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Calcule a soma: S = x + 2x² + 3x³ + ...

Progressão aritmético-geométrica

Neste exercício será calculada a soma da progressão aritmético-geométrica na qual o n-ésimo termo é dado por:
Solução:
A soma que se deseja calcular é:
Percebe-se que não se trata nem de uma progressão aritmética (PA) e nem de uma progressão geométrica (PG), mas um misto das duas.
Multiplicando a equação acima por x de ambos os lados temos:
Adotando a mesma estratégia para a obtenção da fórmula da soma da PG (veja aqui), faz-se a subtração:

Veja também:
Definição e exemplos do princípio da indução finita

O que resulta em algo familiar já que do lado direito da igualdade temos a soma de uma PG com termo inicial a1 = x, razão q = x e n termos, exceto pelo último termo que esta subtraindo tudo. Assim, usando a fórmula da soma da PG que já é conhecida, obtemos:

Assim, dividindo tudo por (1-x) isolamos o Sn:
Perceba que este resultado vale apenas para x ≠ 1. Para x = 1 temos a soma de uma PA:



Princípio da indução finita

Definição e exemplos do princípio da indução finita

Este princípio é utilizado para a solução de diversos exercícios, porém ele serve apenas para aqueles que envolvem números inteiros e para exercícios que pedem que seja provado que algo é verdadeiro para um conjunto de valores inteiros.
Vou falar sobre o princípio utilizando a fórmula da soma da PA (Progressão Aritmética) para esclarecer.
 

Para isso, será necessário o uso da fórmula do termo geral da PA:


Voltamos ao método, que basicamente consiste em 3 etapas:

1ª Etapa - Dado um conjunto de valores inteiros que se deseja verificar a validade de algo proposto, deve-se verificar se é válido para o menor valor do conjunto.
No exemplo então, vamos verificar se a fórmula da soma da PA é válida para n = 1. Neste caso, é muito fácil perceber já que a soma será igual a a1, já que este é o único termo.
Vamos verificar se usando a fórmula o resultado é obtido:


O resultado obtido é correto, logo a fórmula da Soma da PA vale para o menor elemento do conjunto.

2ª Etapa - Assume-se que para um elemento 'k' qualquer e genérico do conjunto a fórmula é verdadeira.
Do exemplo vamos calcular a soma dos primeiros 'k' elementos do conjunto, neste caso, pela fórmula da soma da PA teremos que:


3ª Etapa - Assumindo que o resultado obtido na Etapa 2 seja verdadeiro, calculamos o resultado para 'k+1' e verificamos se obtemos a fórmula desejada.
Do exemplo usado temos então que a soma dos 'k+1' primeiros elementos é a soma dos 'k' primeiros elementos mais o elemento 'k+1'. Veja:


Observe que se usarmos a fórmula da soma da PA para calcular a soma dos 'k+1' primeiros termos (substituindo n = k+1) teremos exatamente o resultado acima. Portanto, provamos que a fórmula é válida sempre. Porém, por que podemos concluir isso? Por que o uso do princípio garante a validade da fórmula para qualquer quantidade de elementos?

Bom, tudo se resume às etapas que foram seguidas. 
Foi mostrado que para o primeiro elemento a fórmula é válida. 
Após isso, supomos na Etapa 2 que para um número de elementos 'k' qualquer ela é válida e a partir do resultado da Etapa 2 obtemos o resultado para 'k+1' e verificamos que ele é válido. A grande dúvida que surge é por que podemos garantir que o resultado obtido na Etapa 2 é válido?

Na verdade a gente não garante isso, apenas supõe. Porém se a partir do resultado da Etapa 2 pudermos obter um resultado satisfatório na Etapa 3 então o resultado é válido. O que garante isso é o seguinte raciocínio:

- Para o menor elemento a equação é válida;
- Então, se 'k' = 1 a nossa suposição da Etapa 2 é verdadeira, e não apenas uma suposição, já que mostramos na Etapa 1 isso;
- Mas na Etapa 3 nós mostramos que se 'k' é verdadeiro, então 'k+1' também é;
- Como para 'k' = 1 vimos que é verdadeiro na Etapa 1, então certamente para 'k+1' = 2 também será, como visto na Etapa 3;
- Mas se para 'k' = 2 é verdadeiro, então para 'k+1' = 3 também será;
- Mas se para 'k' = 3 é verdadeiro, então para 'k+1' = 4 também será;
- ...

