Exercício Resolvido - Progressão geométrica (PG)

Dado um segmento r, dividimos este segmento em 3 partes iguais, reservando a parte do meio, para cada um dos 2 segmentos restantes, repetimos o processo, reservando suas partes centrais, e repetimos o processo sucessivamente.

Calcule a soma dos segmento reservados.

Exercício Resolvido - Soma de sequências

Se An e Bn são duas sequências finitas de 5 termos cada uma, tais que cada termo é representado por an= 2n+1 e bn= -2n, n Є N*, qual a soma An + Bn?

Solução:

Vou fazer esta questão de duas formas. Como as sequências têm apenas 5 termos, podemos calcular cada um deles e fazer a soma:

Método I:
Sequência An:
a1 = 2*1 + 1 = 3
a2 = 2*2 + 1 = 5
a3 = 2*3 + 1 = 7
a4 = 2*4 + 1 = 9
a5 = 2*5 + 1 = 11

Sequência Bn:
b1 = -2*1 = -2
b2 = -2*2 = -4
b3 = -2*3 = -6
b4 = -2*4 = -8
b5 = -2*5 = -10

Assim, a soma será:
3+5+7+9+11-2-4-6-8-10 = 5

Método II:
an = 2n + 1 e bn = -2n. É fácil perceber que a soma dos enésimos elementos de cada uma das sequências é:

(2n+1) + (-2n) = 1

Assim, 

a1 + b1 = 1

a2 + b2 = 1

...

a5 + b5 = 1

Logo, o valor da soma final será 5*1

A5 + B5 = 5

Qual o próximo número da sequência?

Eis os números:
1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, ...

Qual o próximo número da sequência?

Resposta:
Questões de sequência são muito complicadas pois admitem qualquer resposta. Veja só:
1, 2, 3 ...
Qual o próximo número da sequência?
Claro, a grande maioria vai responder '4', pois intuitivamente, esta sequência nos leva a isso, porém se alguém falar que é 19, também está certo, pois para qualquer sequência de números, existe uma infinidade de polinômios que passa pelos pontos.

No exemplo dado:
p(x) = 2,5x³ - 15x² + 28,5x - 15
p(1) = 1
p(2) = 2
p(3) = 3
p(4) = 19

Satisfazendo a sequência 1, 2, 3, 19

No exercício que estamos estudando, assim como temos, intuitivamente, a vontade de colocar 4 na sequência 1, 2, 3... a sequência 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221 o número que falta é 1113213211, pois esta sequência relata o número anterior dizendo quantas vezes cada número se repete.

1
11 -> Quer dizer que no número anterior tem '1' número '1'.
21 -> Quer dizer que no número anterior temos '2' números '1'
1211 -> Quer dizer que no número anterior temos '1' número '2' e '1' número '1'
111221 -> '1' número '1', depois '1' número '2' e depois '2' números '1' juntos
312211 -> '3' números '1' juntos, depois '2' números '2' e depois '1' número '1'
13112221 -> '1' número '3', '1' número '1', '2' números '2' e '2' números '1'.

e assim por diante.

Logo, o número que falta na sequência é:
1113213211

Exercício Resolvido - Máquina térmica

Um motor a gasolina realiza 4200 J de trabalho a cada ciclo sendo sua eficiência de 32%. Calcule o calor fornecido para a máquina em cada ciclo e o calor rejeitado pelo motor.

Solução:

Como 4200 J representam 32% da energia, com uma regra de três:

32% ----- 4200 J
100% --- x J

x = 13.125 J é o calor fornecido

Assim, 13.125 - 4200 = 8.925 J é o calor rejeitado.

Exercício Resolvido - Força resultante

Um objeto cuja massa é de 5,00 kg é submetido a uma força que o impulsiona para cima. A única outra força agindo no objeto é a força da gravidade. A aceleração líquida do objeto é para cima com uma magnitude de 5,68 m/s². A aceleração da gravidade é de 9,81 m/s². Determine a magnitude da força que impulsiona o corpo para cima, em N. 

Solução:

Neste caso, como a aceleração da gravidade é vencida e além disso, tem uma aceleração resultante de 5,68m/s² para cima, temos que a força aplicada é de:

F = (9,81 + 5,68) * 5 = 77,45N

Exercício Resolvido - Método numérico para achar raiz de polinômio

Utilizando os teoremas e métodos numéricos, encontrar intervalos onde estão as raízes do polinômio:

p(x) = 2x³ - 3x² + 4x - 2

Solução:

Regra de Descartes:

O número de raízes reais positivas de um polinômio p(x) com coeficientes reais nunca é maior que o número de trocas de sinal na sequência de seus coeficientes não nulos. Se for menor, será sempre menor de um número par.

Trocas de sinal:

2 -3 4 -2 -> três trocas de sinal. Ou seja, existem 3 raízes reais positivas ou 1.

Para estimar o número de raízes reais negativas, utilizamos o polinômio p(-x), já que as raízes positivas de  p(-x) são as negativas de p(x)

p(-x) = -2x³ - 3x² - 4x - 2

Nenhuma troca de sinal. Ou seja, não há raízes reais negativas no polínômio.

Regra de Huat:

Se p(0) ≠ 0 e para algum k, 0<k<n, tivermos (ak)² ≤ (ak-1).(ak+1), então p(x) terá raízes complexas.

Neste caso:

p(0) = -2 ≠ 0

a0 = 2

a1 = -3

a2 = 4

a3 = -2

(-3)² = 9 > 2*4

(4²) = 16 > 6

Nada podemos dizer ao utilizar esta regra.

Localização das raízes reais:

Cota de Laguerre-Thibault: 

Dado o polinômio p(x) de coeficientes reais, calcule a divisão de p(x) por x-1, x-2, x-3, ..., x-m, até que o quociente q(x) tenha todos os coeficientes positivos ou nulos, e resto R > 0. Esse m > 0 é uma cota superior das raízes reais de p(x). Uma cota inferior n < 0 pode ser calculada de modo semelhante, multiplicando-se p(-x) por -1 e seguindo o mesmo procedimento

Dividindo p(x) = 2x³ - 3x² + 4x - 2 por (x-1) temos:

(x-1)*(2x² - x + 3) + 1  = 2x³ - 3x² + 4x - 2 (-x, temos um coeficiente negativo)

(x-2)*(2x² +x + 6) + 10 = 2x³ - 3x² + 4x - 2 (todos coeficientes positivos, até mesmo o resto)

Logo, 2 é um cota superior das raízes reais.

Como a (s) raíz (es) real (is) é (são) positiva(s), temos que ela(s) está (ão) entre 0 e 2.

Teorema de Budan: 

Seja p(k)(c) o valor da k-ésima derivada do polinômio p(x) calculada para x = c. Seja Vc o número de variações de sinal na sequência p(c), p’(c), p’’(c), ..., p(n)(c), onde n é o grau de p(x). Então, o número de raízes de p(x) no intervalo (a,b) é igual ou menor que |Va - Vb|. Se for menor, será por um número par.

p(x) = 2x³ - 3x² + 4x - 2

p'(x) = 6x² - 6x + 4

p''(x) = 12x - 6

p'''(x) = 12

Para x = 0                                                             Para x = 1

p(x) = -2                                                               p(x) = 1

p'(x) = 4                                                                p'(x) = 4

p''(x) = -6                                                              p''(x) = 6

p'''(x) = 12                                                             p'''(x) = 12

V0 = 3, pois são 3 as variações de sinal.                V1 = 0, pois não há variações de sinal

Para x = 2 teremos V2 = 0 também

Assim, a(s) raiz(es) está(ão) no intervalo (0,1)

Podemos dividir este intervalo no meio, ou seja, pegar para x = 1/2

p(x) = -0,5

p'(x) = 2,5

p''(x) = 0

p'''(x) = 12

o Teorema não fala nada sobre o zero. Mas em p''(x) = 12x - 6, podemos perceber que fazendo o limite para x tendendo a 1/2 pela esquerda, p''(x) < 0, caso contrário, p''(x)>0. Com isso sabemos que no intervalo [0, 0,5) não existem raízes, pois são 3 as variações de sinal. Logo a(s) raiz(es) está(ão) no intervalo [0,5 , 1].

