Exercícios Resolvido - (UFG 06) - Achar o resto da divisão

(UFG 06) O maior número primo conhecido foi descoberto no ano passado por Martin Nowak. Ele é dado por 2^25.964.951 –  1. (GALILEU, São Paulo, n. 169, ago. 2005. p. 43). Considerando o algoritmo de Euclides para a divisão por 8 desse número, pode-se escrever a equação 2^25.964.951 –  1 = 8k + r. Então o resto r da divisão por 8 do maior primo conhecido é:       

a) 0       b) 2       c) 5       d) 6       e) 7

Solução:

Assim:



Substituindo



Como



Logo:

Assim, temos que

.

Letra e)

Exercício Resolvido - Conjuntos

Em uma sala de aula, 21 alunos falam francês, 20 não falam inglês, 32 só falam inglês e 45 só falam um desses dois idiomas. Pergunta-se:
a) Qual o total de alunos da sala?
b) Quantos falam os dois idiomas?

Solução:
Então temos os seguintes casos:
Alunos que falam somente francês: Vou chamar de F
Alunos que falam somente inglês: Vou chamar de I
Alunos que falam os dois idiomas: Vou chamar de IF
Alunos que não falam nenhum idioma: Vou chamar de N

F + IF = 21, pois 21 falam francês
F + N = 20, pois 20 não falam ingês
I = 32, pois 32 falam somente inglês
F + I = 45, pois 45 falam um, e apenas um, desses dois idiomas.

Assim:
F + I = 45
I = 32
Temos que F = 13

F = 13
F + IF = 21
IF = 8

F = 13
F + N = 20
N = 7

Assim, o total de aluno é:
F + I + IF + N = 13 + 32 + 8 + 7 = 60 alunos

IF = 8, logo 8 falam os dois idiomas.

Exercícios Resolvido - Petrobrás - Profissional Júnior Formação Administração - Questão 27

Se α e β são dois ângulos complementares, então o determinante da matriz:

é igual a:

(A) -6

(B) -2

(C) 0

(D) 2

(E) 6

Solução:

- Ângulos complementares são ângulos que somados tem como resultado 90°

Como o determinante dessa matriz será:

Sen(α)Cos(β)*2*0 + 1*1*2 + (-1)*Sen(β)Cos(α)*4 - (-1)*2*2 - 1*4*Sen(α)Cos(β) - 0*1*Sen(β)Cos(α)
= 0 + 2 - 4Sen(β)Cos(α) + 4 - 4Sen(α)Cos(β) - 0 = 6 - 4Sen(β)Cos(α) - 4Sen(α)Cos(β)


Mas, das propriedades trigonométricas sabe-se que:
Sen(a + b) = Sen(a)Cos(b) + Sen(b)Cos(a)


Logo:
Det = 6 - 4Sen(β)Cos(α) - 4Sen(α)Cos(β) = 6 - 4*[Sen(β)Cos(α) + Sen(α)Cos(β)]
Det = 6 - 4*[Sen(α + β)]
Det = 6 - 4*[Sen(90°)]
Det = 6 - 4*[1] = 6 - 4 = 2


Letra (D)

Exercícios Resolvido - Petrobrás - Profissional Júnior Formação Administração - Questão 26

Considere a sequência numérica an, n ∈ ℕ definida por:

O termo an pode ser obtido através de:

(A) n∙log(2)

(B) (n+2)∙log(2)

(C) [n∙(n+1)/2]∙log(2)

(D) log(2ⁿ-1)

(E) log(2ⁿ⁺¹-2)

Solução:

Utilizando a seguinte propriedade de logaritmo:

log(xⁿ) = n∙log(x), podemos dizer que:

an+1 = an + log(2ⁿ⁺¹)

an+1 = an + (n+1)∙log(2)

Assim:

an = an-1 + n∙log(2)

Substituindo:

an+1 =  an-1 + n∙log(2)  + (n+1)∙log(2)

Se continuássemos com estas substituições:

an-1 = an-2 + (n-1)∙log(2)

an+1 =  an-2 + (n-1)∙log(2)  + n∙log(2)  + (n+1)∙log(2)

...

an+1 =  a1 + 2∙log(2) + 3∙log(2) + 4∙log(2) + ... + (n-1)∙log(2)  + n∙log(2)  + (n+1)∙log(2)

an+1 =  a1 + log(2)∙[2 + 3 + 4 + ... + (n-1) + n  + (n+1)]

Como a1 = log(2)

an+1 =  log(2) + log(2)∙[2 + 3 + 4 + ... + (n-1) + n  + (n+1)]

an+1 =  log(2)∙[1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1) + n  + (n+1)]

Ainda, o termo an, que é o que interssa nesse exercício, é obtido por:

an =  log(2)∙[1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1) + n ]

Perceba que dentro do [] existe a soma de uma PA (aula sobre Progressão Aritmética), que é dada pela fórmula:

S = (a1 + an)*(n/2) = (1 + n)*(n/2)

Assim,

an =  log(2)∙(1 + n)*(n/2)

Letra (C).

Exercícios relacionados:
http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2012/01/progressao-aritmetica-pa.html

Exercício resolvido - IME CG 2009/2010 - Estática

Duas barras AC e BD estão apoiadas e ligadas por pinos sem atrito, conforme a figura. As barras, de 4 m de comprimento, são feitas de material homogêneo e possuem massa linear igual a  5 kg/m. Sabendo que as barras formam um sistema em equilíbrio no momento em que o ponto  D é tracionado em  300 N e que, no meio da barra  AC, é colocado um corpo com 20 litros de volume, determine as reações horizontal e vertical, em Newtons, nos pontos A e B.

  Dados:

aceleração gravitacional = 10 m/s²

√3 = 1,7

massa específica do corpo = 2000 kg/m³

Solução:

Como o sistema esta em equilíbrio temos que:

∑F = 0 (Somatório da forças = 0)

∑M = 0 (Somatório dos momentos = 0)

Para facilitar, vou decompor a força 300 N na direção horizontal e vertical. Além disso, como o corpo na barra AC tem 20 litros de volume (ou 0,02 m³) e que sua massa específica é de 2000 kg/m³, temos que sua massa é:

0,02*2000 = 40 kg

Como a aceleração da gravidade é 10 m/s²

Peso do corpo = 400 N.

Ambas as barras tem massa de 5 kg/m* 4 m = 20 kg, pesando 200 N cada uma.

Assim temos:

Observe que no ponto C existem 4 forças, 2 delas são a reação na barra AC, e duas na barra BD

Neste tipo de exercício, é interessante 'separarmos' as barras, já que cada uma delas deve estar em equilíbrio  pois não estão se movendo e nem girando.

Estudo da barra AC:

Equilíbrio das forças verticais:

RCVAC + 200 + 400 + RAV = 0

RCVAC = - 600 - RAV

Equilíbrio das forças horizontais:

RAH - RCHAC = 0

RAH = RCHAC

Momento em relação a qualquer ponto é nulo.

Vou fazer em relação ao ponto C, já que não estou interessado em calcular as forças em C, e sim em A e B:

RAV*4 + 400*2 + 200*2 = 0

RAV*4 = -1200

RAV = -300 N

Veja também:
Exercício Resolvido - Força e momento resultante. Equilíbrio estático

Disso, temos que:

RCVAC = -600 - RAV = - 600 + 300 = - 300 N

Obs.: É importante perceber que as forças que atuam no ponto C quando estudamos apenas a barra AC tem um sentido, porém ao estudarmos a barra BD, estas forças terão sentido contrário, já que serão a reação da barra AC na barra BD. Assim como os vetores dessas forças estão em sentidos contrários, RCVAC = RCVBD e RCHAC = RCHBD.

Estudo da barra BD:

Equilíbrio das forças verticais:

RBV - 200 +  RCVBD + 300*sen(30°) = 0

RBV - 200 +  RCVBD + 150 = 0

RBV +  RCVBD = 50

Equilíbrio das forças horizontais:

RBH + RCHBD + 300*cos(30°) = 0

RBH + RCHBD + 255 = 0

RBH + RCHBD = -255

Momento resultante em relação a qualquer ponto é nulo:

Novamente irei calcular em relação ao ponto C:

300*cos(30°)*1 - RBH*3 = 0

3RBH = 255

RBH = 85 N

Como RBH + RCHBD = -255

RCHBD = - 340 N

Falta resolver:

RAH = RCHAC

RBV +  RCVBD = 50

Sabemos que:

RCVBD = RCVAC = - 300 = - 300 N, logo, RCVBD = - 300 N

RCHBD = RCHAC = -340 N, logo, RCHAC = - 340 N

Com isso

RAH = - 340 N

RBV - 300 = 50

RBV = 350 N

Assim:

Forças em A:

RAV = -300 N

RAH = -340 N

Forças em B:

RBV = 350 N

RBH = 85 N

PS: Agora sim, certamente esta correto este exercício. Depois de algumas correções e momentos de reflexão (rs), esta é a resposta. Podem confiar..

