Exercício Resolvido - Maximização de volume: Multiplicadores de Lagrange

Cálculo do máximo e do mínimo volume de uma caixa utilizando multiplicadores de Lagrange

Calcule o maior e o menor volume de uma caixa retangular cuja área deve ser de 1500 cm² e a soma das arestas 200 cm.

Solução:

Como se trata de um exercício de obtenção do máximo e do mínimo de uma função segundo algumas condições, o uso da teoria de multiplicadores de Lagrange se torna adequado.

Neste caso, teremos uma equação a ser maximizada e minimizada que é o volume. Chamando de a, b e c as arestas da caixa temos:

As condições que devemos obedecer são:

Condição de aresta:

Condição de área:

Com isso podemos construir a função de Lagrange:

Assim, as soluções que maximizam e minimizam o volume segundo as condições de área e de aresta são dadas pela solução do seguinte sistema:



Disso, temos que:

Da primeira equação:

Da segunda equação:

Aqui já podemos concluir que a = b

Veja também:

Exercício Resolvido - Multiplicadores de Lagrange

Utilizando este resultado nas duas últimas equações temos:

c = 50 - 2a

a² + 2ac = 750

Substituindo:

a² + 2a*(50 - 2a) = 750

3a² - 100a + 750 = 0

Neste último caso, temos uma equação do segundo grau em a, que tem como raízes:

Assim, como b = a e c = 50 - 2a temos os valores das arestas:

Portanto:

Perceba que a terceira equação não foi utilizada, nem mesmo a relação de a e b com os multiplicadores de Lagrange λ₁ e λ₂ de onde concluímos que a = b. O uso destas equações iria nos fornecer os valores dos multiplicadores, o que não nos interessa a não ser que seja necessário. Como não foi, não calculá-los, simplifica bastante o problema.

Abaixo, veja o gráfico tridimensional de: Volume x a x b onde c foi substituído por c = 50 - a - b.

Em azul, a linha que estabelece a condição de área (ab + ac + bc = 750) e em verde, os pontos onde a área é máxima e mínima segundo as condições impostas:

Veja apenas a curva em azul e os pontos:

Exercício Resolvido - Multiplicadores de Lagrange

Encontre os valores de máximo e mínimo global da função



na região definida por



Solução:

Este tipo de exercício deve ser feito utilizando a teoria de Multiplicadores de Lagrange. No caso, o conjunto definido por  é um conjunto compacto e portanto, como f(x,y) é contínua, ela assume máximo e mínimo em , porém, eles são pontos críticos da função f ou pontos da fronteira, onde . Neste caso devemos calcular os pontos críticos de f e os pontos críticos de f na fronteira (segundo a condição ), utilizando os multiplicadores de Lagrange.

Cálculo dos pontos críticos de f:

Pontos:



Todos eles pertencem à região 

Assim, devemos observar o seguinte teorema:

Teorema: Dada a função f: ℝ² → ℝ e (x0, y0) um ponto crítico de f. Então:
a) Se det[H] no ponto (x0, y0) for menor que zero, então (x0, y0) é um ponto de sela;
b) Se det[H] no ponto (x0, y0) for maior que zero e também no ponto (x0, y0),  então (x0, y0) é um ponto de mínimo local;
c) Se det[H] no ponto (x0, y0) for maior que zero e também no ponto (x0, y0),  então (x0, y0) é um ponto de máximo local e;
d) Se det[H] no ponto (x0, y0) for igual a zero, então nada podemos afirmar.

Derivadas parciais de segunda ordem:



Determinante da Matriz Hessiana:



Para o ponto (0,0)

|H| = -4 → Ponto de Sela, logo não é nem máximo nem mínimo local e portanto, também não é global, por não ser um ponto da fronteira de .

Para o ponto 

|H| = -4 + 24/2 =  8
 → Ponto de máximo local. Calculando 

Para o ponto 

|H| = -4 + 24/2 =  8
 → Ponto de máximo local. Calculando 

Cálculo dos pontos críticos na fronteira utilizando Multiplicadores de Lagrange  λ - pontos críticos de g(x,y) = f(x,y) + λ(x² + 4y² - 10) = y² - y⁴ - x² + λ(x² + 4y² - 10):

Assim, devemos resolver o sistema:



Neste caso, como temos 2x(λ - 1) = 0, então ou x = 0 ou λ = 1;
- Para x = 0, temos x² + 4y² = 10 onde obtemos . Assim, os pontos são:



Calculando f:



- Para λ = 1, temos 2y( 1 - 2y² + 4λ) = 0 onde obtemos:



Deste último caso:



Para  o resultado é o obtido anteriormente, para x = 0.

Então, os pontos e os valores de f(x,y) na fronteira e no interior da região definida são:

Na fronteira:


No interior:


Logo, dos resultados obtidos, temos que -10 é o valor mínimo da função na região definida, 1/4 é o valor máximo local e global na região definida, e -15/4 é um ponto de máximo na fronteira da região definida.

Veja também:
Exercício Resolvido - Geometria analítica e reta tangente

Exercício Resolvido - Pontos de máximo, mínimo e sela

Obs.: Perceba que na fronteira eu não calculei a segunda derivada para saber se os pontos são de máximo ou mínimo. Na verdade, por ser a função contínua na fronteira e, também na fronteira, ela ser uma curva e não uma superfície, não existe a possibilidade de haver um ponto de sela, neste caso ou o ponto crítico é de mínimo ou ponto de máximo. 

Como nos pontos críticos da fronteira a função f(x,y) assume apenas dois valores (-10 e -15/4) então um deles só pode ser um ponto de máximo na fronteira e o outro só pode ser um ponto de mínimo na fronteira. Esta certeza existe pois sabemos que -15/4 > -10. Neste caso, para sair de -15/4 e chegar em -10 se o caminho não fosse unicamente crescente, certamente haveria outro ponto crítico que seria detectado nos cálculos.

Então, a certeza de que um deles é máximo na região da fronteira e o outro é mínimo na região da fronteira, vem do fato de eles serem pontos críticos, de existirem apenas 2 valores e de a função ser uma curva contínua e não uma superfície.

Abaixo, a superfície em amarelo, em azul a curva que marca a fronteira, em cinza os pontos  que são os pontos de máximo em toda a região, em vermelho os pontos  que são pontos de minimo em toda região e em preto o ponto (0,0) que é ponto de sela e os pontos  que são pontos de máximo na fronteira apenas: