo uma matriz M
M = [1 2 5; 2 1 3; 1 2 1];

Já podemos perceber que há 5 elementos repetidos, sendo eles o 1 (3 vezes) e o 2 (2 vezes).
Chamando a função repete, a lógica ocorre da seguinte forma:

1 - A variável quanto recebe zero;
2 - Verifica-se quantas linha e quantas colunas tem a matriz M;
3 - Transforma-se a matriz M em um vetor coluna;
4 - Tamanho recebe o tamanho do vetor;
5 - Pega-se o elemento k1 do vetor Vetor_M como elemento referência
    5-1 - Percorre-se o vetor Vetor_M a partir do elemento escolhido até que se encontre outro igual;
    5-2 - Ao encontra outro igual, muda-se o elemento de referência para o próximo e procede-se novamente como 5-1.

A variável quanto guarda quantas vezes há elementos repetidos. A varável valor é um vetor com os elementos que possuem mais de um.

Veja o uso da função repete na matriz M definida acima.

>> M = [1 2 5; 2 1 3; 1 2 1]

M =

     1     2     5
     2     1     3
     1     2     1

>> [quanto,valor] = repete(M)

quanto =

     5


valor =

     1     2     1     2     1

É importante perceber que o vetor Vetor_M guarda as colunas da matriz M. Desta forma, o código percorre coluna por coluna.


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MatLab - Comandos e funções importantes I



Alguns comandos e funções muito utilizadas na programação usando MatLab®

Obter o tamanho de um vetor (length e size):

>> %Definindo um vetor
>> V = 1:10;
>> %Obtendo o tamanho de V
>> Tamanho = length(V)

No caso acima, Tamanho valerá 10. O comando length retorna quantos elementos um vetor possui. Caso ele seja usado em matrizes, ele irá retornar a maior dimensão dessa matriz.

Existe a também função size, que retorna um vetor com as dimensões de uma variável. No caso de vetores, uma das respostas será 1.
>> %Definindo um vetor linha
>> V1 = 1:10;
>> %Definindo um vetor coluna
>> V2 = [1;2;3;4;5;6;7;8;9;10];
>> %Usando o comando size
>> Tamanho1 = size(V1)

Tamanho1 =


     1    10

>> Tamanho2 = size(V2)

Tamanho2 =


     10    1

Este comando é mais recomendado para ser utilizado com matrizes.

Acessar o último elemento de um vetor:

Caso queira-se obter o último elemento de um vetor sem que se conheça o tamanho deste vetor, basta usar end:
>> %último elemento do vetor V1
>> V1(end)

ans =


    10

A variável ans é a variável automaticamente definida pelo programa caso não se defina outra para receber o resultado.


Obter apenas uma parte do vetor ou matriz:

Caso deseja-se obter apenas uma parte de um vetor ou matriz, basta inserir quais elementos deseja-se obter:
>> %Obtendo apenas os 5 primeiros elementos de V1
>> V1(1:5)

ans =


     1     2     3     4     5

>> %Obtendo apenas os elementos 1 4 6 7 9 10
>> V1([1 4 6 7 9 10])

ans =


     1     4     6     7     9    10


Transpor vetor ou matriz:

Para transpor uma variável, basta usar '. Caso tenha-se um vetor linha e deseja-se transformá-lo em vetor coluna:
>> %Transformando vetor linha em coluna
>> Coluna = V1'

Coluna =

     1
     2
     3
     4
     5
     6
     7
     8
     9
    10

>> %Transformando vetor coluna em linha
>> Linha = V2'

Linha =


     1     2     3     4     5     6     7     8     9    10

Com matrizes o uso de ' funciona da mesma forma, transpondo a matriz.

Criando matrizes de zeros, uns, identidade e diagonal:

Matriz de zeros:
>> M_zeros = zeros(m,n);

Este comando irá criar uma matriz de zeros de m linhas e n colunas.

Matriz de uns:
>> M_um = ones(m,n);

Este comando cria uma matriz em que todos os elementos são 1 com m linhas e n colunas.

Matriz identidade:
>> M_identidade = eye(5);

Este comando cria uma matriz identidade 5x5.

Matriz diagonal:
>> M_diagonal = diag([1 2 3 4 5 6]);

Este comando cria uma matriz em que há apenas elementos na diagonal principal, sendo eles 1 2 3 4 5 6.

Obtendo o maior e o menor elemento de um vetor ou uma matriz:

Os comandos max e min retornam o maior e o menor elemento de um vetor. Caso ele seja empregado em uma matriz, ele irá retornar um vetor com o maior elemento de cada coluna. Utilizando um vetor de variáveis para receber o resultado da função max, ele retorna o maior elemento e a posição dele.