Exercício Resolvido - Integrais

Solução de integrais

Calcule as seguintes integrais:

1) ∫ (sen2x/3cos³) dx
2) ∫ [(x²-10x+24)/(x-4)] dx
3) ∫ [(1+cos²x)/(2cos²x)] dx
4) ∫ [(x-1)/(1-√x)] dx
5) ∫ [(4x²+2x⁴)/(x²+1)] dx

Solução:
1)
Sabendo que
Sen(2x) = 2*Sen(x)Cos(x)
Podemos simplificar
Sen(2x) / 3*Cos³(x) = 2*Sen(x) / 3*Cos²(x)
Como se trata de uma integral, podemos tirar o 2/3 do integrando, pois ele não depende de x.
Ficando:
(2/3)∫[Sen(x) / Cos²(x)]dx

Agora, perceba que a derivada de Cos(x) é -Sen(x)dx, ou seja, substituindo Cos(x) por 'u', temos a seguinte integral:
(2/3)∫ - du / u² = (2/3)*(1/u) = (2/3)*[1/Cos(x)] = (2/3)*Sec(x)

Logo:
∫ [Sen(2x) / 3*Cos³(x)]dx = (2/3)*Sec(x) + k

2)
∫ [(x² - 10x + 24) / (x-4)]dx
Como x² - 10x + 24 pode ser escrito (x-4)*(x-6), temos
∫ [(x² - 10x + 24) / (x-4)]dx = ∫ [(x-4)*(x-6) / (x-4)]dx = ∫ (x-6)dx, para x ≠ 4
∫ (x-6)dx = x²/2 - 6x + k, onde k é uma constante.

3)
∫ [(1+cos²x)/(2cos²x)] dx
Abrindo a soma, temos:
(1+cos²x)/(2cos²x) = 1 / [2Cos²(x)] + Cos²(x) / [2Cos²(x)] = (1/2)*[1/Cos²(x)] + 1/2 = (1/2)*[Sec²(x) + 1]
Mas,
Assim:
∫ [(1+cos²x)/(2cos²x)] dx = (1/2)*∫ [Sec²(x) + 1]dx = (1/2)*∫ Sec²(x)dx + (1/2)*∫ 1dx =
= (1/2)*∫ Sec²(x)dx + (1/2)*x + k1

Resta calcular: ∫ Sec²(x)dx
Para isso, devemos utilizar algumas propriedades trigonométricas:
Tan²(x) + 1 = Sec²(x)

Observando que:
Sec²(x) = Sen²(x) / Cos²(x) + 1
Sec²(x) = [Sen²(x) + Cos²(x)] / Cos²(x)

Mas:
[Sen²(x) + Cos²(x)] / Cos²(x) é a derivada de [Sen(x) / Cos(x)] = Tan(x)

Logo:
∫ Sec²(x)dx = Tan(x) + k2

Assim:
∫ [(1+cos²x)/(2cos²x)] dx = (1/2)*∫ Sec²(x)dx + (1/2)*x + k1 = (1/2)*[Tan(x) + k2 + x + k1]
Adotando que k1 + k2 = k
∫ [(1+cos²x)/(2cos²x)] dx = 0,5*[Tan(x) + x + k]

4)
∫ [(x-1)/(1-√x)] dx
Para iniciar esse exercício é interessante perceber que:
(x-1) = [√(x) - 1]*[√(x) + 1]

Assim:
∫ [(x-1)/(1-√x)] dx = ∫ [√(x) + 1] dx = ∫ √(x) dx + ∫ 1dx = (2/3)*√(x³) + x + k

5)
∫ [(4x²+2x⁴)/(x²+1)] dx = ∫ [2x²*(2+x²)/(x²+1)] dx = ∫ {2x²*[1+(1+x²)]/(x²+1)} dx =
= ∫ {[2x² + 2x²*(1+x²)]/(x²+1)} dx = ∫ 2x² / (x² + 1) dx + ∫2x²*(1+x²)/(x²+1)} dx =
= ∫ 2x² / (x² + 1) dx + ∫2x² dx