Assim, o princípio garante que para qualquer 'k' ele é verdadeiro, desde que as etapas sejam satisfeitas.

Exercícios que o princípio foi usado:


Limite fundamental exponencial (Euler)

Comprovação com uso da análise da existência do limite fundamental de Euler

Neste post será comprovada a existência do limite fundamental exponencial.
Para isto, será utilizado o seguinte teorema e a seguinte proposição:


O limite a ser calculado é dado por:
Demonstração da existência do Limite de Euler

Assim, definimos
Temos que a função f(x) acima tem seu domínio no conjunto dos reais exceto o zero. Como queremos o limite para x tendendo ao infinito, então o zero não será um problema. Neste caso, podemos definir a sequência xn = n, onde n são números inteiros e portanto a sequência esta contida no domínio da função f(x), podendo ser aplicado o Teorema 1.
Desta forma:


Porém, como n é inteiro, podemos escrever f(n) em binômio de Newton na forma de uma série:


Para seguir com os cálculos é importante saber se f(n) é crescente ou decrescente, pois isso irá nos permitir concluir se existe o limite exponencial.
Sabemos que:


Agora, para verificar se é crescente ou decrescente, irei iniciar o estudo supondo que a função é crescente e assim, saber se isso é verdadeiro ou não. Se ela for crescente, então f(n) < f(n+1), ou seja:


Na etapa (3) acima, é possível verificar que o termos de dentro do somatório do lado esquerdo é negativo e portanto a desigualdade é verdadeira, o que garante que f(n) é crescente como suposto inicialmente.

Agora, um passo importante é saber se f(n) é limitado, ou seja, que existe um K tal que, para qualquer n, f(n) < K. Com isso, da Proposição 1, é possível garantir que f(n) converge.

Verificando se f(n) é limitada superiormente:


O somatório obtido acima é a soma de uma PG, que é facilmente calculado:


Logo, temos que f(n) é limitada superiormente e crescente, o que garante que o limite existe. O valor do limite não é possível ser calculado sem o uso de um software ou mesmo de recursos envolvendo derivada ou série de Taylor, que a meu entender são conteúdos que estão a frente destes aplicados aqui.

Porém, caso deseja-se calcular este limite, pode ser feito com o uso da regra de L'Hopital, por exemplo:


Substituindo a variável 1/x = y e após isso aplicando L'Hopital, temos:



Dedução da fórmula de juros composto para parcelas iguais

Dedução passo-a-passo da fórmula de juros composto para dívidas que são pagas em parcelas iguais

Vou fazer um post hoje que é muito útil. Será mostrado aqui como encontrar a fórmula para calcular a taxa de juros de uma dívida que é parcelada e paga em parcelas únicas.

Solução:
Inicialmente, deve-se ter em mente que esse tipo de dívida funciona de seguinte forma:
Imagine alguém que deve R$100,00 a você e vai lhe pagar uma taxa de 10% de juros ao mês. Assim, após 1 mês, ele lhe deve:

R$100,00 + 10%*(R$100,00) = R$100,00 + 0,1*R$100,00 = 1,1*R$100,00 = R$110,00

Agora, digamos que após esse mesmo mês, ele lhe pagou R$15,00. Então agora ele lhe deve:

R$110,00 - R$15,00 = R$95,00

Ou seja, da dívida real reduziu-se R$5,00 apenas.

Passando-se outro mês, a dívida passa a ser:

R$95,00 + 10%*(R$95,00) = R$95,00 + 0,1*R$95,00 = 1,1*R$95,00 = R$104,50

E assim segue.

Da mesma forma funciona qualquer dívida.
Para realizar os cálculos e fazer a demonstração, vou utilizar as seguintes letras:

Taxa de juros mensal em porcentagem = J
Valor da parcela paga a cada mês = P
Valor inicial da dívida = V
Número de parcelas = n

O empréstimo é feito no mês 'zero'.
Assim, após o primeiro mês deve-se o valor da dívida mais o juros:



Mas neste momento, é paga a 1ª parcela, passando a ser o valor da dívida:


Para facilitar a visualização, vou chamar este valor agora de V2, então:


Após 2 meses:


Neste momento, ele novamente vai pagar a parcela, passando a ser sua dívida:


Chamando este valor de V3:


Após 3 meses:



Após isso, claro, será paga uma parcela, passando a ter o valor V4.