E neste intervalo tem apenas uma raiz real, pois como vimos, para x imediatamente maior que 1/2, temos apenas 1 variação de sinal, e em x = 1 não temos nenhuma. Logo, há apenas 1 raiz. As outras duas são complexas.

Esta subdivisão do conjunto pode continuar até se chegar a um valor tão próximo da raiz quanto se queira. Mas seria interessante fazer um programa pra isso, pois pode dar muito trabalho.

Gráfico do polinômio:

A raiz exata é 0,694146.

Exercícios resolvido - MRU

Uma partícula percorre, em movimento uniforme, uma trajetória não retilínea. Em cada instante é possível afirmar que:

a) Os vetores velocidade a aceleração são paralelos entre si;

b) A velocidade vetorial é nula;

c) Os vetores velocidade e aceleração são perpendiculares entre si;

d) Os vetores velocidade e aceleração têm direções independentes;

e)O valor do ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração muda de ponto para ponto.

Solução:

Se o movimento é uniforme, a aceleração é nula. Por definição, todo vetor nulo é perpendicular a qualquer outro vetor. Assim, a letra c) é a resposta correta.


Veja também:

5 Exercícios Resolvidos clássicos de MRUV e MRU para você fixar o assunto

Exercício Resolvido - MRU e MRUV, Mosca e trem

Exercício Resolvido: MRUV

Exercício Resolvido - Lançamento oblíquo

Um projétil é lançado a 30° com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o valor da sua velocidade é 200 m/s. Nestas condições, a componente horizontal da velocidade inicial é:

a) 0 m/s
b) 200*cos(30°)
c) 200*sen(30°)
d) 200/cos(30°)
e) 200 m/s

Solução:

No ponto mais alto, a velocidade vertical é nula existindo apenas a velocidade horizontal, que é a mesma sempre, já que não tem força atuando nela. Se neste ponto a velocidade é 200m/s, significa que a velocidade horizontal sempre foi e sempre será 200m/s. Letra e)

Exercícios relacionados:

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http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2012/02/lancamento-vertical.html

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http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2012/01/queda-livre.html

Exercício Resolvido - Lançamento vertical

Um projétil é lançado horizontalmente do cimo de um telhado, ao mesmo tempo que um corpo é deixado cair do mesmo local. Qual a hipótese verdadeira, considerando que não há atrito do ar?

a. O projétil chega primeiro ao chão porque tem velocidade inicial.
b. O corpo teria de ser mais leve que o projétil para chegar ao mesmo tempo ao chão.
c. O projétil chega ao chão ao mesmo tempo que o corpo.
d. Teríamos de saber a massa de ambos e a velocidade inicial do projétil para responder à questão.
e. O corpo chega primeiro ao chão porque tem uma trajetória retilínea e o projétil tem uma trajetória parabólica.

Solução:

Independentemente da trajetória horizontal, ambos têm mesma influência da gravidade no sentido vertical. Como são atraídos pela Terra com aceleração aproximada de 10m/s², ele chegam juntos ao solo.
Letra c)

Exercícios relacionados:
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Exercício Resolvido - Velocidade vetorial

Um barco pretende atravessar um rio, de tal forma que vá numa direção perpendicular às margens. O valor máximo da sua velocidade, em relação à água, é 10 km/h. Qual a hipótese verdadeira?

a) Se a correnteza é para cima, de valor 10 km/h, o barco nunca irá conseguir realizar o percurso.

b) Se a correnteza é para cima, de valor 5 km/h, o barco terá de se orientar na mesma direção da correnteza para conseguir realizar o percurso.

c) Se a correnteza é para cima, de valor 5 km/h, o barco terá de se orientar na direção oposta da correnteza para conseguir realizar o percurso.

d) Se a correnteza é para cima, de valor 5 km/h, o barco terá de se orientar na diagonal, com um ângulo de 60° em relação ao sentido da correnteza, para conseguir realizar o percurso.

e) Se a correnteza é para cima, de valor 5 km/h, o barco terá de se orientar na diagonal, com um ângulo de 150° em relação ao sentido da correnteza, para conseguir realizar o percurso. 