>> %Definindo um vetor linha
>> V = [1 5 2 7 5 3 6];
>> %Obtendo o maior elemento e a posição dele no vetor
>> [Maior,Posicao] = max(V)

Maior =

     7


Posicao =

     4

O mesmo procedimento é adotado pela função min, que neste caso retorna o menor elemento.



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MatLab - Manipulando e acessando valores (Vetores e matrizes)



Manipulando e acessando valores de uma matriz ou um vetor no MatLab®

Após definir variáveis é importante saber manipulá-las no programa. Veja como fazer isso:

Exemplo:
>> %Definindo vetor V
>> V = 1:0.5:6;>> %Definindo Matriz M
>> M = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

O uso do ponto e vírgula no fim de cada linha serve para que os resultados do comando não sejam exibidos na tela.

Caso deseja-se acessar o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz M e inseri-lo na variável a, basta proceder conforme segue:

>> %Definindo escalar a
>> a = M(2,3);

Veja que de forma muito intuitiva o programa permite que sejam acessados valores de matrizes e vetores. No caso do exemplo acima, a variável escalar a assumirá o valor 6, pois este é o elemento da linha 2 coluna 3 da matriz M. Nos vetores, sejam eles vetores linha ou coluna, basta digitar a posição do elemento que deseja-se acessar:

>> %Definindo escalar b
>> b = V(4);

Como visto anteriormente, o elemento da posição 4 do vetor V é o 2,5., valor este que é inserido em b.

Veja abaixo, como os comandos acima são apresentados no Command Widow. Perceba que não será usado o ponto e vírgula e que por este motivo, os resultados de cada comando serão apresentados (destacados por um retângulo vermelho na figura).





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MatLab - Introdução ao MatLab: Definindo variáveis



Definindo variáveis como escalares, vetores e matrizes no MATLAB®

Um dos grandes diferenciais do MATLAB® é a eficiência com a manipulação de variáveis, principalmente com matrizes e vetores. A seguir, serão mostradas as formas de se definir essas variáveis.

Escalares

No exemplo do tópico anterior já foi mostrado como definir uma variável. Basta digitar o nome da variável e igualá-la ao valor desejado.

Exemplo:>> %Definindo escalares A, B e C
>> A = 10;
>> B = 3.1415;
>> C = 5.2375943*10^-5;

Veja o que ocorre ao definir os escalares acima:

MatLab


No caso do MATLAB® não é preciso estabelecer anteriormente o tipo de variável, se é uma string, um inteiro ou um valor real, por exemplo. Automaticamente ele percebe isso na definição da variável. Outra questão importante é que a separação dos valores decimais para os inteiros se dá por ponto e não por vírgula.

Vetores

A definição de vetores ocorre de forma análoga à de escalares, com o diferencial do uso de "[]". Para definir um vetor linha (ou seja, com uma linha e várias colunas) usa-se vírgula ou espaço entre os termos. Se deseja-se definir um vetor coluna (uma coluna e várias linhas) usa-se o ponto-e-vírgula separando os elementos do vetor.

Exemplo:
>> %Definindo vetores A, B e C
>> A = [1,2,3,4,5,6];
>> B = [1 2 3 4 5 6];
>> C = [1;2;3;4;5;6];


Definindo Vetores MATLAB


Além disso, existe uma forma de se definir um vetor desde que os termos tenham uma diferença entre eles constante. Veja o exemplo a seguir:

Exemplo:
>> %Definindo vetores A, B e C
>> A = 1:0.5:6;
>> B = 1:1:6;
>> C = 1:0.25:3;

O que foi feita anteriormente é o mesmo que:

>> A = [1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6];
>> B = [1,2,3,4,5,6];
>> C = [1,1.25,1.5,1.75,2,2.25,2.5,2.75,3];

Com este recurso os vetores formados são todos vetores linha.

Matrizes

As matrizes são definidas com elementos preenchendo suas linhas e colunas. A definição de uma matriz ocorre linha por linha, separando cada linha por ponto-e-vírgula.

Exemplo:
>> %Definindo Matriz M
>> M = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

A matriz M é uma matriz 3x3 que tem na primeira linha os termos 1 2 3, na segunda linha 4 5 6 e na terceira linha 7 8 9.

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MatLab - Introdução ao MatLab: Janelas



Introdução ao MATLAB® para iniciantes

A popularidade do MATLAB® tem crescido muito nos últimos anos. Seu uso na engenharia tornou-se bastante comum devido ao seu alto desempenho para trabalhar com matrizes o operações matriciais. Este post tratará de alguns conceitos iniciais do programa, para familiarização de usuários iniciantes.