É possível perceber uma relação recorrente de Vn:



Onde V1 = V que é o valor inicial da dívida.

Manipulando um pouco a equação geral de recorrência acima, é possível perceber propriedades interessantes. Veja abaixo:



Substituindo:



Usando:



Teremos:



Percebam que os termos que multiplicam o fator P são termos de uma PG onde:



e a razão



Usando a fórmula da soma da PG podemos simplificar a fórmula para:



Aqui fica mais fácil perceber qual deve ser a equação de Vn em função de V, que é o valor inicial da dívida.



Porém, Vn tem que ser nulo, já que queremos que após n meses a dívida esteja totalmente paga. Portanto, basta igualar o resultado obtido acima a zero:



Manipulando temos:



Agora, esta fórmula pode ser manipulada como se desejar.
Exemplo: Caso deseja-se calcular a parcela a ser paga dado que:

Se a taxa de juros for 5%  J = 5
O empréstimo for de R$ 1.000,00 → V = 1000
O tempo para pagar de 10 meses → n = 10

Vamos calcular o valor da parcela:

Isolando P na fórmula acima:



Substituindo os valores



Como





Ou seja, nestas condições, R$ 129,50 deve ser a parcela. Este não é o valor exato, que é dado por R$ 129,5046, porém, por ser um valor monetário, só pode ter duas casas após a vírgula. Vaja como ficaria:

Dívida Mês Parcela Após pagar parcela
R$ 1.000,00 0 R$ 0,00 R$ 1.000,00
R$ 1.050,00 1 R$ 129,50 R$ 920,50
R$ 966,53 2 R$ 129,50 R$ 837,03
R$ 878,88 3 R$ 129,50 R$ 749,38
R$ 786,85 4 R$ 129,50 R$ 657,35
R$ 690,21 5 R$ 129,50 R$ 560,71
R$ 588,75 6 R$ 129,50 R$ 459,25
R$ 482,21 7 R$ 129,50 R$ 352,71
R$ 370,35 8 R$ 129,50 R$ 240,85
R$ 252,89 9 R$ 129,50 R$ 123,39
R$ 129,56 10 R$ 129,50 R$ 0,06




Perceba que o valor da dívida, após os 10 meses, fica em R$ 0,06. Ele não zera devido ao resultado não ser exato, já que a parcela deveria ser R$ 129,504574965...


Progressão Geométrica (PG)

Dedução das fórmulas de uma PG e explicação


Dando continuidade às aulas, nada mais coerente do que, após uma aula de PA, a aula de PG.

Assim como a PA, a PG é uma sequência definida por um termo inicial, geralmente chamado de a e uma razão, geralmente chamada de q.
Diferentemente da PA, na PG os termos da sequência são obtidos pelo produto do termo anterior pela razão, ou seja:
a = a*q
a = a*q = (a*q)*q = a*q²
a = a*q = (a*q²)*q = a*q³
...
an = a(n-1)*q = a₁*q⁻¹
Uma propriedade importante de observarmos é que o produto dos termos equidistantes ao termo central de um PG é sempre igual. Sendo mais claro:
Produto do primeiro termo com o último termo:
a₁*an = a₁*(a₁*q⁻¹⁾) = a₁²*q⁻¹

Produto do segundo termo com o penúltimo termo
a*an-1 = (a*q)*(a₁*q⁻²⁾) = a₁²*q⁻¹

Produto de terceiro termo com o antepenúltimo termo
a*an-2 = (a*q²)*(a₁*q⁻³⁾) = a₁²*q⁻¹
...
Desta forma, fica fácil definir qual é o produto de todos os termos de uma PG. Veja só:
Produto = a₁*a₂*a₃*...*an. Como na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto, podemos escrever esse produtório como:
Produto = (a₁*an)*(a₂*an-1)*(a₃*an-2)*... Como o valor dos produtos dentro dos parênteses é o mesmo (a₁²*q⁻¹⁾), como foi visto acima, e como esta sequência tem n termos, teremos (n/2) parênteses, já que cada parênteses tem dois termos. Assim:
Produto = [(a₁²*q⁻¹⁾)]ⁿ = [a₁*q⁻¹⁾].

