5 Exercícios Resolvidos de Associação de Resistores Para Você Fixar o Assunto

5 questões resolvidas sobre associação de resistores com associação mista em série e em paralelo

Associação de resistores é um assunto que comumente aparece em concursos e vestibulares e apesar de não ser dos assuntos mais complicados, por vezes confunde muitos alunos.

É importante ressaltar que os cálculos para obtenção do resistor equivalente de uma associação de resistores partem do princípio de que a resistência respeita a Lei o Ohm, onde não há mudança no valor absoluto de cada resistor em função da polaridade, da tensão aplicada ou da temperatura. Assim, a corrente que atravessa o resistor é diretamente proporcional à diferença de potencial aplicada nos seus terminais. Neste caso, existem dois tipos básicos de associação de resistores (série e paralelo) que serão abordados neste post.

ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM SÉRIE

A associação de resistores em série é aquela em que a corrente que percorre os resistores é a mesma pois não há possibilidade da corrente elétrica percorrer outro caminho.

Associação de resistores

Veja na figura acima que se existir uma tensão aplicada nos terminais AB, uma corrente elétrica irá percorrer as resistências e esta corrente só pode ser a mesma em todas elas, já que não há outro caminho senão o saindo de A e indo para B para que a corrente possa percorrer. Assim, a tensão entre os pontos A e B será a soma das tensões nos resistores R1, R2, R3 e R4. Porém, a tensão em cada resistor é a corrente multiplicado pelas resistências. Assim:

Resistência em série


Assim, como a voltagem aplicada entre dois pontos é calculada por VAB = Req*i temos que a resistência equivalente será:

Req = R1 + R2 + R3 + R4

ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM PARALELO

A associação de resistores em paralelo existe quando a diferença de potencial aplicada nos resistores é a mesma. Veja o esquema abaixo.

Associação em paralelo

Aplicando uma diferença de potencial entre os pontos A e B, todos os resistores R1, R2, R3 e R4 experimentarão a mesma tensão. Com isso, a corrente que passa por A e B não será igual às correntes em cada resistor. Teremos que:

i = i1 + i2 + i3 + i4

Mas, segundo a Lei de Ohm, a corrente em cada resistor pode ser calculada por:

Resistência em paralelo

Então:

Resistência em paralelo

Onde podemos concluir que:

Resistência em paralelo

Desta forma, conhecendo a associação em paralelo e a associação em série de resistores, uma técnica para calcular a resistência equivalente de um circuito é identificar os pontos unidos por curtos circuitos e uni-los.

Para fixar a teoria, temos 5 exercícios resolvidos sobre associação mista de resistores:

Veja também:
5 Exercícios Resolvidos clássicos de MRUV e MRU para você fixar o assunto.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Calcule a resistência equivalente da associação mista de resistores entre os pontos A e B nas figuras abaixo:

Circuito 1

Associação Mista
SOLUÇÃO DA ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES 1

Circuito 2

Associação mista de resistores

Circuito 3

Resistor

Circuito 4

Associação mista de resistores


Exercício Resolvido - Resistência Equivalente Circuito 3

Calcule a resistência equivalente da associação mista de resistores entre os pontos A e B no circuito abaixo:

Circuito 3


Solução:

Neste exercício todos os resistores possuem o mesmo valor R. Para facilitar como as resistências estão associadas, basta tornar os pontos ligados por um curto como únicos.


Assim, os pontos A e D são os mesmos, assim como os pontos C e B. O circuito pode ser rearranjado conforme a seguir:

Onde percebemos, facilmente, que todas as resistências estão em paralelo. Logo, a resistência equivalente, neste caso, é R/3.