Janelas de trabalho do MATLAB®

O layout do  MATLAB® apresenta basicamente 4 janelas principais:



Comand Window: Neste espaço é possível digitar os códigos que se deseja, definindo variáveis, plotando gráficos, chamando funções etc. É aqui também que são mostradas as mensagens de erros.

Exemplo:
>> %Definindo um valor para A
>> A = 10;

A primeira linha, em verde e iniciada por % é um comentário. No MatLab os comentários são identificados pelo % no início. Ao digitar o estabelecido no Exemplo, automaticamente a variável A assumirá o valor igual a 10. Na janela Workspace aparecerá a variável definida e no Command History vai ficar registrado o que foi feito no Workspace. Para repetir os comandos registrados no Command History basta ir apertando no botão  do teclado.

Janelas do MatLab


Workspace: Esta é a janela que exibe todas as variáveis existentes e definidas.

Command History: Janela onde fica registrado aquilo que foi digitado no Workspace em blocos separados por data.

Current Folder: Mostra os arquivos da pasta na qual o MatLab esta direcionado. Para mudar a pasta do Current Folder basta selecionar uma outra pasta na toolbar superior. No caso das figuras anteriores, a pasta aberta é C:/Users/Documents/MATLAB e como pode ser visto na Janela Current Folder não há nenhum arquivo nesta pasta.

Alguns comandos iniciais podem ser muito úteis.

clc: Ao digitar clc no Workspace toda a janela ficará limpa. Este comando limpa apenas o Workspace não alterando qualquer dado existente nas outras janelas.

clear: o comando clear serve para limpar as variáveis existentes. Para limpar todas deve-se digitar clear all, caso deseja-se limpar uma variável em específico, por exemplo a variável A, deve-se digitar clear A. Para limpar especificamente as variáveis A, B, C, digita-se clear A B C.

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Espaço Vetorial: Dimensão e Mudança de base



Definição de dimensão e mudança de base

Nesta publicação será falado sobre:
  • Dimensão e;
  • Mudança de base.

Dimensão

A dimensão de um espaço vetorial finitamente gerado é o número de vetores que compõem as bases de um espaço vetorial. Em complemento a isto, existe o Teorema de Invariância que citaremos a seguir:

TEOREMA DA INVARIÂNCIA: Dado um espaço vetorial finitamente gerado E. Então qualquer base deste espaço tem o mesmo número de vetores.


Com o Teorema da Invariância, estabelecemos que dado um espaço vetorial (ou um sub-espaço vetorial) toda e qualquer base deste espaço possui o mesmo número de vetores. Este número chamamos de Dimensão do espaço vetorial.

Alguns exemplos:
  • O espaço tridimensional ($\Re^3$) tem dimensão 3;
  • O espaço dos polinômios de grau n tem dimensão n+1;
  • O espaço das matrizes de dimensão li x col tem dimensão li*col.

Mudança de base

Seja $E$ um espaço vetorial de dimensão $n$ que tenha $A= \left \{a_1, a_2, ..., a_n \right \}$ e $B = \left \{b_1, b_2,..., b_n \right \}$ como bases diferentes. Então, existe uma única família de escalares $\alpha_{ij}$ que possibilite a seguinte combinação linear:

$$\left \{
\begin{array}{lll}
a_1 = \alpha_{11}b_1 + \alpha_{21}b_2 + ... + \alpha_{n1}b_n \\
... \\
a_n = \alpha_{1n}b_1 + \alpha_{2n}b_2 + ... + \alpha_{nn}b_n \\
\end{array}
\right.
$$

PROVA DE QUE A FAMÍLIA DE ESCALARES É ÚNICA:
Supondo que não seja única, então existe uma família $\alpha_{ij}$ e uma família $\beta_{ij}$. Assim:

$a_1 = \alpha_{11}b_1 + \alpha_{21}b_2 + ... + \alpha_{n1}b_n = \beta_{11}b_1 + \beta_{21}b_2 + ... + \beta_{n1}b_n$

$\left(\alpha_{11}-\beta_{11} \right)b_1 + \left(\alpha_{21}-\beta_{21} \right)b_2 + ... + \left(\alpha_{n1}-\beta_{n1} \right)b_n = 0$

Porém, como $B$ é uma base, então os vetores $b_1 , b_2 , ...$ são Linearmente Independentes (Veja), logo:

$\alpha_{11}-\beta_{11} = 0 \, \, \rightarrow \, \, \alpha_{11} = \beta_{11}$
$\alpha_{21}-\beta_{21} = 0 \, \, \rightarrow \, \, \alpha_{21} = \beta_{21}$
$...$
$\alpha_{n1}-\beta_{n1} = 0 \, \, \rightarrow \, \, \alpha_{n1} = \beta_{n1}$

A matriz formada pelos escalares $\alpha_{ij}$ é chamada de matriz de mudança de base, que transforma um vetor escrito na base $B$ para a base $A$.