Solução:

Importante perceber que pelas alternativas, este exercício é teórico. Assim, não há a necessidade de fazer cálculos, mas sim apenas uma análise.

Farei a análise de cada uma das alternativas:

a) Esta alternativa é verdadeira pois se a velocidade da correnteza é de 10 km/h pra cima, como deseja-se que o barco se desloque perpendicularmente às margens, então a componente de velocidade do barco para baixo deve ser de 10 km/h, para anular a correnteza. Porém, só com esta velocidade o barco já esta a 10 km/h com relação à água (no limite). Assim, se ele deseja se deslocar de uma margem a outra, ele não pode, pois qualquer velocidade que ele adote na direção das margens já fará com que a velocidade do barco em relação às águas seja maior que 10 km/h.

b) Falsa, pois se o barco se orientar para cima ou para baixo, significa que ele não tem nenhuma velocidade na direção das margens, logo ele não irá se deslocar nesta direção.

c) Falsa. O barco não deve se deslocar na direção oposta à corrente, ele precisa ter uma componente de sua velocidade sendo oposta à correnteza, mas outra componente deve ser na direção das margens. Com isso ele não poderá se orientar na direção da correnteza ou oposta a ela.

d) O módulo da velocidade do barco em relação à água é calculado por:

|V| = √(Vx²+Vy²)

Mas o exercício fala que |V| pode ser, no máximo, 10 km/h. Adotando como sendo Vy a velocidade na direção cima-baixo, e Vx na direção das margens, então neste caso Vy = 5 km/h. Assim:

10 = √(Vx² + 25)

Vx = 5√3 km/h

O ângulo β da figura vale 120° e não 60°. Portanto, esta alternativa é falsa também.

Obs.:Na figura acima, em vermelho é a velocidade do barco em relação à água. É nesta direção que o nariz do barco esta apontado. Ele não se desloca neste direção em relação ao solo, pois o solo esta parado. Em relação ao solo (margens) ele se desloca conforme o vetor horizontal, a uma velocidade de 5√3 km/h.

e) A condição é a mesma da alternativa d), portanto esta incorreta também, pois o ângulo de inclinação do barco deve ser de 120°.

Exercício Resolvido - Análise de vetores

Sejam u, v, w vetores no plano, tais que:
|u| = |v| = |u + v| = 1
<u, w> = <v, w>

a) prove que o ângulo entre u e v é de 120°.
b) prove que existe uma constante C, tal que w = C*(v + u)

Solução:

a) Como os vetores estão no plano, eles possuem apenas duas dimensões. Assim, vou adotar como u = (a,b) e v = (c,d).

Sei que |u| = 1, logo, √(a² + b²) = 1, ou seja, a² + b² = 1.
De |v| = 1, temos também que c² + d² = 1

Por serem u e v vetores unitários, temos que:
a = Sen(t) e
b = Cos(t)

Onde t é o ângulo que o vetor forma com o eixo horizontal (eixo x)

c = Sen(k) e
d = Cos(k)

Onde k é o ângulo que o vetor forma com o eixo horizontal (eixo x)

Assim:
u = (Sen t, Cos t)
v = (Sen k, Cos k)

Temos ainda que:
|u + v| = 1

|(Sen t + Sen k, Cos t + Cos k)| = √[(Sen t + Sen k)² + (Cos t + Cos k)²] =
√[Sen² t + Sen² k + 2(Sen t) (Sen k) + Cos² t + Cos² k + 2(Cos t) (Cos k)] = 1

Elevando ao quadrado dos dois lados e sabendo que Sen² t + Cos² t = 1 e Sen² k + Cos² k = 1:

2 + 2(Sen t) (Sen k) + 2(Cos t) (Cos k) = 1
2[(Sen t)(Sen k) + (Cos t)(Cos k)] = -1

Das propriedades trigonométricas, (Sen t)(Sen k) + (Cos t)(Cos k) = Cos(k - t)

Cos(k - t) = -1/2

Assim, k-t = 120° ou k-t = 240°

Porém, quando tratamos de vetores no plano, o ângulo entre eles sempre estará no intervalo [0, π] pois sempre toma-se o menor ângulo entre eles.

