MatLab - Comandos e funções importantes I

Alguns comandos e funções muito utilizadas na programação usando MatLab®

Obter o tamanho de um vetor (length e size):

>> %Definindo um vetor
>> V = 1:10;
>> %Obtendo o tamanho de V
>> Tamanho = length(V)

No caso acima, Tamanho valerá 10. O comando length retorna quantos elementos um vetor possui. Caso ele seja usado em matrizes, ele irá retornar a maior dimensão dessa matriz.

Existe a também função size, que retorna um vetor com as dimensões de uma variável. No caso de vetores, uma das respostas será 1.
>> %Definindo um vetor linha
>> V1 = 1:10;
>> %Definindo um vetor coluna
>> V2 = [1;2;3;4;5;6;7;8;9;10];
>> %Usando o comando size
>> Tamanho1 = size(V1)

Tamanho1 =


     1    10

>> Tamanho2 = size(V2)

Tamanho2 =


     10    1

Este comando é mais recomendado para ser utilizado com matrizes.

Acessar o último elemento de um vetor:

Caso queira-se obter o último elemento de um vetor sem que se conheça o tamanho deste vetor, basta usar end:
>> %último elemento do vetor V1
>> V1(end)

ans =


    10

A variável ans é a variável automaticamente definida pelo programa caso não se defina outra para receber o resultado.


Obter apenas uma parte do vetor ou matriz:

Caso deseja-se obter apenas uma parte de um vetor ou matriz, basta inserir quais elementos deseja-se obter:
>> %Obtendo apenas os 5 primeiros elementos de V1
>> V1(1:5)

ans =


     1     2     3     4     5

>> %Obtendo apenas os elementos 1 4 6 7 9 10
>> V1([1 4 6 7 9 10])

ans =


     1     4     6     7     9    10


Transpor vetor ou matriz:

Para transpor uma variável, basta usar '. Caso tenha-se um vetor linha e deseja-se transformá-lo em vetor coluna:
>> %Transformando vetor linha em coluna
>> Coluna = V1'

Coluna =

     1
     2
     3
     4
     5
     6
     7
     8
     9
    10

>> %Transformando vetor coluna em linha
>> Linha = V2'

Linha =


     1     2     3     4     5     6     7     8     9    10

Com matrizes o uso de ' funciona da mesma forma, transpondo a matriz.

Criando matrizes de zeros, uns, identidade e diagonal:

Matriz de zeros:
>> M_zeros = zeros(m,n);

Este comando irá criar uma matriz de zeros de m linhas e n colunas.

Matriz de uns:
>> M_um = ones(m,n);

Este comando cria uma matriz em que todos os elementos são 1 com m linhas e n colunas.

Matriz identidade:
>> M_identidade = eye(5);

Este comando cria uma matriz identidade 5x5.

Matriz diagonal:
>> M_diagonal = diag([1 2 3 4 5 6]);

Este comando cria uma matriz em que há apenas elementos na diagonal principal, sendo eles 1 2 3 4 5 6.

Obtendo o maior e o menor elemento de um vetor ou uma matriz:

Os comandos max e min retornam o maior e o menor elemento de um vetor. Caso ele seja empregado em uma matriz, ele irá retornar um vetor com o maior elemento de cada coluna. Utilizando um vetor de variáveis para receber o resultado da função max, ele retorna o maior elemento e a posição dele.

>> %Definindo um vetor linha
>> V = [1 5 2 7 5 3 6];
>> %Obtendo o maior elemento e a posição dele no vetor
>> [Maior,Posicao] = max(V)

Maior =

     7


Posicao =

     4

O mesmo procedimento é adotado pela função min, que neste caso retorna o menor elemento.





MatLab - Manipulando e acessando valores (Vetores e matrizes)

Manipulando e acessando valores de uma matriz ou um vetor no MatLab®

Após definir variáveis é importante saber manipulá-las no programa. Veja como fazer isso:

Exemplo:
>> %Definindo vetor V
>> V = 1:0.5:6;>> %Definindo Matriz M
>> M = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

O uso do ponto e vírgula no fim de cada linha serve para que os resultados do comando não sejam exibidos na tela.

Caso deseja-se acessar o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz M e inseri-lo na variável a, basta proceder conforme segue:

>> %Definindo escalar a
>> a = M(2,3);

Veja que de forma muito intuitiva o programa permite que sejam acessados valores de matrizes e vetores. No caso do exemplo acima, a variável escalar a assumirá o valor 6, pois este é o elemento da linha 2 coluna 3 da matriz M. Nos vetores, sejam eles vetores linha ou coluna, basta digitar a posição do elemento que deseja-se acessar:

>> %Definindo escalar b
>> b = V(4);

Como visto anteriormente, o elemento da posição 4 do vetor V é o 2,5., valor este que é inserido em b.

Veja abaixo, como os comandos acima são apresentados no Command Widow. Perceba que não será usado o ponto e vírgula e que por este motivo, os resultados de cada comando serão apresentados (destacados por um retângulo vermelho na figura).







MatLab - Introdução ao MatLab: Definindo variáveis

Definindo variáveis como escalares, vetores e matrizes no MATLAB®

Um dos grandes diferenciais do MATLAB® é a eficiência com a manipulação de variáveis, principalmente com matrizes e vetores. A seguir, serão mostradas as formas de se definir essas variáveis.

Escalares

No exemplo do tópico anterior já foi mostrado como definir uma variável. Basta digitar o nome da variável e igualá-la ao valor desejado.

Exemplo:>> %Definindo escalares A, B e C
>> A = 10;
>> B = 3.1415;
>> C = 5.2375943*10^-5;

Veja o que ocorre ao definir os escalares acima:

MatLab


No caso do MATLAB® não é preciso estabelecer anteriormente o tipo de variável, se é uma string, um inteiro ou um valor real, por exemplo. Automaticamente ele percebe isso na definição da variável. Outra questão importante é que a separação dos valores decimais para os inteiros se dá por ponto e não por vírgula.

Vetores

A definição de vetores ocorre de forma análoga à de escalares, com o diferencial do uso de "[]". Para definir um vetor linha (ou seja, com uma linha e várias colunas) usa-se vírgula ou espaço entre os termos. Se deseja-se definir um vetor coluna (uma coluna e várias linhas) usa-se o ponto-e-vírgula separando os elementos do vetor.

Exemplo:
>> %Definindo vetores A, B e C
>> A = [1,2,3,4,5,6];
>> B = [1 2 3 4 5 6];
>> C = [1;2;3;4;5;6];


Definindo Vetores MATLAB


Além disso, existe uma forma de se definir um vetor desde que os termos tenham uma diferença entre eles constante. Veja o exemplo a seguir:

Exemplo:
>> %Definindo vetores A, B e C
>> A = 1:0.5:6;
>> B = 1:1:6;
>> C = 1:0.25:3;

O que foi feita anteriormente é o mesmo que:

>> A = [1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6];
>> B = [1,2,3,4,5,6];
>> C = [1,1.25,1.5,1.75,2,2.25,2.5,2.75,3];

Com este recurso os vetores formados são todos vetores linha.

Matrizes

As matrizes são definidas com elementos preenchendo suas linhas e colunas. A definição de uma matriz ocorre linha por linha, separando cada linha por ponto-e-vírgula.

Exemplo:
>> %Definindo Matriz M
>> M = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

A matriz M é uma matriz 3x3 que tem na primeira linha os termos 1 2 3, na segunda linha 4 5 6 e na terceira linha 7 8 9.



MatLab - Introdução ao MatLab: Janelas

Introdução ao MATLAB® para iniciantes

A popularidade do MATLAB® tem crescido muito nos últimos anos. Seu uso na engenharia tornou-se bastante comum devido ao seu alto desempenho para trabalhar com matrizes o operações matriciais. Este post tratará de alguns conceitos iniciais do programa, para familiarização de usuários iniciantes.