$$\left [
\begin{array}{llll}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & ... & \alpha_{1n}\\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & ... & \alpha_{2n}\\
... & ... & ... & ... \\
\alpha_{n1} & \alpha_{n2} & ... & \alpha_{nn}\\
\end{array}
\right ]
$$

Sejam as bases $A$ e $B$ formadas pelos vetores $A = \left \{(1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1) \right \}$ e $B = \left \{(\frac{\sqrt{3}}{2},0,\frac{-1}{2}) , (0,1,0) , (\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}) \right \}$. Assim temos:

$$\left \{
\begin{array}{lll}
(1,0,0) = \alpha_{11}(\frac{\sqrt{3}}{2},0,\frac{-1}{2}) + \alpha_{21} (0,1,0) + \alpha_{31}(\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}) \\
(0,1,0) = \alpha_{12}(\frac{\sqrt{3}}{2},0,\frac{-1}{2}) + \alpha_{22} (0,1,0) + \alpha_{32}(\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}) \\
(0,0,1) = \alpha_{13}(\frac{\sqrt{3}}{2},0,\frac{-1}{2}) + \alpha_{23} (0,1,0) + \alpha_{33}(\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}) \\
\end{array}
\right.
$$

De $(1,0,0) = \alpha_{11}(\frac{\sqrt{3}}{2},0,\frac{-1}{2}) + \alpha_{21} (0,1,0) + \alpha_{31}(\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2})$ temos:

$1 = \alpha_{11}*\frac{\sqrt{3}}{2} + \alpha_{21}*0 + \alpha_{31}*\frac{1}{2}$

$0 = \alpha_{11}*0 + \alpha_{21}*1 + \alpha_{31}*0$

$0 = \alpha_{11}*\frac{-1}{2} + \alpha_{21}*0 + \alpha_{31}*\frac{\sqrt{3}}{2}$

De onde tiramos que:
$\alpha_{11} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\alpha_{21} = 0$

$\alpha_{31} = \frac{1}{2}$

De forma análoga temos:
$\alpha_{12} = 0$

$\alpha_{22} = 1$

$\alpha_{32} = 0$

$\alpha_{13} = \frac{-1}{2}$

$\alpha_{23} = 0$

$\alpha_{33} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Formando a matriz de transformação do sistema $B$ no sistema $A$:

$$M = \left [
\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\
\alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33}\\
\end{array}
\right ] =
 \left [
\begin{array}{ccc}
\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{-1}{2}\\
0 & 1 & 0\\
\frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}\\
\end{array}
\right ]
$$

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.


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Exercício Resolvido - Resistência Equivalente Circuito 1



Calcule a resistência equivalente da associação mista de resistores entre os pontos A e B no circuito abaixo:

Circuito 1

Associação Mista

Solução:

Neste exercício existe uma associação mista de resistores pois há associação em paralelo e em série.

Os resistores de 1,2 Ω e 6 Ω estão em paralelo, enquanto que os de 5 Ω e 7 Ω e os de 4 Ω e 8 Ω estão em série.

A solução deste tipo de exercício deve ser feita passo a passo, calculando as resistências equivalentes de cada associação, uma por vez e no fim, o resultado será obtido naturalmente.

Cálculo da associação paralela entre os resistores de 1,2 Ω e 6 Ω

O cálculo da resistência equivalente de uma associação em paralelo é obtida usando a seguinte fórmula:

Resistência em paralelo

Onde Req é a resistência equivalente da associação de resistores, R1 neste caso vale 1,2 Ω e R2 vale 6 Ω. Substituindo os valores temos:

Associação paralela

Assim, como 1/Req = 1 Ω, então Req = 1 Ω. Logo, a associação de resistores da figura é equivalente a:

Calculando Resistores

Cálculo da associação em série entre os resistores de 5 Ω e 7 Ω e os de 4 Ω e 8 Ω

O cálculo da associação de resistores em série é mais simples pois basta somar as resistências. No caso, a resistência equivalente da associação em série entre 5 Ω e 7 Ω será 12 Ω e entre 4 Ω e 8 Ω será 12 Ω também. Assim, o circuito fica:


Associação mista de resistores

Cálculo da associação paralela entre os dois resistores de 12 Ω

Veja que as resistência de 12 Ω ficaram em paralelo. Usando a fórmula para o cálculo da Req para associação em paralelo temos:

associação em paralelo

Assim, como 1/Req = 1/6, então Req = 6 Ω.