Assim, como os ângulos são 120° ou 240°, temos que, se for 120°, este é o menor ângulo entre os vetores e se for 240°, 120° é o menor ângulo entre eles.

Desta forma, a) está resolvida.

b)
De <u, w> = <v, w> temos que:
<u,w> - <v,w> = 0
<u-v,w> = 0

Como u é diferente de v, u-v é diferente de zero, logo w é ortogonal a u-v, ainda:

<(u+v) , (u-v)> = <u, (u-v)> + <v, (u-v)> = <u,u> - <u,v> + <v,u> - <v,v> = 0, pois <u,u> = <v,v> = 1 e <u,v> = <v,u>.

Assim, (u+v) é ortogonal a (u-v), assim como w. Por estarem no plano, podemos concluir que (u+v) tem a mesma direção de w. Logo, existe uma constante 'C' tal que:

w = C*(v + u).

Exercício Resolvido - Trigonometria e equação do 2º grau.

A diferença entre o maior e o menor valor de x Є (0, 2π), na equação 2*Sen²(x) + 3*Sen(x) = 2 é?

Solução:

Como forma de visualização, vou substituir Sen(x) = y, assim temos:

2y² + 3y - 2 = 0

Achando as raízes desta equação:∆ = b² - 4*a*c

∆ = 3² - 4*2*(-2)

∆ = 9 + 16

∆ = 25

y = (-b ± √∆)/(2*a)

y = (-3 ± 5)/(4)

As soluções são:

y = -2

y = 1/2

Assim, Sen(x) = -2 e Sen(x) = 1/2 são as respostas. mas não existe valor de x tal que Sen(x) = -2, já que Sen(x) tem módulo máximo igual a 1.

Assim, apenas a solução Sen(x) = 1/2 satisfaz esse exercício. Mas para Sen(x) = 1/2, temos 2 valores de x que satisfazem essa equação, são eles:

x = π/6 (30°)

x = 5π/6 (150°)

Assim a diferença é dada por: 

5π/6 - π/6 = 4π/6 = 2π/3

Exercícios relacionados:

http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2012/01/propriedades-trigonometricas.html
http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2014/03/exercicio-resolvido-relacoes.html

Exercício Resolvido - Porcentagem e molaridade

Um vidro contém 50 mL de perfume, que foi preparado de acordo com a fórmula (% em volume): 90% de etanol; 7% de essências e 3% de fixador. Calcule a quantidade, em mol, de etanol presente nesse perfume. Dados: Massas molares em g/mol: H = 1; C = 12; O = 16. Densidade do etanol = 0,8 g/mL. 

Solução:

Do exercício, temos que 90% de 50mL é etanol. Assim, 45mL é etanol.

Como a densidade do etanol é de 0,8g/mL, temos que 45mL de etanol tem 36g (0,8*45).

A fórmula química do Etanol pode ser vista a seguir:

Como a massa molar do carbono é C = 12 g/mol, do hidrogênio é H = 1 g/mol e do oxigênio é O = 16 g/mol, temos que a massa molar do etanol é:

12*2 + 6*1 + 16 = 46g/mol.

Como no perfume há 36g de etanol, então, fazendo uma regra de três:

Quantidade em mol de etanol = 36/46 = 0,78 mol.

Exercício Resolvido - Porcentagem

Em uma liquidação, o preço de um par de tênis é R$222,00. Se o preço da liquidação foi obtido dando um desconto de 26% no preço original, qual era o preço original?

Solução:

Seja x o valor original. Porém, de x foi tirado 26%.

Ou seja:

x - (26/100)x = 222

x - 0,26x = 222

0,74x = 222

x = 222/0,26

x = 300

Gráfico de f(x) = X²-9 / X-3

Como pode ser observado, esta função é descontínua em x = 3, pois tem denominador nulo. Porém para todos os outros pontos, ela existe e ainda, para x diferente de 3, f(x) = x + 3, pois:

x² - 9 = (x+3)(x-3)

Só não podemos simplificar a função tornando-a igual a x+3 no ponto x = 3.
Assim, o gráfico fica:

Função descontínua

Gráfico de f(x) = 1 para x diferente de 3.

