Exercício Resolvido - Pontos de máximo, mínimo e sela

Ache os pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela da função:


Solução:
Dado o seguinte teorema temos:

Teorema: Dada a função f(x, y): ℝ² →  tal que existam pontos de máximo ou mínimo locais no interior do seu domínio. Se nestes pontos existirem as derivadas parciais de primeira ordem de f(x,y), então elas são nulas.

Com isso, calculamos as derivadas parciais da função f(x,y):



Fazendo



Assim, temos que:



Que só admite soluções reais do tipo:



Assim, esses são os potos críticos. Para saber se são pontos de máximo local, mínimo local ou de sela, temos que calcular as derivadas parciais de f de segunda ordem e o determinante da matriz Hessiana ( [H] ):



Assim, devemos observar o seguinte teorema:

Teorema: Dada a função f: ℝ² →  e (x0, y0) um ponto crítico de f . Então:
a) Se det[H] no ponto (x0, y0) for menor que zero, então (x0, y0) é um ponto de sela;
b) Se det[H] no ponto (x0, y0) for maior que zero e também no ponto (x0, y0),
é um ponto de mínimo local;
c) Se det[H] no ponto (x0, y0) for maior que zero e também no ponto (x0, y0),
então (x0, y0) é um ponto de máximo local e;
d) Se det[H] no ponto (x0, y0) for igual a zero, então nada podemos afirmar.

Obs.: Vale a pena ressaltar que este teorema só vale para a matriz [H] sendo 2x2.

Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem:


Determinante da matriz Hessiana:


No ponto (1,1):

Logo, este é um ponto de mínimo local;

No ponto (-1,-1):

Logo, este também é um ponto de mínimo local;

No ponto (0,0):

Logo, este é um ponto de sela;

Abaixo, veja a superfície formada por f(x,y) e os pontos (1,1), (0,0) e (-1,-1) representados em preto;

Pontos de máximo, mínimo e sela





7 comentários:

  1. otima explicação!

    tente resolver essas:

    f(x,y) = 2x^2 + y^3 - 2x

    f(x,y) = x + y . sen x

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    Respostas
    1. Valeu Cesar. Assim que tiver um tempinho tento fazer essas sim. Abraço

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    2. Nada se pode concluir, uma vez que o determinante da Hessiana no ponto crítico é igual a 0. Certo?

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  2. BRAWN, COMO RESOLVO ESSE EXERCÍCIO

    Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com a forma de um paralelepípedo retângulo com 1m3 de volume. O material a ser utilizado nas laterais custa o triplo do que será utilizado no fundo. Determine as dimensões da caixa que minimiza o custo da produção da caixa.

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  3. Altura da caixa: h

    Volume da caixa:

    V = a²h = 1

    De onde se tira que h = 1/a²

    Área das paredes da caixa (inclui o fundo):

    A = a² + 4ah

    Como h = 1/a²,

    A = a² + 4/a

    Essa é a função que você deve minimizar para usar o mínimo de material.

    dA/da = 2a - 4/a² = 0

    2a³ - 4 = 0

    2a³ = 4

    a³ = 2

    a = ³√2 = 1,26 m (aprox.)

    h = 1/a² = 0,63 m (aprox.

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