Cálculo da resistência equivalente de todo o circuito

 Após o último cálculo, temos que o circuito fica:


Associação em série de resistores

As duas resistências restantes estão em série, logo a Resistência Equivalente do circuito será de 7 Ω.
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Exercício Resolvido - Maximização de volume: Multiplicadores de Lagrange



Cálculo do máximo e do mínimo volume de uma caixa utilizando multiplicadores de Lagrange

Calcule o maior e o menor volume de uma caixa retangular cuja área deve ser de 1500 cm² e a soma das arestas 200 cm.

Solução:

Como se trata de um exercício de obtenção do máximo e do mínimo de uma função segundo algumas condições, o uso da teoria de multiplicadores de Lagrange se torna adequado.

Neste caso, teremos uma equação a ser maximizada e minimizada que é o volume. Chamando de a, b e c as arestas da caixa temos:

$V(a,b,c) \, = \, a*b*c$

As condições que devemos obedecer são:

Condição de aresta:

$4*a \, + \, 4*b \, + \, 4*c \, = \, 200 \, \, \rightarrow \, \, a \, + \, b\, + \, c \, = \, 50 $

Condição de área:

$2*ab \, + \, 2*bc \, + \, 2*ac \, = \, 1500 \, \, \rightarrow \, \, ab \, + \, ac \, + \, bc \, =\, 750$

Com isso podemos construir a função de Lagrange:

$G(a,b,c,\lambda _1,\lambda _2) =  a*b*c  + \lambda _1\, \left ( a+b+c-50 \right) + \lambda _2 \, \left ( ab+ac+bc-750 \right)$

Assim, as soluções que maximizam e minimizam o volume segundo as condições de área e de aresta são dadas pela solução do seguinte sistema:

$ \left \{
\begin{array}{lllll}
\frac{\partial G}{\partial a} = 0 & \rightarrow \, \, bc+\lambda_1+\lambda_2*\left(b+c \right)=0 \\
\frac{\partial G}{\partial b} = 0 & \rightarrow \, \, ac+\lambda_1+\lambda_2*\left(a+c \right)=0 \\
\frac{\partial G}{\partial c} = 0 & \rightarrow \, \, ba+\lambda_1+\lambda_2*\left(b+a \right)=0 \\
\frac{\partial G}{\partial \lambda_1} = 0 &\rightarrow \, \, a+b+c-50=0  \\
\frac{\partial G}{\partial \lambda_2} = 0 &\rightarrow \, \,  ab+ac+bc-750=0\\
\end{array}
\right. $

Disso, temos que:

Da primeira equação:
$b=\frac{-\lambda_1-\lambda_2*c}{\lambda_2+c}$

Da segunda equação:
$a=\frac{-\lambda_1-\lambda_2*c}{\lambda_2+c}$

Aqui já podemos concluir que a = b

Veja também:
Exercício Resolvido - Multiplicadores de Lagrange

Utilizando este resultado nas duas últimas equações temos:
$c = 50-2a$
$a^2+2ac=750 $

Substituindo:
$ a^2+2a(50-2a)=750$
$3a^2-100a+750=0$

Neste último caso, temos uma equação do segundo grau em a, que tem como raízes:
$a=\frac{50 \pm 5 \sqrt{10}}{3}$

Assim, como b = a e c = 50 - 2a temos os valores das arestas:

Se $a=\frac{50 + 5 \sqrt{10}}{3}$
$b=\frac{50 + 5 \sqrt{10}}{3}$
$c=\frac{50 - 10 \sqrt{10}}{3}$
$V = a*b*c = \frac{2500}{27}*\left(35-\sqrt{10}\right) \approx 2947,9 \, cm^2$

$a=\frac{50 - 5 \sqrt{10}}{3}$
$b=\frac{50 - 5 \sqrt{10}}{3}$
$c=\frac{50 + 10 \sqrt{10}}{3}$
$V = a*b*c = \frac{2500}{27}*\left(35+\sqrt{10}\right) \approx 3533,54 \, cm^2$

Portanto:

$V_{máx} \approx 3533,54$

$V_{mín} \approx 2947,9$

Perceba que a terceira equação não foi utilizada, nem mesmo a relação de a e b com os multiplicadores de Lagrange $\lambda_1 \,$ e $\, \lambda_2$ de onde concluímos que a = b. O uso destas equações iria nos fornecer os valores dos multiplicadores, o que não nos interessa a não ser que seja necessário. Como não foi, não calculá-los, simplifica bastante o problema.

Abaixo, veja o gráfico tridimensional de: Volume x a x b onde c foi substituído por c = 50 - a - b.
Em azul, a linha que estabelece a condição de área (ab + ac + bc = 750) e em verde, os pontos onde a área é máxima e mínima segundo as condições impostas:


Máximo e Mínimo

Veja apenas a curva em azul e os pontos:

Máximo e Mínimo

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Exercício Resolvido - Movimento circular uniforme: Vestibular UERJ 2011



Exercício de movimento circular uniforme do vestibular UERJ 2011

Um ciclista pedala uma bicicleta em trajetória circular de modo que as direções dos deslocamentos das rodas mantêm sempre um ângulo de 60º. O diâmetro da roda traseira dessa bicicleta é igual à
metade do diâmetro de sua roda dianteira.
O esquema a seguir mostra a bicicleta vista de cima em um dado instante do percurso.