< CIRCUITO 2                                                                    CIRCUITO 4 >


Exercício Resolvido - Resistência Equivalente Circuito 2

Calcule a resistência equivalente da associação mista de resistores entre os pontos A e B no circuito abaixo:

Circuito 2

Valor Resistor

Solução:

O resistor de 2Ω entre os pontos D e F e o resistor de 4Ω entre os pontos F e E estão em série e podem ser somados, ficando:

As duas resistências de 6Ω entre os pontos D e E estão em paralelo. Utilizando a regra da assossiação de resistores em paralelo, o circuito fica:
Como é possível observar, os resistores de 3Ω entre os pontos D e E e os pontos E e C estão em série. Somando-os temos um resistor de 6Ω, como pode ser visto a seguir:
Observa-se que os resistores de 6Ω estão em paralelo. Calculando-os temos:
Seguindo o mesmo raciocínio, percebe-se que os resistores de 3Ω estão em série, resultando num resistor de 6Ω, que estará em paralelo com o resistor de 6Ω já existente.
Calculando a resistência equivalente da associação em paralelo dos resistores de 6Ω, temos:
Assim, ficam restando apenas duas resistências em série, uma de 1Ω e outra de 3Ω. Somando-as, temos a resistência equivalente entre os pontos A e B = 4Ω.

< CIRCUITO 1                                                                              CIRCUITO 3 >


Aerodinâmica: Por que as aves voam em V?

Veja neste artigo será explicado o porquê das aves voarem em "V"

Aves voando em bando
FIgura1 - Pássaros voando em "V". Imagem retirada de http://www.cute-calendar.com/event/international-migratory-bird-day/13923.html

1. Introdução

Ao observar os pássaros é que o ser humano desenvolveu e vontade e a curiosidade em voar. 


Isso se revela nos primeiros projetos de aeronaves que assemelhavam-se muito com o modo de voo dos pássaros onde a propulsão e a sustentação deveriam ser geradas pelo bater das asas. Sabe-se porém, que estes projetos não tiveram sucesso e que apenas quando o homem separou a propulsão aeronáutica da sustentação com o uso de motores independentes das asas, é que a aviação passou a ser viável e as primeiras aeronaves saíram do chão. 


Porém o fascínio pela elegância e facilidade de voo dos pássaros continua até os dias de hoje a atrair olhares e a admiração do homem que a medida que avança seus estudos percebe que a natureza age de forma eficiente em sua totalidade. Não poderia ser diferente com o voo dos pássaros que em geral, quando voam em bando, adotam uma formação em “V”. Neste trabalho será feito um breve e simplificado estudo mostrando, teoricamente, que esta formação reduz o desgaste das aves pois passa a ser um modo mais eficiente de voo comparado com o voo individual.

2. Objetivo

Este trabalho tem por objetivo fazer uma análise teórica sobre a formação de voo das aves.

3. Introdução teórica

Para que se possa compreender as análises feitas neste trabalho há a necessidade de um conhecimento introdutório básico sobre aerodinâmica da asa, o que será feito aqui de forma superficial - já que o assunto é bastante complexo e não é o objetivo expor toda a teoria – porém suficiente para que se possa entender o que esta sendo dito e analisado.

3.1. Sustentação e arrasto

Na aerodinâmica existem duas forças primordialmente importantes: a sustentação e o arrasto. A sustentação é a força, por definição, com direção perpendicular à direção do escoamento que chega em um corpo e, portanto, é a força responsável por manter os corpos voando. Em essência a sustentação existe, pois, o escoamento que chega num corpo é defletido conforme pode ser observado na Figura 3.1 e, portanto, ao sair deste corpo segue em direção diferente da que chegou, assim, pelo 3ª Lei de Newton, uma força com mesma intensidade da que causou a deflexão passa a agir no corpo causador.
Deflexão do escoamento aerodinâmico
Figura 3.1 - Em preto a deflexão do escoamento devido à presença de um corpo. Em vermelho as forças de sustentação e de arrasto. Imagem retirada de http://pordentrodaciencia.blogspot.com.br/ 

O arrasto é a força perpendicular à sustentação e paralela ao escoamento tendo mesma direção e sentido do escoamento. Esta força existe devido ao atrito entre o escoamento e o corpo, pela diferença de pressão que possa existir a montante e a jusante do corpo e pelo fato de os corpos serem limitados, ou seja, não terem comprimento infinito na direção perpendicular ao escoamento saindo da folha (perpendicular à sustentação a ao arrasto), como caracteristicamente ocorre com as asas. Este último arrasto é chamado de arrasto induzido e será melhor detalhado a seguir.

3.2. Bordo de ataque, bordo de fuga, intradorso, extradorso, corda e ângulo de ataque

Em um corpo submetido a um escoamento alguns nomes são estabelecidos e habitualmente usados em aerodinâmica, são eles:

  1. Bordo de ataque: é a região mais a montante de uma asa ou de um perfil. Esta região é a que “recebe” o escoamento e em perfis aerodinâmicos o raio do bordo de ataque traz características importantes para o seu comportamento. Um exemplo é o de uma placa plana que possui o raio de seu bordo de ataque nulo (considerando que ela é muito fina) e por isso tem propriedades totalmente diferentes das dos perfis comumente usados em aviões que voam abaixo da velocidade do som.
  2. Bordo de fuga: é a região mais a jusante de uma asa ou de um perfil. Em geral esta região é muito fina e tem seu raio tendendo a zero. Não se costuma registrar o raio do bordo de fuga pois deseja-se que este seja muito pequeno já que isto contribui para melhores propriedades aerodinâmicas em voo.
  3. Intradorso: Costuma-se chamar a parte inferior de uma asa ou de um perfil de intradorso pois esta palavra esta relacionada à região côncava de um arco. Em geral os perfis usados em aeronaves são curvados (ou arqueados) e talvez por esse motivo passou-se a utilizar esta palavra para designar a parte “de baixo” de uma asa ou perfil, mesmo que alguns perfis não apresentem concavidade nesta região.
  4. Extradorso: É a parte superior da um perfil ou asa em contradição ao intradorso.
  5. Corda: É a linha que une o ponto mais a montante de um perfil posto sobre uma “mesa plana” ao ponto mais a jusante deste perfil.
  6. Ângulo de ataque: é o ângulo formado pela corda e a direção do escoamento não perturbado. Um ângulo de ataque positivo é aquele na qual o bordo de fuga do perfil encontra-se mais abaixo do bordo de ataque. Em geral, nesse caso, há sustentação positiva, como pode ser visto na Figura 3.1.

Bordo de fuga
Figura 3.2 – Representação do bordo de ataque e do bordo de fuga de um perfil aerodinâmico. Imagem retirada de http://blogs.estadao.com.br/livio-oricchio/2006/page/14/


Corda média aerodinâmica
Figura 3.3 – Esboço de um perfil aerodinâmico com a representação da sua corda e o ¼ de corda. 



3.3. Circulação

Como vimos anteriormente, um corpo imerso em um escoamento e em dada condição, gera uma deflexão da direção deste escoamento e, como reação, passa a existir uma força neste corpo. Porém, esta força se apresenta como uma diferença de pressão que passa a existir na parte superior (extradorso) e inferior (intradorso) deste corpo. 


O que se observa experimentalmente e teoricamente em corpos aerodinâmicos (perfis) imersos em escoamentos, como o da Figura 3.1, é que existe uma distribuição de pressão sobre sua superfície e que a sustentação é a força consequente desta distribuição e tem sua resultante a, aproximadamente, ¼ da corda do perfil partindo do bordo de ataque, como pode ser visto na Figura 3.3. 


Porém, para que exista uma queda de pressão em algum ponto em relação à pressão do escoamento não perturbado, há a necessidade de que a velocidade do escoamento, neste ponto, seja maior que a velocidade do escoamento não perturbado, para que se conserve a energia – neste caso a energia potencial está relacionada à pressão e a cinética à velocidade do ar. Assim, como há no perfil uma distribuição de pressão, há também uma distribuição de velocidades.


Também como consequência, quando existe sustentação, a pressão média em uma das superfícies do perfil é menor que na superfície oposta e neste caso, a velocidade média nesta superfície é maior que na outra. Assim, devido a esta diferença de velocidades em torno de uma linha fechada (fronteira do perfil), dizemos que existe uma circulação na fronteira deste perfil. Portanto, desta análise, conclui-se que para que exista sustentação num corpo é necessário que existe uma circulação na fronteira deste corpo.