Exercício resolvido - Conjuntos

Em uma turma de 100 alunos, 63 sabem escrever apenas com a mão direita, 5 não sabem escrever, 25% dos alunos restantes sabem escrever tanto com a mão direita quanto com a esquerda, e os demais alunos sabem escrever apenas com a mão esquerda. Dessa turma, a porcentagem de alunos que sabe escrever com apenas uma das duas mãos é de ?

Solução:

Chamarei de U o universo total de alunos, ou seja, U = 100

AD = Apenas com a mão direita;

NE = Não sabem escrever;

ED = Sabem escrever com a mão esquerda e direita;

AE = Apenas esquerda.

Dados do exercício:

AD = 63

NE = 5

Como o total de alunos é 100, temos que os alunos restante, na qual o exercício se refere são:

100 - 63 - 5 = 32

25% de 32 são 8, os que escrevem tanto com a mão esquerda quanto com a mão direita.

Então ED = 8

Os demais alunos são 32 - 8 = 24

Logo AE = 24

Os alunos que escrevem com apenas uma das mãos são os que escrevem com apenas a mão esquerda (AE) e apenas a mão direita (AD), 63 + 24 = 87.

Como o total de alunos é 100, 87 significa 87% dos alunos

Logo, a resposta é 87%

Exercício Resolvido - Área de triângulo usando integral

Dado o triângulo formado pelos pontos (0,5) , (2,-2) e (5,1), calcule sua área, utilizando integral.

Solução:

Para realizar este tipo de cálculo é muito interessante desenhar o triângulo e encontrar as equações das retas que formam os lados:

A reta vermelha é descrita pela equação:
x - y = 4
A reta verde é descrita pela equação:
2y + 7x = 10
A reta azul é descrita pela equação:
5y + 4x = 25.

Seria interessante para facilitar esta conta fazer uma substituição de variáveis:
u = x - y
v = 2y + 7x
Com isso:
x = u + y
    x = (v - 2y)/7

u + y = (v - 2y)/7
7u + 7y = v - 2y
9y = v - 7u
x = u + (v - 7u)/9
x = u + v/9 - 7u/9
9x = (2u + v)


Assim, as retas ficam:
u = 4
v = 10
5*(v - 7u)/9 + 4*(2u + v)/9 = 25
5v/9 - 35u/9 + 8u/9 + 4v/9 = 25
v - 3u = 25


O jacobiano desta transformação é dado por:
u = x - y
v = 7x + 2y

Agora é como se os eixos fossem alterados. Agora nossos eixos básicos são u e v. Porém há uma distorção nesta mudança, que é corrigida pelo inverso do jacobiano.
Com esta alteração é como se tivéssemos:

Desta forma, é muito mais simples definirmos os limites da integral dupla:
-5 < u < 4
10 < v < 3u + 25
Porém, parte do triângulo esta com x < 0. Para tornar exata esta área, devemos deslocar o triângulo para a direita, tornando-o totalmente positivo. Esta mudança não altera em nada o jacobiano, apenas os limites de integração.

Onde a mudança agora é: w = u+5.
Assim:
0 < w < 9
10 < v < 3w +10

Sendo assim:

Exercício Resolvido - Logaritmo

Quanto vale o logaritmo de 125 na base 25 ?

Solução:

Exercício Resolvido - Número de diagonais de um polígono

Os ângulo externos de um polígono medem 20°, então o número de diagonais desse polígono é?

Solução:

Como propriedade dos polígonos temos:
Soma dos ângulos externos é sempre 360° e o número de diagonais de um polígono é dado por:

Assim, o ângulo externo dos polígonos mede 360°/n. Neste caso, 360°/n = 20°. Temos que n = 18.

Ou seja, é um polígono de 18 lados.
desta forma, d = 18(18 - 3)/2 = 9*15 = 135 diagonais.

Exercício Resolvido - Polígono

Qual é o polígono regular cuja soma dos seus ângulos internos é o triplo da soma dos ângulos externos?