Questão de Vestibular
Admita que, para uma volta completa da bicicleta, N1 é o número de voltas dadas pela roda traseira e N2 o número de voltas dadas pela roda dianteira em torno de seus respectivos eixos de rotação.
A razão N1/N2 é igual a:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4

Solução:

Como as duas rodas percorrem trajetos circulares, conforme mostrado na figura em tracejado, então elas desenvolvem um movimento circular uniforme.

É muito importante lembrar que no movimento circular uniforme a velocidade é SEMPRE tangente à curva. Veja na figura abaixo:

Movimento Circular Uniforme

A partir deste ponto o problema passa a ser de geometria plana.

Veja no desenho, em azul os vetores velocidade de cada uma das rodas (perceba que eles são tangentes às circunferências) e em vermelho a linha que liga o ponto que as rodas tocam o chão (origem do vetor velocidade) ao centro das circunferências.

Esta linhas SEMPRE formam 90º entre si, ou seja, TODA RETA TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA FORMA 90º COM A RETA QUE LIGA O PONTO DE TANGÊNCIA AO CENTRO DA CIRCUNFERÊNCIA:

Assim temos:

Reta tangente à circunferência

Seja r o raio da circunferência percorrida pela roda traseira, e R pela roda dianteira. Além disso, alguns ângulos das figura podem ser determinados:

reta tangente à Circunferência

Portanto, a relação r/R = Cos(60º) = 1/2  2r = R

Assim, quando a roda dianteira percorre a circunferência grande uma vez a distância percorrida por ela é:

D = 2 π R = 2 π (2 r) = 4 π r

Enquanto isso, a roda traseira percorre a circunferência pequena, o que dá uma distância:

d = 2 π r

O número de voltas dado pelas rodas vai depender do raio de cada uma. Sendo RD o raio da roda dianteira e RT da traseira, sabe-se do exercício que RD = 2 RT. O número de voltas dado pela roda dianteira será de:

N1 = (2 π RD) / D = (2 π RD) / (4 π r) = (4 π RT) / (4 π r) = R/ r

Para a roda traseira:

N2 = (2 π RT) / d = (2 π RT) / (2 π r) = R/ r

Logo, N1/N2 = 1, Letra (A)
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Esboce o gráfico de 2x³ - 3x² - 3x +2



Esboço do gráfico de 2x³ - 3x² - 3x +2

Uma das ferramentas que o cálculo e nos proporciona é a possibilidade de esboçar o gráfico de uma função com o uso da derivada. Algumas etapas podem ser seguidas para a análise de uma função e obtenção de sua curva, são elas:
- Estabelecer o domínio da função. O domínio da função é importante pois limita a análise apenas onde importa. Além disso, pontos fora do domínio da função podem ser pontos inconsistentes, como no caso da função 1/x para x = 0.
- Cálculo das intersecções do gráfico com os eixos x e y. Nem sempre é possível calcular as intersecções com o eixo x, mas poder estimá-los já ajuda bastante.
- Verificar se é um função periódica. Se sim, analisa-se apenas o intervalo onde a função não se repete, após isso é possível conhecer o resultado para os demais pontos do domínio;
- Verificar se a função é par ou ímpar. Se for par, então ela é simétrica em relação ao eixo y. Se for ímpar, será simétrica mas rebatida em relação ao eixo x.
- Verificar como a função se comporta em pontos de descontinuidade e fronteiras do domínio.
- Se o domínio não for limitado, verificar o comportamento da função no infinito (positivo e negativo).
- Estuda da primeira derivada da função para achar onde a função é crescente ou decrescente e os pontos críticos (derivada = 0).
- Estudo da segunda derivada para verificar a concavidade da função, além de saber se os pontos críticos são pontos de máximo, mínimo ou inflexão.

Para exemplificar, será feito o esboço do gráfico da função:
f(x) = 2x³ - 3x² - 3x +2, para x є (-2, 3).

1º - A função f(x) não apresenta restrição em seu domínio, porém o exercício pede a análise do gráfico apenas no intervalo (-2,3).

2º - Intersecção com o eixo y (ou seja, para x = 0):
f(0) = 2
Saber os pontos onde a função f(x) corta o eixo x é bastante complicado por se tratar de uma função do 3º grau, mas é possível fazer uma estimativa percorrendo o domínio:
f(-2) = -20
f(-1) = 0
f(0) = 2
f(1) = -2
f(2) = 0
f(3) = 20

Nisso, já descobrimos duas raízes da função f(x). Além disso, para x entre 0 e 1 há outra, pois há troca de sinal da função. Como é um polinômio do terceiro grau que só admite três raízes, então elas já foram estimadas.