3.4. Linha sustentadora de Prandtl

Baseado no exposto anteriormente foi estabelecida uma teoria simplificada para cálculo da sustentação baseando-se na circulação. Desta forma, uma asa é simplificadamente apresentada como uma linha no seu ¼ de corda (linha onde a resultante da sustentação atua), na qual existe uma circulação em torno desta linha (muito análogo a um fio que passa corrente elétrica e em torno deste existe um campo magnético).


Da mesma forma que no caso elétrico, uma corrente não pode existir de forma permanente e contínua sem que exista um circuito fechado (um anel, por exemplo). Assim, ao existir uma circulação em torno da linha a ¼ de corda da asa, há a necessidade de existir uma circulação nos extremos desta asa e numa linha paralela à linha a ¼ de corda da asa, mas que não acompanha a asa, e sim permanece no ponto onde a circulação deu origem. A circulação quando atua no escoamento gera nele um movimento circular livre chamado de vórtice (Figura 3.5).


De forma mais clara, se uma asa está parada a circulação nela é nula. No momento em que ela passa a ter uma velocidade, surge nela uma circulação – e vamos considerar que esta permanece constante. Para compensar esta circulação surge uma circulação de mesma intensidade, porém em sentido contrário, no exato ponto onde a asa iniciou seu deslocamento. Esta circulação permanece neste local indefinidamente se imaginarmos que não exista atrito no ar (viscosidade).


Além dessas duas circulações, como a asa é finita e a pressão em um dos lados dela (intradorso ou extradorso) é maior que no outro, há uma tendência do escoamento sair do lado de maior pressão e ir para o lado de menor pressão. Isto ocorre onde a asa termina, pois não existe a barreira física que impede que isso ocorra, desta forma, a medida que a asa se desloca ela deixa uma linha contínua de circulação (vórtices) nos seus dois extremos e, como se pode perceber intuitivamente, esses vórtices têm direções opostas. 


Assim, a teoria da linha sustentadora de Prandtl é uma linha fechada na qual há circulações em torno, conforme pode ser observado na Figura 3.4.

Vórtice de partida
Figura 3.4 – Esboço de como a linha sustentadora de Prandtl é utilizada teoricamente em substituição a uma asa.

Arrasto induzido
Figura 3.5 – Nas nuvens é possível perceber os vórtices causados pela circulação na ponta da asa de um avião.

3.5. Arrasto induzido

A existência dos vórtices na ponta da asa traz consequência para o desempenho aerodinâmico desta asa pois nesta região passa a existir uma velocidade perpendicular à direção do escoamento (de cima para baixo) que inicialmente não existia. Esta velocidade faz com que a asa nesta região enxergue o escoamento de forma diferente, causando uma alteração no ângulo de ataque como pode ser observado na Figura 3.6.

Vórtice de ponta de asa
Figura 3.6 - Desenho esquemático da interferência dos vórtices de ponta de asa nas forças aerodinâmicas. É possível perceber que o ângulo de ataque efetivo se reduz e que a sustentação e o arrastos, como são definidos com base na direção do escoamento, têm suas direções alteradas.

Na Figura 3.6 pode-se visualizar que a interferência dos vórtices de ponta de asa altera o ângulo de ataque local. A redução do ângulo de ataque causa uma queda na sustentação (até a condição limite na extrema ponta da asa onde a sustentação passa a ser nula) e como a sustentação é definida como sendo perpendicular à direção do escoamento, ela também sofre uma leve deflexão em relação aos eixos x e y, assim como o arrasto.


Ao decompor as forças de arrasto e sustentação nas direção dos eixos x e y percebemos que a sustentação na direção x passa a ser muito menor que no caso não perturbado, pois além da intensidade do vetor ser menor a sua componente na direção x é ainda menor. Além disso, existe ainda uma componente do arrasto que passa a ser negativa na decomposição no eixo x, reduzindo ainda mais a sustentação.


Além da componente em x, a sustentação possui componente na direção y também, que se soma ao arrasto. Como a sustentação é, em geral, maior que o arrasto, essa componente de arrasto vinda da decomposição da sustentação é significativa. Esta componente y da sustentação que se soma ao arrasto, chamamos de arrasto induzido.