Calculando ∫2x² dx
∫2x² dx = (2/3) x³ + k1

Calculando
∫ 2x² / (x² + 1) dx
Fazendo uma substituição de variável:
x = Tan(u)
dx = Sec²(u) du

∫ 2x² / (x² + 1) dx = ∫ {2Tan²(u) / [Tan²(u) + 1]}*[Sec²(u) du]

Mas
1 + Tan²(u) = Sec²(u)

∫ {2Tan²(u) / [Tan²(u) + 1]}*[Sec²(u) du] = ∫ {2Tan²(u) / Sec²(u)}*[Sec²(u) du] = ∫ 2Tan²(u) du

Mas sabendo que Tan²(u) = Sen²(u) / Cos²(u)
E que
Sen²(u) + Cos²(u) = 1, logo, Sen²(u) = 1 - Cos²(u)
Tan²(u) = Sen²(u) / Cos²(u) = [1 - Cos²(u)] / Cos²(u) = 1/Cos²(u) - 1 = Sec²(u) - 1

Assim:
∫ 2Tan²(u) du = 2*∫ [Sec²(u) - 1] du = 2* [ ∫ Sec²(u) du - ∫ 1 du] = 2* [ ∫ Sec²(u) du - (u + k2)]

Mas já foi visto que
∫ Sec²(u) du = Tan(u) + k3

Logo
∫ 2Tan²(u) du =2Tan(u) + 2k3 - 2u - 2k2

E sabendo que u = ArcTan(x)
2Tan(u) + 2k3 - 2u - 2k2 = 2x + 2k3 - 2ArcTan(x) - 2k2

Logo:
∫ [(4x²+2x⁴)/(x²+1)] dx = (2/3) x³ + k1 + 2x + 2k3 - 2ArcTan(x) - 2k2

Para facilitar, podemos chamar k1 + 2k3 - 2k2 = k
∫ [(4x²+2x⁴)/(x²+1)] dx = (2/3) x³ + 2x - 2ArcTan(x) + k

Exercício resolvido - Cônica em 3 dimensões

Resolva a função quádrica, classifique-a e esboce-a

x² + y² + z² - 14x + 6y - 8z + 10 = 0

Solução:

Para verificar esse tipo de questão, é interessante eliminarmos os termos que não são quadráticos, ou seja, os termos dependentes de x, y e z. Para isso, fazemos uma substituição de variável:

x = u + a

y = v + b

z = w + c

Ficando:

(u + a)² + (v + b)² + (w + c)² - 14*(u + a) + 6*(v + b) - 8*(w + c) + 10 = 0

Desenvolvendo:

u² + 2au + a² + v² + 2bv + b² + w² + 2wc + c² - 14u - 14a + 6v + 6b - 8w - 8c + 10

Ficando:

u² + v² + w² + u*(2a - 14) + v*(2b + 6) + w*(2c - 8) + (a² + b² + c² - 14a + 6b - 8c + 10) = 0

Para zerar os termos u, v e w basta:

2a - 14 = 0

a = 7

2b + 6 = 0

b = -3

2c - 8 = 0

c = 4

Com estes valores de a, b e c, calculamos:

(a² + b² + c² - 14a + 6b - 8c + 10) = [7² + (-3)² + 4² - 14*7 + 6*(-3) - 8*4 + 10] = 

= 49 + 9 + 16 - 98 - 18 - 32 + 10 = -64

Desta forma:

u² + v² + w² + u*(2a - 14) + v*(2b + 6) + w*(2c - 8) + (a² + b² + c² - 14a + 6b - 8c + 10) = 0

Fica:

u² + v² + w² - 64 = 0

u² + v² + w² = 64

Ou seja, é uma esfera de raio √64 = 8.

Agora, para saber o ponto onde essa esfera é centrada devemos pensar da seguinte forma:

Inicialmente nós estávamos trabalhando com x, y e z. Mudamos para u, v e w. Perceba que para mudar do primeiro sistema de referência para o segundo, apenas somamos constantes (a, b e c), ou seja, deslocamos os eixos x, y e z para a esquerda ou direita, para cima ou para baixo, para frente ou para trás, veja o que foi feito:

x² + y² + z² - 14x + 6y - 8z + 10 = 0, é o mesmo que

u² + v² + w² - 64 = 0. 