3º - A função não é periódica.

4º -
f(-x) = -2x³ - 3x² + 3x + 2 ≠ f(x), logo a função não é par
-f(-x) = 2x³ + 3x² - 3x - 2 ≠ f(x), logo a função não é ímpar também
Como não é nenhuma das duas, não podemos concluir nada a respeito do gráfico neste item.

5º - Ela não apresenta descontinuidade em nenhum ponto e os pontos na fronteira do domínio estabelecido, f(-2) e f(3), já foram calculados.

6º - O domínio é limitado.

7º - Derivando f(x)
f ' (x) = 6x² - 6x - 3
Aplicando Bhaskara temos:
Δ = 36 - 4*6*(-3) = 36 + 72 = 108

√Δ = 6√3

Logo, x1 e x2 são pontos críticos. Calculando f(x) para x = x1 e x = x2 temos:
f(x1) = -2,6
f(x2) = 2,6

8º -
f '' (x) = 12x - 6.
A segunda derivada é um reta crescente que é nula para x = 1/2. Portanto, por ser crescente, para x < 1/2, ela é negativa (concavidade de f(x) é para baixo) e para x > 1/2, ela é positiva (concavidade para cima). É interessante calcular f(x) para x = 1/2 para saber o ponto onde há a troca de concavidade:
f(1/2) = 0
Perceba que, de brinde, encontramos a terceira raiz de f(x).

9º - Por ser uma função polinomial, não há assintotas.

Verifica-se agora as informações que foram obtidas:
- O gráfico passa pelos pontos: (-2, -20) , (-1, 0) , (0, 2), (1, -2), (2, 0), (3, 20)
- Possui uma raiz para x entre 0 e 1.
-Tem pontos críticos: (1,37 , -2,6) , (-0,37 , 2,6)
- Tem concavidade para cima para x > 1/2 e para baixo para x < 1/2. Assim, (-0,37 , 2,6) é um ponto de máximo local, e (1,37 , -2,6) é um ponto de mínimo local.

Colocando os pontos encontrados no gráfico:
Esboce o gráfico
Em preto o pontos críticos e em vermelho os pontos calculados na 2ª etapa. Em cinza o ponto onde há mudança na concavidade de f(x).
Com isso já é possível fazer o esboço do gráfico ligando os pontos e lembrando dos intervalos onde a concavidade é para cima e onde é para baixo.

Veja abaixo como fica o gráfico:
Equações

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Calcule a soma: S = x + 2x² + 3x³ + ...



Progressão aritmético-geométrica

Neste exercício será calculada a soma da progressão aritmético-geométrica na qual o n-ésimo termo é dado por:
Solução:
A soma que se deseja calcular é:
Percebe-se que não se trata nem de uma progressão aritmética (PA) e nem de uma progressão geométrica (PG), mas um misto das duas.
Multiplicando a equação acima por x de ambos os lados temos:
Adotando a mesma estratégia para a obtenção da fórmula da soma da PG (veja aqui), faz-se a subtração:

Veja também:
Definição e exemplos do princípio da indução finita

O que resulta em algo familiar já que do lado direito da igualdade temos a soma de uma PG com termo inicial a1 = x, razão q = x e n termos, exceto pelo último termo que esta subtraindo tudo. Assim, usando a fórmula da soma da PG que já é conhecida, obtemos:

Assim, dividindo tudo por (1-x) isolamos o Sn:
Perceba que este resultado vale apenas para x ≠ 1. Para x = 1 temos a soma de uma PA:

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Exercício Resolvido - Geometria Plana: Vestibular UERJ 2011



Exercício de geometria plana do vestibular UERJ 2011

Este exercício será resolvido de duas formas. A segunda é mais simples, porém exige que se perceba algumas características do pentágono.