Desta forma concluímos que os vórtices causados na ponta da asa causam uma redução na sustentação e um aumento no arrasto pelo acréscimo do arrasto induzido.

4. Formação de voo das aves

Com o que foi exposto até aqui é possível, de forma intuitiva, justificar o motivo que garante mais eficiência para o voo em “V” das aves. Como foi percebido, para que exista sustentação em um corpo, este deve ter em seu entorno uma circulação e para que exista esta circulação é necessário que este corpo induza vórtices nos extremos livres das asas. Estes vórtices nos extremos livres da asa agem de forma a reduzir a sustentação e aumentar o arrasto, o que reduz duplamente a eficiência aerodinâmica (que é obtida pela divisão da sustentação pelo arrasto).


Considerando (de forma aproximada) que os pássaros são asas isoladas voando, então cada um deles emite vórtices nas pontas das asas. Como a formação de voo deles é em “V”, os vórtices emitidos pelo pássaro da frente interagem com os emitidos pelo pássaro de trás, porém a interação ocorre de forma a cancelar os vórtices gerados pelo pássaro de trás, já que devido à formação de voo deles o pássaro de trás à esquerda tem sua asa direita interferida pelos vórtices causados pela asa esquerda do pássaro da frente.


Assim, como esses vórtices gerados por cada um deles têm direção contrária, reduz-se significativamente a velocidade induzida pelos vórtices no pássaro de trás, reduzindo seu arrasto induzido e aumentando sua sustentação nessa região, aumentando significativamente a eficiência aerodinâmica.


Diferentemente do que se possa pensar, a formação em voo adotada pelas aves beneficia também o pássaro líder, mesmo que esse benefício seja menor que das outras aves. Isso ocorre pois como o voo adotado pelas aves é em velocidade baixa (menor que a velocidade do som - na verdade muito menor que a velocidade do som), as perturbações causadas pela ave de trás são sentidas pela ave da frente, melhorando a eficiência de voo desta também. Para que se possa ter uma noção dos ganhos desta formação, utilizando-se três asas retas em formação, conforme pode ser visto na Figura 4.1, os ganhos em eficiência da asa líder são de 15% e das outras duas, de 30% (Vasco, 1997).

Voo em V das aves
Figura 4.1 – Esquema de três asas em formação (Vasco, 1997).

5. Conclusão

Quando se pensa em aeronave sempre o arrasto é um obstáculo que dificulta e limita o desempenho de toda aeronave. Da mesma forma, as aves sentem essa dificuldade, porém com trabalho em conjunto mitigam esses efeitos negativos e conseguem voar maiores distâncias quando em grupo, simplesmente minimizando os efeitos dos vórtices de ponta de asa que inevitavelmente se fazem presente.


Na indústria aeronáutica há muito tempo se conhece os malefícios causados pelo arrasto induzido e assim como as aves, tenta-se reduzir seus efeitos. Atualmente essa redução é feita com o uso de “Winglets” na ponta das asas, que agem como uma barreira física para que o escoamento do intradorso não contorne a ponta da asa gerando vórtices e os resultados desta ferramenta são significativos a ponto de hoje quase a totalidade dos aviões comerciais e executivos terem esse recurso.


Um dos pontos que trazem grande transtorno é que a aeronave existe por sua capacidade de gerar sustentação e o arrasto induzido existe justamente pela existência dela de forma que não se pode cancelar o surgimento dos vórtices, mas apenas reduzir seus efeitos.

Figura 5.1 – Aeronave com winglet para reduzir o arrasto induzido.

Voo dos pássaros
Figura 5.2 - Pássaros voando em "V". Imagem retirada de http://www.vocesabia.net/animais/por-que-os-passaros-voam-formando-um-v/

6. Referências

BREDERODE, Vasco. Fundamentos de Aerodinâmica Incompressível.  IDMEC. Ed. do Autor. 1997.

ANDERSON, J. D. Fundamentals of Aerodynamics. 5th ed. McGrawHill. 2011.

