Exercício Resolvido - Fração

Calcule o valor da expressão matemática:

Exercício Resolvido - Equação

Considere a equação 4x + (3x/2) - 4 = x. A solução dessa equação é?

Solução:
4x + 3x/2 - 4 = x

Para que se possa eliminar a divisão por 2 do segundo termo, pode-se multiplicar todos os termos por dois. Isto não altera o resultado, desde que a multiplicação seja feita dos dois lados da igualdade:

2*(4x + 3x/2 - 4) = 2*(x)

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:

2*4x + 2*3x/2 - 2*4 = 2*x

8x + 3x - 8 = 2x

11x - 8 = 2x

Da mesma forma que foi feito com a  multiplicação, podemos também somar ou subtrair qualquer valor dos dois lados da igualdade que não altera-se a equação. Neste caso, por ser conveniente para que se anule o 2x do lado direito da igualdade, subtrai-se os mesmos 2x de toda a equação:

11x - 8 - [2x] = 2x - [2x]

11x - 8 - 2x = 2x - 2x

9x - 8 = 0

Para isolar o termo com x, somamos 8 de ambos os lados da igualdade:

9x - 8 + [8] = 0 + [8]

9x - 8 + 8 = 0 + 8

9x = 8

Dividindo toda a expressão por 9 para obtermos o valor de x, temos:

(9x)/9 = (8)/9

x = 8/9

Progressão Aritmética (PA)

Pessoal, eventualmente, vou postar algumas aulas aqui, desenvolvidas por mim. Qualquer dúvida que alguém possa ter, deixe nos comentários que vou procurar sanar.

PA:

Na matemática existe uma matéria muito importante chamada sequências. Dela e da teoria de conjuntos, por incrível que possa parecer, nasce todo o cálculo de limites e por consequência, derivada e integral.

Hoje vamos falar das progressões aritméticas.

PA é uma sequência que possui um termo inicial, geralmente chamado de a₁ e uma razão r. A partir do primeiro termo e da razão, obtemos os termos seguintes da seguinte forma:

a₂ = a₁ + r

a₃ = a₂ + r = (a₁ + r) + r = a₁ + 2r

a₄ = a₃ + r = (a₁ + 2r) + r = a₁ + 3r

...

Desta forma podemos deduzir que a fórmula do termo geral da sequência é:

an = a₁ + (n-1)*r

Ficando:

a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , .... , an uma sequência com n termos. 

Já conseguimos obter a fórmula do termo geral da PA. Outro dado bastante importante de se conseguir calcular é a soma de todos os termos de uma sequência, e na PA não poderia ser diferente.

Então o que queremos é a soma dos termos da PA, esta soma nada mais é do que:

S = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + .... + an, ou ainda

S = a₁ + (a₁ + r) + (a₁ + 2r) + (a₁ + 3r) + ... + [a₁ + (n-1)r]. 

Observe bem e perceba que a soma de todos os termos equidistantes ao centro desta sequência são iguais. Vou ser mais claro.

Se somarmos o 1º termo ao último, é a mesma coisa que somarmos o 2º ao penúltimo, e o 3º ao antepenúltimo ....

Veja:

Somando o 1º ao último

a₁ + an = a₁ + [a₁ + (n-1)r] = 2a₁ + (n-1)r = 2a₁ + n*r- r = 2a₁ + r*(n - 1)

Somando o 2º ao penúltimo:

a₂ + an-1 = (a₁ + r) + [a₁ + (n-2)r] = 2a₁ + r + (n-2)r = 2a₁ + r + n*r - 2r = 2a₁ + n*r - r = 2a₁ + r*(n - 1)

Somando o 3º ao antepenúltimo:

a₃ + an-2 = (a₁ + 2r) + [a₁ + (n-3)r] = 2a₁ + 2r + n*r - 3r = 2a₁ + n*r - r = 2a₁ + r*(n - 1)

Percebeu? Sempre teremos 2a₁ + r*(n - 1).

Desta forma fica fácil calcular a soma da PA, pois como:

S = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + .... + an = (a₁ + an) + (a₂ + an-1) + (a₃ + an-2) + ... Onde a soma dentro de cada parênteses desses é igual a [2a₁ + r*(n - 1)]. Ainda, como temos n termos na sequência, teremos (n/2) "parênteses". Assim:

S = [2a₁ + r*(n - 1)] + [2a₁ + r*(n - 1)] + [2a₁ + r*(n - 1)] + ... = (n/2)*[2a₁ + r*(n - 1)]
ou, se conhecemos o último termo da PA:

S = (a₁ + an)*(n/2) ou, se conhecemos o segundo termo e o penúltimo

S = (a₂ + an-1)*(n/2).

...

De acordo com os dados do problema, qualquer uma das fórmulas da soma pode ser aplicada. O que facilita nesse caso é o fato da soma dos termos equidistantes ao centro da sequência ser sempre igual.

Enfim, gosto muito de trabalhar com letras, pois com elas obtemos respostas que podem ser aplicadas sempre. Se deseja conferir, faça uma série de PA de quantos termos desejar, e verifique as propriedades citadas acima.

Exemplo:
Calcule a soma dos números positivos múltiplos de 9 menores que 100.

Solução:
Sabemos que o primeiro termo (a1) é 9 e que esta é a razão também, pois queremos os números múltiplos de 9, ou seja:
9, 18, 27, ...

Como eles devem ser menor que 100, devemos achar o maior número múltiplo de 9 menor que 100, e este número é o 99

Assim, a PA terá 11 termos, pois:
an = a1 + (n-1)*r
99 = 9 + (n-1)*9
90 = 9*(n-1)
n-1 = 10

n = 11

Da fórmula da soma da PA:

S = (a1 + an)*(n/2)
Assim:

S = (9 + 99)*(11/2) = (108)*(11/2) = 54*11 = 594

Números complexos

Calcule (1-i)⁹⁶ + (1-i)⁹⁷

Solução:

Para fazer este exercício é interessante colocar os números complexos na forma trigonométrica:

1-i = √2*[Cis(-π/4)]

onde Cis(a) = Cos(a) + i*Sen(a)

Assim:

(1-i)⁹⁶ = (√2)⁹⁶*[Cis(-96*(π/4))] = 2⁴⁸*[Cis(-24π)] = 2⁴⁸[Cis(2π)] = 2⁴⁸

(1-i)⁹⁷ = (√2)⁹⁷*[Cis(-97*(π/4))] = (√2)⁹⁷*[Cis(-π/4)] = (√2)⁹⁷*[Cos(π/4) - i*Sen(π/4)] =

(1-i)⁹⁷ = (√2/2)*(√2)⁹⁷*(1-i) = 2⁴⁸*(1-i) = 2⁴⁸ - i*2⁴⁸

(1-i)⁹⁶ + (1-i)⁹⁷ = 2⁴⁸ + 2⁴⁸ - i*2⁴⁸ = 2⁴⁸*(2-i)

Exercício Resolvido - Conjuntos

Em uma pesquisa realizada num grupo de 100 alunos, constatou-se que 42 falam inglês, 12 falam inglês e francês, 18 falam espanhol e inglês e 16 falam espanhol e francês. O numero de alunos que falam espanhol é precisamente 50% maior que i número daqueles que falam francês. Com base nessas informações, julgue os itens abaixo como verdadeiros ou falsos.

( ) O numero de alunos que falam frances é igual a 0,6 do numero dos que falam espanhol.

( ) Se 9 dos alunos consultados falam 3 linguas e 5 não falam nenhuma delas, então mais da metade dos alunos falam francês.

( ) Se 9 dos alunos consultados falam as três linguas e 5 não falam nenhuma delas, então exatamente 24 desses alunos não falam apenas inglês.

Solução:
Total: 100 alunos
Línguas: Inglês, francês e espanhol.
Podemos ter alunos que:
Não falam nada: N
Falam só inglês: In
Falam só francês: F
Falam só espanhol: E
Inglês e francês: InF
Inglês e espanhol: InE
Espanhol e francês: EF
Inglês, espanhol e francês: InEF

Sabemos que:
In + F + E + InF + InE + EF + InFE + N = 100          (1)
42 = In + InE + InF + InEF                                         (2)
12 = InF + InEF                                                          (3)
18 = InE + InEF                                                          (4)
16 = EF + InEF                                                           (5)
E + EF + InE + InEF = 1,5*(F + EF + InF + InEF)  (50% maior). 

Trabalhando essa igualdade:

E + InE = 1,5F + 0,5EF + 1,5InF + 0,5InEF               (6)

Assim, usando (2) em (1):
42 + F + E + EF + N = 100
F + E + EF + N = 58                                                  (7)

Primeira afirmação:
Falsa, pois o número de alunos que falam espanhol é precisamente 50% maior que o número daqueles que falam francês.
Assim, vou chamar de EE os alunos que falam espanhol (E + InE + EF + InEF) e de FF (F + EF + InF + InFE) os que falam francês.
Do exercício temos que:
EE = 1,5FF, logo
FF = 0,666666EE, e não 0,6 apenas.

Segunda afirmação:
InFE = 9 e N = 5, então FF > 50.
De (3), InF = 3
De (4), InE = 9
De (5), EF = 7
De (2), In = 21

Combinando todos esses dados em (1):
21 + F + E + 3 + 9 + 7 + 9 + 5 = 100
F+E = 46

Usando (6):
E + 9 = 1,5F + 0,5*7 + 1,5*3 + 0,5*9
E - 1,5F = 3,5

Tendo o sistema:
E + F = 46
E - 1,5F = 3,5
2,5F = 42,5
F = 17

Assim, FF = F + InF + EF + InFE = 17 + 3 + 7 + 9 = 36 < 50, falsa.

Terceira afirmação:
Falsa também. Já que o número de alunos que falam apenas inglês é 21, sendo, portanto, o número dos que NÃO falam apenas inglês 100-21 = 79

Exercício Resolvido - Número de elementos de conjuntos

Se X é um conjunto com um número finito de elementos, n(X) representa o número de elementos do conjunto X. Considere A,B e C com as seguintes propriedades:

n(A U B U C) = 25
n(A - C) = 13
n(B - A) = 10
n(A ∩ C) = n[C - (A U B)]
Qual o maior valor possível de n(C) ?

Solução:

Da primeira informação do exercício temos que C pode ter 25 elementos

De n(A - C) = 13, temos que A possui 13 elementos que C não possui. Combinada com a informação anterior, podemos concluir que C pode ter então, no máximo 12 elementos.

Neste ponto, vamos então supor que n(C) = 12. Se for menos, haverá alguma contradição com as informações do exercício.

Relações:

n(X ∩ Y) = n(X) + n(Y) - n(X U Y)

n(X - Y) = n(X) - n(X ∩ Y)

Assim:

Adotando que (A U B) = K, para simplificar, de n(A U B U C) = 25 temos:

n(K U C) = n(K) + n(C) - n(K ∩ C)

n(K U C) = n(K) + 12 - n(K ∩ C) = 25

n(K) - n(K ∩ C) = 13

Mas:

Equação 1) n(K) - n(C ∩ K) = n(K - C) = 13

De n(A - C) = 13 temos:

n(A) - n(A ∩ C) = 13

Equação 2) n(A)  = n(A ∩ C) + 13

De n(A ∩ C) = n[C - (A U B)] temos:

n(A ∩ C) = n(C - K)

Usando a equação 2)

Equação 3) n(A) - 13 = n(C - K)

Mas:

n(C - K) = n(C) - n(C ∩ K)

Usando a equação 1)

n(C - K) = n(C) + 13 - n(K)

Assim:

n(A) - 13 = n(C) + 13 - n(K) = 12 + 13 - n(K) = 25 - n(K)

Equação 4) n(A) = 38 - n(K)

De n(B - A) = 10 temos:

n(B - A) = n(B) - n(B ∩ A) = n(B) - [n(B) + n(A) - n(B U A)] = 10

n(B - A) = n(B) - n(B) - n(A) + n(K) = 10

n(B - A) = - n(A) + n(K)

Usando equação 4)

n(B - A) = -38 + n(K) + n(K) = 10

2*n(K) = 48

n(K) = 24

n(A) = 14

n(C - K) = n(A ∩ C) = 1

n(C ∩ K) = 11

Temos que:

n(K ∩ C) = n[(A U B) ∩ C] = n[(A ∩ C) U (B ∩ C)] = n(A ∩ C) + n(B ∩ C) - (A ∩ B ∩ C) = 11

Equação 5) n(A ∩ C) + n(B ∩ C) - (A ∩ B ∩ C) = 11

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + (A ∩ B ∩ C)

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - [n(A ∩ C) + n(B ∩ C) - (A ∩ B ∩ C)]

Usando a equação 5) temos

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - 11

Substituindo valores

25 = 14 + n(B) + 12 - 1 - 11

n(B) = 11

Ou seja, temos resultados viáveis considerando que n(C) = 12. Como este é o maior valor possível segundo as duas primeiras hipóteses, então n(C) não pode ser mais que 12. Logo, o máximo de elementos que C pode ter é 12.

Uma solução numérica seria:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14};
B = {14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24};
C = {14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}.

Exercício Resolvido - Divisão e produto de polinômios

Dividindo-se o polinômio A(x)=x³-2x²-x+2 pelo polinômio B(x),obtém-se o quociente Q(x)=x-3 e o resto R(x)=3x-1, é verdade que:

a)B(2)=2 

b)B(-2)=1

Solução:

Temos que:
(x-3)*B(x) + 3x-1 = x³ - 2x² - x + 2
(x-3)*B(x) = x³ - 2x² - 4x + 3
B(x) = (x³ - 2x² - 4x + 3)/(x-3)

Assim:
B(2) = (2³ - 2*2² - 4*2 + 3)/(2-3) = (8 - 8 - 8 + 3)/(-1) = 5 (Letra 'a)' esta incorreta)
B(-2) = [(-2)³ -2*(-2)² - 4*(-2) + 3]/(-2-3) = (-8 - 8 + 8 + 3)/(-5) = -5/-5 = 1 (Letra 'b)' esta correta)

Exercício Resolvido - Divisão e multiplicação de polinômios

O resto da divisão do polinômio p(x) por (x-1)³ é polinômio r(x). sabendo-se que o resto da divisão de r(x) por (x-1) é igual a 5, encontre o valor de p(1):

Solução:

Da imagem podemos ver que:

r(x) = q(x)*(x-1) + 5

p(x) = Q(x)*(x-1)³ + r(x)

p(x) = Q(x)*(x-1)³ + q(x)*(x-1) + 5

p(1) = Q(1)*(1-1)³ + q(1)*(1-1) + 5

p(1) = Q(1)*0 + q(1)*0 + 5 = 5

p(1) = 0

Exercício Resolvido - Divisão de polinômios

Dividindo-se um polinômio p(x) por (x-4),obtém-se quociente (x²-3x-9) e resto 8. determine o valor de p(1): 

Solução:

Com a figura acima fica mais fácil visualizar que:
p(x) = (x² - 3x - 9)*(x-4) + 8
p(x) = x³ - 4x² - 3x² + 12x - 9x + 36 + 8
p(x) = x³ - 7x² + 3x + 44
p(1) = 1 - 7 + 3 + 44 = 41

Exercício Resolvido - Escala térmica

Uma determinada escala de temperatura, denominada A, é graduada de tal forma que se baseia nos seguintes

pontos fixos:

- ponto de fusão do gelo (que, na escala Celsius, corresponde a 0 °C) vale 100 °A;

- ponto de ebulição da água (que, na escala Celsius, corresponde a 100 °C) vale 1.000 °A.

Quanto vale, na escala A, a temperatura de 30 °C? 

Solução:

Veja as escalas;

Como podemos observar na figura, a escala em °C é dividida em 100 partes, ou seja, vai de 0 a 100, e a escala °A é dividida em 900 partes, vai de 100 a 1000. Desta forma, cada °C aumentado, significa um aumento de 9°A. Logo, ao aumentarmos 30°C, aumentamos 30*9 = 270°A. Porém a escala °A começa do 100°A. 

Logo, 

30°C = 370°A.

Exercício Resolvido - Dilatação térmica

Uma barra de cobre de comprimento L = 2,0 m é exposta ao calor, sofrendo aumento de temperatura ΔT = 100 °C. Devido à dilatação térmica linear do material, ocorre expansão da barra.
Qual a variação do comprimento da barra?
Dados: αCu = 1,6 x 10¯⁵ °C¯¹

Solução:

Fórmula da variação linear:
L - Lo= Lo*α*ΔT = 2*0,000016*100 = 0,0032 m = 3,2 cm

Exercício Resolvido - Conjuntos

Em um hotel há 100 pessoas, 30 comem porco, 60 comem galinhas e 80 comem alface. Qual é o maior número de pessoas que não comem nem porco nem galinha?

Solução:

Sei que 70 não comem porco, 40 não comem galinhas e 20 não comem alface.

Das 70 que não comem porco, podemos ter que 40 delas, não comam galinha também. Desta forma, 40 não comem nem galinha nem porco. Dessas 40, 20 podem não comer alface. Assim:

O número máximo das pessoas que não comem carne é 40, e que não comem nenhuma das comidas, 20.

Assim fica:

20 não comem NADA
30 comem os 3
30 comem galinha e alface
20 comem só alface.

Exercício Resolvido - Número de elementos de um conjunto

Dados os conjuntos A, B e C tais que:

n(B U C) = 20; 

n(A ∩ B)= 5; 

n(A ∩ C)= 4; 

n(A ∩ B ∩ C) = 1; 

n(A U B U C) = 22. 

Nessas condições, o número de elementos de A - ( B ∩ C) é igual a:

a)10
b)9
c)8
d)7
e)6

Solução:

Dados:
n(B U C) = 20
n(A ∩ B)= 5 -> A e B tem 5 elementos em comum.
n(A ∩ C)= 4 -> A e C tem 4 elementos em comum.
n(A ∩ B ∩ C) = 1 -> Existe 1 elemento que é comum aos três conjuntos
n(A U B U C) = 22

n(B U C) = n(B) + n(C) - n(B ∩ C)
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

Da segunda equação temos:
22 = n(A) + n(B) + n(C) - 5 - 4 - n(B ∩ C) + 1 = n(A) + n(B) + n(C) - 8 - n(B ∩ C)
30 = n(A) + n(B) + n(C) - n(B ∩ C)

Da primeira equação temos:
20 = n(B) + n(C) - n(B ∩ C)

Fazendo a subtração delas:
30 = n(A) + n(B) + n(C) - n(B ∩ C)
20 = n(B) + n(C) - n(B ∩ C)
10 = n(A)

Das afirmações do exercícios, sabemos que existe apenas 1 elemento que pertence a todos os conjuntos.
Desta forma, B ∩ C tem apenas 1 elemento que pertence ao conjunto A. 

Assim:

A - ( B ∩ C) = 10 - 1 = 9

Letra b)

Exercício Resolvido - Máquina térmica

Um motor a gasolina realiza 4200 J de trabalho a cada ciclo sendo sua eficiência de 32%. Calcule o calor fornecido para a máquina em cada ciclo e o calor rejeitado pelo motor.

Solução:

Como 4200 J representam 32% da energia, com uma regra de três:

32% ----- 4200 J
100% --- x J

x = 13.125 J é o calor fornecido

Assim, 13.125 - 4200 = 8.925 J é o calor rejeitado.

Exercício Resolvido - Força resultante

Um objeto cuja massa é de 5,00 kg é submetido a uma força que o impulsiona para cima. A única outra força agindo no objeto é a força da gravidade. A aceleração líquida do objeto é para cima com uma magnitude de 5,68 m/s². A aceleração da gravidade é de 9,81 m/s². Determine a magnitude da força que impulsiona o corpo para cima, em N. 

Solução:

Neste caso, como a aceleração da gravidade é vencida e além disso, tem uma aceleração resultante de 5,68m/s² para cima, temos que a força aplicada é de:

F = (9,81 + 5,68) * 5 = 77,45N

Exercício Resolvido - Número de diagonais de um polígono

Os ângulo externos de um polígono medem 20°, então o número de diagonais desse polígono é?

Solução:

Como propriedade dos polígonos temos:
Soma dos ângulos externos é sempre 360° e o número de diagonais de um polígono é dado por:

Assim, o ângulo externo dos polígonos mede 360°/n. Neste caso, 360°/n = 20°. Temos que n = 18.

Ou seja, é um polígono de 18 lados.
desta forma, d = 18(18 - 3)/2 = 9*15 = 135 diagonais.

Exercício Resolvido - Polígono

Qual é o polígono regular cuja soma dos seus ângulos internos é o triplo da soma dos ângulos externos?

Solução:
Propriedades de polígonos:
A soma dos ângulos externos de um polígono será sempre 360° e a soma dos ângulo internos de um polígono de n lados, será sempre (n-2)*180°
Assim, queremos que (n-2)*180° = 3*360°
Dividindo os dois lados por 180°:

n-2 = 3*2
n-2 = 6
n = 8

Portanto o polígono procurado é um OCTÓGONO, com 8 lados.

Exercício Resolvido - Área de uma pirâmide regular

Seja uma pirâmide regular com base em forma de um quadrado de lado L e a altura da pirâmide é H. Qual a área lateral desta pirâmide?

Solução:
Por ser regular, sabemos que as laterais da pirâmide são triângulos iguais.

Seja L o valor do lado do quadrado da base, L² é sua área.
Além disso, L é a base dos triângulos, então só nos falta a altura deles o que podemos obter com a altura da pirâmide.

Seja H a altura da pirâmide. Observando uma pirâmide desse tipo é possível constatar que:

H² + [L/2]² = h², onde h é a altura do triângulo.

Assim, L² (área da base da pirâmide) + 4*(L*h/2) (área dos lados da pirâmide) é a área total dela.

Exercício Resolvido - Divisão de polinômios

Calcule 'p' e 'q' de modo que o polinômio x³ + 2x³ + px + q seja divisivel por x² - 1

Solução:
Se é divisível, o resto da divisão é nulo.

Divisão de polinômios:

Para ser divisível, temos que:
(x³ + 2x² + px + q) / (x² - 1) + Resto = P(x), onde P(x) é o polinômio resultante da divisão e para er divisível o Resto deve ser zero. Assim, (x² - 1)*P(x) = (x³ + 2x² + px + q).

Como x² - 1 tem grau 2 e (x³ + 2x² + px + q) tem grau 3, P(x) obrigatoriamente, deve ter grau 1, logo, P(x) deve ser do tipo = ax + b

Logo:
(x² - 1)*P(x) = (x² - 1)*(ax + b) = ax³ + bx² - ax - b = x³ + 2x² + px + q

Assim:
a = 1
b = 2
-a = p
-b = q

p = -1 e q = -2

Exercício Resolvido - Quantidade de movimento

Uma bala é atirada contra um bloco de madeira, que está inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito, conforme a figura a seguir. A bala atravessa o bloco, sofrendo uma variação de velocidade igual a 300 m/s, e o bloco adquire uma velocidade de 0,4 m/s. Se a massa do bloco é 1,5 kg, determine a massa da bala, em g, desprezando a perda de massa do bloco.

Solução:
Neste caso, como não há nenhuma força atuando no sistema como um todo, então F=m.a = 0, logo, a quantidade de movimento, m.v se conserva
Antes, a bala tinha uma velocidade Vo.
E o bloco, estava parado, então a quantidade de movimento do sistema era de:

m.Vo + 1,5.0 = m.Vo

Após a bala atingir o bloco, ele passa a ter uma velocidade de 0,4m/s, e a variação da velocidade da bala é de 300m/s, ou seja, sua velocidade é de (Vo - 300), assim, a quantidade de movimento após o choque é:

m.(Vo-300) + 1,5.0,4.

Mas como falei no início, ela se conserva, ou seja.:

m.(Vo-300) + 1,5.0,4 = m.Vo
m.Vo - 300.m + 0,6 = m.Vo
0,6 = 300.m

m = 0,2/100 = 0,002 kg = 2 g