Outro dado importante de se calcular, é a soma dos termos da PG. Existem várias formas de encontrar a fórmula da soma da PG (já foi feito neste blog por indução finita e soma telescópica), porém por ser de mais fácil compreensão, vou utilizar o método da soma telescópica (para quem não sabe o que é isso, vou explicar na medida que deduzo a fórmula)

O que queremos saber é a soma dos termos de uma PG, ou seja:
S = a₁ + a + a + ... + an
(1)     S = a₁ + a₁*q + a₁*q² + ... + a₁*q⁻¹⁾. Se multiplicarmos esse somatório por q, teremos:
(2) q*S = a₁*q + a₁*q² + a₁*q³ + ... + a₁*q

Agora vamos subtrair as equações (2) de (1), fazendo (2) - (1), assim teremos:
q*S - S = (a₁*q + a₁*q² + a₁*q³ + ... + a₁*qⁿ) - (a₁ + a₁*q + a₁*q² + ... + a₁*q⁻¹⁾)
Perceba que podemos anular vários termos que são iguais (este método é chamado de soma telescópica, onde você cancela vários termos iguais pela subtração por serem termos iguais).
Desta forma, todos os termos serão cancelado com exceção de (a₁*qⁿ) e a₁.
Assim:
q*S - S = (a₁*qⁿ) - (a₁). Isolando os termos comuns dos dois lados:
S*(q-1) = a₁*(qⁿ - 1), logo:
S = [a₁*(qⁿ - 1)] / [q-1], onde S é a soma dos termos.

Para uma PG decrescente infinita a fórmula é a mesma só que, para que a PG seja decrescente, q deve ser menor que 1 e maior que zero. Assim, como ela tende a ter infinitos termos, ou seja, n tende ao infinito, qⁿ vai tender a zero (faça o teste, pegue um valor qualquer, entre zero e 1 e eleve a potências grandes. Perceberá que quanto maior é este potência, mais o resultado se aproxima de zero. No infinito, será zero).

Assim, na PG infinita:
S = [a₁*(qⁿ - 1)] / [q-1], como qⁿ = 0
S = [a₁*(- 1)] / [q-1].
S = [-a] / [q-1]. Multiplicando o numerador e o denominador por (-1), o que não muda em nada a fração, temos:
S = a / [1-q]

Abaixo, alguns exercícios e explicações que foram usados os conceitos citados acima:


Progressão Aritmética (PA)

Pessoal, eventualmente, vou postar algumas aulas aqui, desenvolvidas por mim. Qualquer dúvida que alguém possa ter, deixe nos comentários que vou procurar sanar.

PA:
Na matemática existe uma matéria muito importante chamada sequências. Dela e da teoria de conjuntos, por incrível que possa parecer, nasce todo o cálculo de limites e por consequência, derivada e integral.

Hoje vamos falar das progressões aritméticas.

PA é uma sequência que possui um termo inicial, geralmente chamado de a₁ e uma razão r. A partir do primeiro termo e da razão, obtemos os termos seguintes da seguinte forma:

a₂ = a₁ + r
a₃ = a₂ + r = (a₁ + r) + r = a₁ + 2r
a₄ = a₃ + r = (a₁ + 2r) + r = a₁ + 3r
...

Desta forma podemos deduzir que a fórmula do termo geral da sequência é:
an = a₁ + (n-1)*r

Ficando:
a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , .... , an uma sequência com n termos. 

Já conseguimos obter a fórmula do termo geral da PA. Outro dado bastante importante de se conseguir calcular é a soma de todos os termos de uma sequência, e na PA não poderia ser diferente.

Então o que queremos é a soma dos termos da PA, esta soma nada mais é do que:

S = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + .... + an, ou ainda

S = a₁ + (a₁ + r) + (a₁ + 2r) + (a₁ + 3r) + ... + [a₁ + (n-1)r]. 

Observe bem e perceba que a soma de todos os termos equidistantes ao centro desta sequência são iguais. Vou ser mais claro.