Material didático, Engenharia Aeronáutica - Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA)


MatLab - Criando uma função

Neste post será ensinado como fazer uma função no MatLab

Uma função no MatLab deve ser escrita em um script. Para isso, deve-se criar um novo script, apertando em New/Script na parte superior esquerda.


Após isso, irá abrir uma janela onde uma função pode ser escrita. Uma função possui a seguinte estrutura:

Função em MatLab

As saídas são variáveis que serão devolvidas pela função. No caso do exemplo há três saídas.
As entradas são variáveis necessárias para que a função seja executada. Há, também, três entradas neste exemplo.
O nome da função que esta sendo aqui definida é funcao. Ao salvar a função, cria-se um arquivo *.m que DEVE ter o mesmo nome da função, neste caso o arquivo gerado deverá ter o nome funcao.m.

Exemplo: Função que recebe três valores e calcula a soma e o produto deles:



Assim, para acessá-la no Command Window basta proceder conforme a seguir:

Programação em MatLab

Veja que neste caso, a variável A recebeu a soma 10+3+2, e a variável B, o produto 10*3*2.

Um comando importante para a programação em MatLab é o for

Uso do for em MatLab

A sintaxe geral é a seguinte:

for variavel = inicio:incremento:fim
    ...
    %declarações
    ...
end

Neste exemplo, em cada passo serão executadas as declarações e a variável variavel será modificada, começando com o valor de inicio, incrementando com o valor de incremento até o valor de fim.
É possível usar a função for sem definir o incremento. Neste caso, por padrão, o incremento é 1.

Uso do if em MatLab

Outra função importante na programação é o uso do if. O if é uma condição imposta. Ele tem a seguinte sintaxe geral:

if a == b      %Se a variável a for igual a b
    a = 0;
elseif a > b   %Caso a diferente de b e a maior que b
    a = b;
else           %Caso contrário (a diferente de b e a menor que b)
    b = a
end            %fim da função

O comando if possui as seguintes formas de comparação:


Comparações usando if
Comparação Comando
Igual ==
Diferente ~=
Maior >
Menor <
Maior igual >=
Menor Igual <=

Exemplo usando o que foi aprendido:
Dada uma matriz M, criar uma função que verifique quantos valores se repetem nesta matriz.


Veja que esta função vai percorrendo cada elemento da matriz para verificar se acha outro igual a ele. Ao encontrar outro igual, a função finaliza com o uso do break e passa para o próximo elemento de referência.
Pode surgir a dúvida de que após o primeiro elemento igual, existam outros que também sejam iguais e com o uso do break, estes outros elementos estariam sendo ignorados. Isso não ocorre pois o elemento identificado como igual, será um elemento de referência em algum momento. Veja, abaixo, como o processo ocorre detalhadamente:

%Definindo uma matriz M
M = [1 2 5; 2 1 3; 1 2 1];

Já podemos perceber que há 5 elementos repetidos, sendo eles o 1 (3 vezes) e o 2 (2 vezes).
Chamando a função repete, a lógica ocorre da seguinte forma:

1 - A variável quanto recebe zero;
2 - Verifica-se quantas linha e quantas colunas tem a matriz M;
3 - Transforma-se a matriz M em um vetor coluna;
4 - tamanho recebe o tamanho do vetor;
5 - Pega-se o elemento k1 do vetor Vetor_M como elemento referência
    5-1 - Percorre-se o vetor Vetor_M a partir do elemento escolhido até que se encontre outro igual;
    5-2 - Ao encontrar outro igual, muda-se o elemento de referência para o próximo e procede-se novamente como 5-1.

A variável quanto guarda quantas vezes há elementos repetidos. A varável valor é um vetor com os elementos que possuem mais de um.

Veja o uso da função repete na matriz M definida acima.

>> M = [1 2 5; 2 1 3; 1 2 1]

M =

     1     2     5
     2     1     3
     1     2     1

>> [quanto,valor] = repete(M)

quanto =

     5


valor =

     1     2     1     2     1

É importante perceber que o vetor Vetor_M guarda as colunas da matriz M. Desta forma, o código percorre coluna por coluna.