Exercício Resolvido - Corrente em uma polia
Uma corrente uniforme e flexível de comprimento L (m), pesando λ (kg/m)
(onde λ é definido como sendo a densidade linear de massa) passa por uma
pequena polia sem atrito e sem massa. Ela é solta de uma posição de
repouso com x metros de corrente pendendo de um lado e (L - x) metros de
outro lado. Desprezando qualquer efeito de reação da polia que não seja vertical e desconsiderando-se o seu tamanho, responda: a) Sob que condições a corrente se acelerará? b) Admitindo
que essas condições são satisfeitas, ache a aceleração em função de x, da gravidade g e do comprimento da corrente L.
Solução:
a) A corrente irá acelerar-se se um dos lados for mais pesado que o outro, ou seja, a força resultante for diferente de zero.
b) Sendo x a parte da corrente do lado direito temos L-x do lado esquerdo.
Então, neste instante inicial, a força do lado direito é a força peso da parte da corrente que esta deste lado, ou seja Md*g, onde Md é a massa da corrente do lado direito. Do lado esquerdo, de forma análoga, temos Me*g.
Mas Md = λ*x, e Me = λ*(L-x)
Estas duas são as únicas forças atuando no sistema, assim, vamos supor que a porção da corrente do lado direito seja maior.
Temos então:
Md*g - Me*g = M*a, onde a é a aceleração do sistema e M a massa total, podemos ainda dizer que
λ*x*g - λ*(L-x)*g = M*a
Mas
M = λ*L
Logo
λ*x*g - λ*(L-x)*g = λ*L*a
Dividindo tudo por λ
x*g - (L-x)*g = L*a
-L*g + 2*x*g = L*a
Assim, a = -g + 2*x*g / L = g*(2x/L - 1)