Se somarmos o 1º termo ao último, é a mesma coisa que somarmos o 2º ao penúltimo, e o 3º ao antepenúltimo ....
Veja:

Somando o 1º ao último
a₁ + an = a₁ + [a₁ + (n-1)r] = 2a₁ + (n-1)r = 2a₁ + n*r- r = 2a₁ + r*(n - 1)

Somando o 2º ao penúltimo:
a₂ + an-1 = (a₁ + r) + [a₁ + (n-2)r] = 2a₁ + r + (n-2)r = 2a₁ + r + n*r - 2r = 2a₁ + n*r - r = 2a₁ + r*(n - 1)

Somando o 3º ao antepenúltimo:
a₃ + an-2 = (a₁ + 2r) + [a₁ + (n-3)r] = 2a₁ + 2r + n*r - 3r = 2a₁ + n*r - r = 2a₁ + r*(n - 1)

Percebeu? Sempre teremos 2a₁ + r*(n - 1).

Desta forma fica fácil calcular a soma da PA, pois como:
S = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + .... + an = (a₁ + an) + (a₂ + an-1) + (a₃ + an-2) + ... Onde a soma dentro de cada parênteses desses é igual a [2a₁ + r*(n - 1)]. Ainda, como temos n termos na sequência, teremos (n/2) "parênteses". Assim:

S = [2a₁ + r*(n - 1)] + [2a₁ + r*(n - 1)] + [2a₁ + r*(n - 1)] + ... = (n/2)*[2a₁ + r*(n - 1)]
ou, se conhecemos o último termo da PA:
S = (a₁ + an)*(n/2) ou, se conhecemos o segundo termo e o penúltimo
S = (a₂ + an-1)*(n/2).
...

De acordo com os dados do problema, qualquer uma das fórmulas da soma pode ser aplicada. O que facilita nesse caso é o fato da soma dos termos equidistantes ao centro da sequência ser sempre igual.

Enfim, gosto muito de trabalhar com letras, pois com elas obtemos respostas que podem ser aplicadas sempre. Se deseja conferir, faça uma série de PA de quantos termos desejar, e verifique as propriedades citadas acima.

Exemplo:
Calcule a soma dos números positivos múltiplos de 9 menores que 100.

Solução:
Sabemos que o primeiro termo (a1) é 9 e que esta é a razão também, pois queremos os números múltiplos de 9, ou seja:
9, 18, 27, ...

Como eles devem ser menor que 100, devemos achar o maior número múltiplo de 9 menor que 100, e este número é o 99

Assim, a PA terá 11 termos, pois:
an = a1 + (n-1)*r
99 = 9 + (n-1)*9
90 = 9*(n-1)
n-1 = 10

n = 11

Da fórmula da soma da PA:

S = (a1 + an)*(n/2)
Assim:

S = (9 + 99)*(11/2) = (108)*(11/2) = 54*11 = 594


Dedução da fórmula da soma da PG por indução.

Fórmula da soma da PG (Progressão Geométrica) - DEDUÇÃO

Uma PG é definida por um termo inicial (a1) e uma razão (q). Cada termo desta sequência é o anterior multiplicado da razão, assim a sequência fica:
Progressão Geométrica
A soma dos termos de uma Progressão Geométrica nada mais é do que:
Progressão Geométrica
1 - Utilizando o método da indução finita para calcular a Soma da PG:
Provaremos que a Soma da PG é dada por:
Progressão Geomátrica
1º) Veremos se a fórmula é válida para n = 1:
O que é verdadeiro, já que o resultado da Soma de uma Progressão Geométrica com apenas um termo é ele mesmo.

2º) Supomos que a fórmula da Soma da PG é válida para um valor "n" aleatório:
Soma de uma progressão geométrica
3º) Partindo da hipótese assumida acima, devemos chegar que a fórmula da Soma da PG é válida para "n+1":

A soma "S(n+1)" será a soma de todos os termos da PG até n (Sn) mais o termo a1*q^(n), tendo assim:
Progressão geométrica
Porém, pela suposição assumida em 2º, temos:
Que pode ser escrito como:
Progressão Geométrica

Logo, a fórmula da Soma da PG é verdadeira.

Outra forma de deduzir a fórmula da Soma da PG

Agora, para aplicar o método, multiplicamos a Soma da PG por 'q', tendo:
Progressão Geométrica
Agora fazemos a seguinte subtração:
Progressão Geométrica
Perceba que vários dos termos serão anulados por serem iguais, restando apenas:
Progressão Geométrica
isolando os termos:

Progressão Geométrica

  Progressão Geométrica