Mas

u = x - a

u = x - 7

v = y - b

v = y + 3

w = z - c

w = z - 4

Assim:

u² + v² + w² - 64 = 0, é o mesmo que

(x-7)² + (y+3)² + (z-4)² = 64

Ou seja, o centro dessa esfera é o ponto:

x = 7

y = -3

z = 4

(7, -3, 4)

Logo, este é uma equação de uma esfera com raio 8 e centro no ponto (7, -3, 4)

Gráfico:

Exercício Resolvido - Quantidade de movimento

Duas bolas de boliche aproximam-se, ambas em movimento sobre um trilho. A primeira, de massa m1, se desloca com velocidade v1 e a segunda, de massa m2, com v2. Qual a velocidade do centro de massa? Qual a velocidade do centro de massa do sistema após as bolas colidirem elasticamente? Qual é a quantidade de movimento do sistema antes e qual passa a ser após a colisão e por quê?

Solução:
1ª pergunta:

Considerando cada uma das bolas como sendo uma partícula onde sua massa esta concentrada em seu centro de massa, temos que para calcular o centro de massa do sistema, devemos utilizar a fórmula:

Onde CM é a localização do centro de massa, m1 e m2 as massas de cada uma das bolas e r1 e r2 as coordenadas da posição do centro de massa de cada uma das bolas.

Assim, devemos supor uma posição inicial para cada uma das bolas, tal procedimento não vai alterar o resultado, já que será irrelevante.

Posição da bola 1: Supondo que a bola 1 parte do ponto (0,0) e se desloca em direção à bola 2, podemos dizer que não há alteração da posição das bolas na direção y, e sim, somente na x. Logo, a posição da bola 1 em qualquer tempo pode ser descrita por:
r1 = (v1*t, 0 ), onde v1 é a velocidade da bola 1.

O mesmo deve ser feito para a bola 2
r2 = (v2*t, 0). 

CM = [m1*(v1*t, 0 ) + m2*(v2*t, 0)] / (m1 + m2)
CM = (m1*v1*t + m2*v2*t , 0) / (m1 + m2)
CM = t*(m1*v1 + m2*v2 , 0) / (m1 + m2)
Ou seja, o CM tem deslocamento somente no eixo x, pois o deslocamento no eixo y é nulo.
CM = t*(m1*v1 + m2*v2) / (m1 + m2)
Como o deslocamento é em apenas uma direção (x), basta dividir CM por t e obtemos a velocidade do centro de massa

Logo, a velocidade do centro de massa será VCM = CM/t = (m1*V1 + m2*V2) / (m1 + m2)

2ª Pergunta:
Em qualquer choque, há conservação da quantidade de movimento.
Conservação da quantidade de movimento:
m1*V1 + m2*V2 = m1*V1depois + m2*V2depois
Como a velocidade do centro de massa depois do choque será:
VCM = (m1*V1depois + m2*V2depois) / (m1 + m2) = (m1*V1 + m2*V2) / (m1 + m2). Ou seja, não há variação da velocidade do centro de massa do sistema.

3ª Pergunta:
A quantidade de movimento do sistema antes é m1*V1 + m2*V2 e depois passa a ser 
m1*V1depois + m2*V2depois, porém elas são iguais pois não há variação da quantidade de movimento.
O motivo disso é a segunda lei de newton que fala que a força é a variação infinitesimal da quantidade de movimento. Ou seja, para que ocorra variação na quantidade de movimento de qualquer corpo, é necessário que exista uma força externa agindo nele. Neste caso, considerando o sistema formado pelas duas bolas, nenhuma força externa age nelas e sim, somente o choque entre elas, porém esta força é interna. logo, a quantidade de movimento nunca vai se alterar em um choque, seja ele elástico, inelástico ou perfeitamente inelástico.

Transformar / converter litros em cm³ ou litros em m³ ou cm³ em m³

Para iniciar esse post, devemos saber que 1 litro = 1dm³

Como 1 dm = 0,1 m = 10 cm

1 L = 1 dm³ = (1 dm)*(1 dm)*(1 dm) = (0,1 m)*(0,1 m )*(0,1 m) = (10 cm)*(10 cm)*(10 cm)

1 L = 1 dm³ = 0,1³ m³ = 10³ cm³

1 L = 1 dm³ = 0,001 m³ = 1.000 cm³

Transformar / converter m/s em km/h ou km/h em m/s

A conversão de velocidade é bastante impostante em vários exercícios. Porém, devemos saber que toda unidade é como se fosse uma incógnita, assim, quando falamos m/s, queremos dizer o mesmo que a/b, ou x/y, ou seja, é uma divisão.

