Espaço Vetorial: Dimensão e Mudança de base ~ Brawn Exercícios

Definição de dimensão e mudança de base

Nesta publicação será falado sobre:

Dimensão e;
Mudança de base.

Dimensão

A dimensão de um espaço vetorial finitamente gerado é o número de vetores que compõem as bases de um espaço vetorial. Em complemento a isto, existe o Teorema de Invariância que citaremos a seguir:

TEOREMA DA INVARIÂNCIA: Dado um espaço vetorial finitamente gerado E. Então qualquer base deste espaço tem o mesmo número de vetores.

Com o Teorema da Invariância, estabelecemos que dado um espaço vetorial (ou um sub-espaço vetorial) toda e qualquer base deste espaço possui o mesmo número de vetores. Este número chamamos de Dimensão do espaço vetorial.

Alguns exemplos:

O espaço tridimensional (R³) tem dimensão 3;
O espaço dos polinômios de grau n tem dimensão n+1;
O espaço das matrizes de dimensão li x col tem dimensão li*col.

Mudança de base

Seja E um espaço vetorial de dimensão n que tenha A = {a1, a2, ..., an} e B = {b1, b2, ..., bn} como bases diferentes. Então, existe uma única família de escalares αij que possibilite a seguinte combinação linear:

PROVA DE QUE A FAMÍLIA DE ESCALARES É ÚNICA:

Supondo que não seja única, então existe uma família αij e uma família βij. Assim:

Porém, como B é uma base, então os vetores b1, b2, ... são Linearmente Independentes (Veja), logo:

A matriz formada pelos escalares αij é chamada de matriz de mudança de base, que transforma um vetor escrito na base B para a base A.

Veja também:
Espaço vetorial finitamente gerado, Dependência linear e Base de um espaço vetorial finitamente gerado

Sub-espaço Vetorial e Combinação Linear

Propriedades de um Espaço Vetorial

O que é um espaço vetorial?

Exemplo:
Seja o espaço vetorial R³, que é finitamente gerado por [(1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)] (Veja o que é um espaço finitamente gerado).

Sejam as bases A e B formadas pelos vetores