Solução:
Propriedades de polígonos:
A soma dos ângulos externos de um polígono será sempre 360° e a soma dos ângulo internos de um polígono de n lados, será sempre (n-2)*180°
Assim, queremos que (n-2)*180° = 3*360°
Dividindo os dois lados por 180°:

n-2 = 3*2
n-2 = 6
n = 8

Portanto o polígono procurado é um OCTÓGONO, com 8 lados.

Desafio Brawn

- A idade da minha mãe subtraída da do meu pai, é o quádruplo da minha idade.

- A idade de minha mãe dividida por 7 é igual à idade do meu pai dividida por 8.

Se minha mãe tem 21 anos, onde está meu pai?

Exercício Resolvido - Derivada

Qual a derivada em relação a 't' da função:

Solução:

Assim, derivando temos:

Mas:

Assim:

Porém, das propriedades exponenciais e logarítmicas, temos:

Logo:

Exercício Resolvido - Cálculo de área entre as curvas

Quanto vale a área formada pelas curvas y = x, y = x/4 e y = 1/x, para x > 0 ?

Solução:
É muito interessante que seja feito o desenho destes gráficos para melhor entendimento. Como deseja-se para x > 0, temos:

Inicialmente, devemos calcular os pontos em que a curva y = 1/x corta as retas.

Ponto em que corta y = x:
neste ponto, y = 1/y (pois y = x). São dois os pontos, x = y = 1 e x = y = -1 (1,1) e (-1,-1). O primeiro é que é válido já que queremos x > 0.

Ponto em que corta y = x/4

neste ponto, x/4 = 1/x, x² = 4, logo x = 2 e x = -2. Como queremos x > 0, y = 1/2, ponto (2, 1/2).

Agora, para calcular a área desejada, vamos dividi-la em duas, conforme pode ser visto na figura a seguir:



Inicialmente calculamos a área do triângulo (0,0) , (1,1) , (1, 1/4) que vale 3/8. Para calcular esta área basta considerar a base como sendo a linha que une os pontos (1,1/4) e (1,1), que mede b = 3/4. Neste caso a altura do triângulo será de h = 1. Assim:
A1 = b*h/2 = 3/8

Agora, nos resta calcular a área limitada pela curva y = 1/x e as retas y = x/4 e x = 1, em amarelo.

Para isso, vou calcular a área abaixo da curva y = 1/x para o intervalo 1 < x < 2.

E agora basta subtrair o valor da área do trapézio formado pelos pontos:
(1, 1/4) , (2, 0.5) , (1,0) e (2,0), que vale: 3/8

Logo, a área total é:

3/8 + ln[2] - 3/8 = ln[2]

Exercício Resolvido - Análise de conjuntos

Mostre que não existe número racional tal que x²=2.

Solução:

Percebam: de fato não existe número racional tal que x² = 2, pois para isso, x = √2 ou -√2, ambos irracionais. Porém, por existir real que satisfaz x² = 2, este valor de x só pode ser irracional, já que os conjuntos dos irracionais e dos racionais são disjuntos, ou seja, um elemento de qualquer um deles, não pertence ao outro.

Porém, provando de forma analítica por absurdo, temos:

Supondo que x seja racional.

Obs.: todo número racional pode ser escrito como divisão de dois números inteiros primos entre si.

Então, se x é racional, existem valores inteiros p e q, primos entre si (ou seja, não possuem divisor comum diferente de 1) tais que:

x = p/q

Assim:

x² = (p/q)² = 2

logo:

p² = 2*q²

O que garante que p² é um número par. Porém, como p e q são inteiros, se p² é um número par, certamente p também o é, pois todo quadrado perfeito que é par tem como raiz quadrada um número par.

Assim, p = 2*r, sendo r um número inteiro pois p é par e inteiro. Logo, p² = 4*r².

Então:

x² = (p/q)² = (2r/q)² = 2

Logo:

2*q² = 4*r²

q² = 2*r²

O que garante que q² é par, e pela mesma lógica acima, se q² é par, então q é par. Assim, temos que tanto p quanto q são pares, e portanto não são primos entre si, como admitido inicialmente. Logo, isso nos leva a concluir que nossa afirmação inicial é absurda, e a nossa afirmação inicial foi de que x era racional.