Janelas de trabalho do MATLAB®

O layout do  MATLAB® apresenta basicamente 4 janelas principais:



Comand Window: Neste espaço é possível digitar os códigos que se deseja, definindo variáveis, plotando gráficos, chamando funções etc. É aqui também que são mostradas as mensagens de erros.

Exemplo:
>> %Definindo um valor para A
>> A = 10;

A primeira linha, em verde e iniciada por % é um comentário. No MatLab os comentários são identificados pelo % no início. Ao digitar o estabelecido no Exemplo, automaticamente a variável A assumirá o valor igual a 10. Na janela Workspace aparecerá a variável definida e no Command History vai ficar registrado o que foi feito no Workspace. Para repetir os comandos registrados no Command History basta ir apertando no botão  do teclado.

Janelas do MatLab


Workspace: Esta é a janela que exibe todas as variáveis existentes e definidas.

Command History: Janela onde fica registrado aquilo que foi digitado no Workspace em blocos separados por data.

Current Folder: Mostra os arquivos da pasta na qual o MatLab esta direcionado. Para mudar a pasta do Current Folder basta selecionar uma outra pasta na toolbar superior. No caso das figuras anteriores, a pasta aberta é C:/Users/Documents/MATLAB e como pode ser visto na Janela Current Folder não há nenhum arquivo nesta pasta.

Alguns comandos iniciais podem ser muito úteis.

clc: Ao digitar clc no Workspace toda a janela ficará limpa. Este comando limpa apenas o Workspace não alterando qualquer dado existente nas outras janelas.

clear: o comando clear serve para limpar as variáveis existentes. Para limpar todas deve-se digitar clear all, caso deseja-se limpar uma variável em específico, por exemplo a variável A, deve-se digitar clear A. Para limpar especificamente as variáveis A, B, C, digita-se clear A B C.



Espaço Vetorial: Dimensão e Mudança de base

Definição de dimensão e mudança de base

Nesta publicação será falado sobre:
  • Dimensão e;
  • Mudança de base.

Dimensão

A dimensão de um espaço vetorial finitamente gerado é o número de vetores que compõem as bases de um espaço vetorial. Em complemento a isto, existe o Teorema de Invariância que citaremos a seguir:

TEOREMA DA INVARIÂNCIA: Dado um espaço vetorial finitamente gerado E. Então qualquer base deste espaço tem o mesmo número de vetores.


Com o Teorema da Invariância, estabelecemos que dado um espaço vetorial (ou um sub-espaço vetorial) toda e qualquer base deste espaço possui o mesmo número de vetores. Este número chamamos de Dimensão do espaço vetorial.

Alguns exemplos:
  • O espaço tridimensional (R³) tem dimensão 3;
  • O espaço dos polinômios de grau n tem dimensão n+1;
  • O espaço das matrizes de dimensão li x col tem dimensão li*col.

Mudança de base

Seja E um espaço vetorial de dimensão n que tenha A = {a1, a2, ..., an} e B = {b1, b2, ..., bn} como bases diferentes. Então, existe uma única família de escalares αij que possibilite a seguinte combinação linear:



PROVA DE QUE A FAMÍLIA DE ESCALARES É ÚNICA:
Supondo que não seja única, então existe uma família αij e uma família βij. Assim:


Porém, como B é uma base, então os vetores b1, b2, ... são Linearmente Independentes (Veja), logo:


A matriz formada pelos escalares αij é chamada de matriz de mudança de base, que transforma um vetor escrito na base B para a base A.


Sejam as bases A e B formadas pelos vetores





Assim temos:



De:



Temos:



De onde tiramos que:


De forma análoga temos:


Formando a matriz de transformação do sistema B no sistema A:

Mudança de base

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.