Método 1:
A embalagem de papelão de um determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem a
forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm.
Pentágono

Em relação ao prisma, considere:
- cada um dos ângulos A, B, C e D da base superior mede 120º;
- as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada.
Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a embalagem custa R$10,00 por m² e que √3 = 1,73
Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto somente com o papelão é
aproximadamente igual a:
(A) 0,50
(B) 0,95
(C) 1,50
(D) 1,85

Solução:
Antes de começar a fazer o exercício propriamente dito é importante deixar destacado o fato de que ele pede que seja calculada a quantidade total de papelão. Por vezes, exercícios assim, faz-se a parte mais difícil, que é calcular a área do pentágono e esquece-se de somar a área lateral e a área do pentágono da face oposta. Assim, vou começar o exercício destacando isso:

Área Total = 2*APentágono + ALateral

Cálculo da área do pentágono:

Os dados fornecidos no exercício são poucos mas suficientes. Inicialmente, é preciso lembrar que um pentágono tem a soma dos seus ângulos internos igual a 540º. Este valor vem da fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono:

S = (n - 2)*180

Onde S é a soma dos ângulos internos e n o número de lados. Como o pentágono tem 5 lados:

S = (5 - 2)*180 = 3*180 = 540º

Assim, como quatro Ângulos medem 120º, então o ângulo Ê certamente será de 60º:

Geometria plana

Traçando uma linha horizontal ligando A e D, dividimos o pentágono em dois polígonos: um triângulo e um trapézio:
Soma dos ângulos internos
Pela simetria da figura temos que os ângulos nos vértices A e D são divididos de forma igual o que garante que a parte que fica do lado do triângulo mede o mesmo nos dois casos. Usando a fórmula da soma dos ângulo internos, descobrimos que um triângulo tem a soma dos seus ângulos igual a 180º. Neste caso, os ângulos do vértice A e do vértice D que ficaram do lado do triângulo só podem medir 60º. Com isso, conclui-se que os ângulo que ficaram no lado do trapézio também medem 60º:
Triângulo

Com estas informações, podemos concluir que o triângulo é equilátero, ou seja, possui todos os lados iguais. Esta conclusão se dá pois um triângulo equilátero tem seus Ângulos internos todos iguais a 60º. Assim, a distância entre AD é a mesma de AE e de DE.
Fazendo duas linhas verticais partindo de C e de B, passamos a ter dois triângulos retângulos a, com isso, conseguimos calcular tudo o que precisamos:
Pentágono
Agora temos uma figura com três triângulos e um retângulo. O valor do lado BG pode ser calculado multiplicando BA pelo cosseno de 30º:

BG = BA*Cos(30º) = 10*(√3 / 2) = 5√3

Assim, a área do retângulo será de: 10*5√3 = 50√3

Da mesma forma, podemos calcular AG:

AG = BA*Sen(30º) = 10*(1/2) = 5

Como o triângulo AGB é retângulo, sua área é (1/2)*AG*BG. Como o triângulo DFC tem a mesma área:

Área dos triângulos AGB e DFC = (1/2)*5*5√3 = 25√3 / 2 = 12,5√3

Assim, a área do trapézio será:

ATrapézio = 50√3 + 12,5√3 + 12,5√3 = 75√3

Com isso, além de calcular a área do trapézio, calculamos o comprimento do segmento de reta DA pois AG = FD = 5 cm e FG = CB = 10 cm. Assim:

DA = AG + GF + FD = 20 cm

Porém, como o triângulo DEA é equilátero, então todos os seus lados medem 20 cm, assim, DE = AE = 20 cm.
A área de DEA pode ser calculada sabendo que a área de um triângulo equilátero é dada por:

A = (1/4)*l²*√3

Onde l é o lado do triângulo e neste caso, vale 20 cm. Assim:

ADEA = (1/4)*(20²)*√3 = 100√3

Agora, basta somar todas as áreas para obter a área do pentágono:

APentágono = 75√3 + 100√3 = 175√3 = 175*1,73 = 302,75 cm² = 0,030275 m²

Resta calcular a área lateral. Porém, como conhecemos a altura (5 cm) e temos todas as arestas do pentágono, esta cálculo fica facilitado:

ALateral = 10*5 + 10*5 + 10*5 + 20*5 + 20*5 = 350 cm² = 0,0350 m²

Área Total = 2*APentágono + ALateral = 2*0,030275 + 0,0350 = 0,06055 + 0,0350 = 0,09555 m²

Como o preço é de R$ 10,00 por m², o valor total será:

10*0,09555 = 0,95

Letra (B)


Método 2:
Continuamos do ponto em que foi traçada a linha ligando os pontos A e D.
Assim, partindo dos pontos C e B, traçamos duas retas de modo a dividir os ângulos de 120º em B e em C em dois ângulos de 60º:
Agora, passamos a ter 4 triângulos equiláteros e como conhecemos as medidas DC, CB e BA, então conhecemos todas as outras pois DH também deverá medir 10 cm, já que é um dos lados do triângulo equilátero DCH. O mesmo com HA. Desta forma, DA = 20 cm = DE = AE.

Assim, a área do pentágono será:

APentágono = 3*(1/4)*10²*√3 + (1/4)*20²*√3 = 75*√3 + 100*√3 = 175*1,73 = 302,75 cm² = 0,030275 m².

Da mesma forma que foi feita anteriormente, obtemos a área total de papelão.
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