Ou seja, não existe x racional tal que x² = 2.

Exercício Resolvido - Área de uma pirâmide regular

Seja uma pirâmide regular com base em forma de um quadrado de lado L e a altura da pirâmide é H. Qual a área lateral desta pirâmide?

Solução:
Por ser regular, sabemos que as laterais da pirâmide são triângulos iguais.

Seja L o valor do lado do quadrado da base, L² é sua área.
Além disso, L é a base dos triângulos, então só nos falta a altura deles o que podemos obter com a altura da pirâmide.

Seja H a altura da pirâmide. Observando uma pirâmide desse tipo é possível constatar que:

H² + [L/2]² = h², onde h é a altura do triângulo.

Assim, L² (área da base da pirâmide) + 4*(L*h/2) (área dos lados da pirâmide) é a área total dela.

Exercício Resolvido - Divisão de polinômios

Calcule 'p' e 'q' de modo que o polinômio x³ + 2x³ + px + q seja divisivel por x² - 1

Solução:
Se é divisível, o resto da divisão é nulo.

Divisão de polinômios:

Para ser divisível, temos que:
(x³ + 2x² + px + q) / (x² - 1) + Resto = P(x), onde P(x) é o polinômio resultante da divisão e para er divisível o Resto deve ser zero. Assim, (x² - 1)*P(x) = (x³ + 2x² + px + q).

Como x² - 1 tem grau 2 e (x³ + 2x² + px + q) tem grau 3, P(x) obrigatoriamente, deve ter grau 1, logo, P(x) deve ser do tipo = ax + b

Logo:
(x² - 1)*P(x) = (x² - 1)*(ax + b) = ax³ + bx² - ax - b = x³ + 2x² + px + q

Assim:
a = 1
b = 2
-a = p
-b = q

p = -1 e q = -2

Por que no sistema trifasico nao possui neutro e no sistema monofasico possui o neutro ?

Imagine uma pedra no centro de um disco. Nesta pedra você amarra três fios, cada um defasado 120º um do outro esticados na direção radial do disco. Agora, digamos que cada um desses fios exerça uma força de 127 N sobre a pedra.

Se utilizarmos apenas um dos fios, a pedra vai se deslocar na direção deste fio, pois é a única força que age nela, força esta de 127N. Este caso seria uma fase com um neutro. Como a tensão de um neutro é nula, essa representação fica bem clara.

Se utilizarmos 2 desses fios para puxar a pedra, haverá uma força resultante desses dois fios, força esta que terá resultante na direção de 60º entre cada um dos fios, ou seja, na bissetriz.

Esta força resultante é a soma vetorial das duas forças de 127N defasadas de 120º, que será igual a 127N * Raiz(3) = 127 * 1,732 = 220N.

Desta forma, temos os 220 V quando pegamos duas fases de 127 V (e não 254 V). A tensão não é uma grandeza vetorial, mas quando ela é alternada, pode ser muito bem representada como se fosse vetorial.

Em sistemas trifásicos, utilizamos os três fios amarrados na pedra, porém com ligações distintas, chamadas de estrela e triângulo.

Quando em triângulo (Que nada mais é do que três bobinas ligadas formando um triângulo), colocamos cada uma das três fases em um dos vértices do tiângulo. Assim, cada bobina estará submetida a uma tensão de duas fases, ou seja, bivolt, mas o sistema como um todo, com as três fases. Neste caso não tem sentido utilizarmos o neutro, pois se em uma das pontas do triângulo no lugar da fase entrasse um neutro, o sistema ficaria desequilibrado.

O sistema estrela são três bobinas também, porém ligadas na forma de um Y. Cada uma das fases é ligada em uma das pontas do Y. Da mesma forma, se fosse colocado um neutro, o sistema ficaria desequilibrado.

Porém, três fases 127 não significa que temos 360V. Na verdade não temos. Pense no exemplo das forças, agindo no triângulo por exemplo. 127N puxando cada uma das pontas do triângulo, porém cada força com defasagem de 120º. Na verdade o triângulo como um todo não se move, mas cada uma de sus arestas tem uma tensão.

Exercícios relacionados:

http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2012/01/eletrostatica.html