Como 1 km equivale a 1.000 m, 1 m equivale a 0,001 km.

Assim:
1m/s = 0,001 km/s

Resta agora transformar s em h.
como 1 h tem 3.600 s, 1 s tem 1/3600 h.

Assim, 0,001 km/s = 0,001 km / (1/3600) h = 0,001 * 3.600 km/h = 3,6 km/h

ou seja

1 m/s = 3,6 km/h

Ainda, 1 km/h = 1.000 m/h = 1.000 m / 3600 s = 1 m / 3,6 s = 0,2777777777... m/s

ou seja

1 km/h = 0,2777777777... m/s

Exercício Resolvido - Geometria plana. Hexágono

Considere um hexágono regular de vértices ABCDEF (com a sequência dos vértices no sentido positivo). Se A= (a1, a2) e B = (b1, b2) , pede-se determinar os vértices C, D , E e F. 

Solução:

Inicialmente, vou nomear os vértices do hexágono e suas coordenadas. O sentido ser positivo, indica que a ordem dos vértices é anti-horária conforme a figura:

Como fiz questão de mostrar no desenho, quando unimos os vértices de um hexágono regular com o vértice diagonalmente oposto, formamos 6 triângulos equiláteros. Ou seja, além dos lados do hexágono terem tamanho igual, a distância de qualquer vértice ao centro desse hexágono, também é igual ao lado dele.

Isso facilita muito os cálculos, conforme pode ser visto logo mais.

Como o exercício nos dá (a1, a2) e (b1, b2), temos que partir desses pontos para determinar os outros.

Seja 'd' o tamanho de cada lado do hexágono. Assim, a distância do ponto A ao ponto B é d, o mesmo do ponto B ao ponto C, etc..

Porém, se traçarmos uma reta horizontal passando por A, temos que o lado AB forma um ângulo de 30° com essa reta, assim, a projeção desse lado nessa reta passa a ser d*cos(30°), e a projeção de d numa reta vertical passando por B mede d*sen(30°)

Adotando um sistema de referência xy, como na parte inferior da figura abaixo, onde x cresce para a direita e y para cima:

Podemos observar nessa figura que:

a1 - d*cos(30°) = b1

a2 - d*sen(30°) = b2

Assim como:

b1 = c1

b2 - d = c2

O raciocínio feito no primeiro caso pode ser feito para achar d1 e d2:

d1 - d*cos(30°) = c1 = b1

d2 + d*sen(30°) = c2 = b2 - d

O mesmo para achar e1 e e2

e1 - d*cos(30°) = d1 = b1 + d*cos(30°), logo

e1 = b1 + 2d*cos(30°)

e2 - d*sen(30°) = d2 = b2 - d - d*sen(30°), logo

e2 = b2 - d. (O mesmo que c2, como era de se esperar)

f1 = e1 = b1 + 2d*cos(30°)

f2 = e2 + d = b2 . (f2 = b2, o que era esperado também)

Assim, temos todos os pontos em função de b1, b2 e de 'd'. Porém 'd' é o comprimento de um dos lados do hexágono, ou seja, é a distância do ponto A ao ponto B. Como a distância entre dois pontos é dada pela fórmula:

Basta substituir este d que temos todos os pontos em função de a1, a2, b1 e b2, ficando:

c1 = b1

c2 = b2 - d = b2 - √[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]

d1 = b1 + d*cos(30°) = b1 + {√[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]}*(√3/2)

d2 = b2 - d*(1+sen(30°)) = b2 - {√[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]}*(3/2)

e1 = b1 + 2d*cos(30°) = b1 + 2*{√[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]}*(√3/2)

e2 = b2 - d = b2 - √[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]

f1 = b1 + 2d*cos(30°) = b1 + 2*{√[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]}*(√3/2)

f2 = b2

Exercício resolvido - Geometria analítica em 3 dimensões

Encontre o ponto de intersecção do plano 2x-y-3z-4 = 0 com a reta que passa pelo ponto (0,1,-1) e tem a direção do vetor (1,-2,1).

Solução:

A reta que passa pelo ponto (0,1,-1) e tem direção do vetor (1, -2, 1) é dada pela equação:

(x,y,z) = (Ponto) + a*(Vetor)

(x,y,z) = (0, 1, -1) + a*(1, -2, 1)

x = a

y = 1 - 2a

z = -1 + a

Substituindo esses valores de x, y e z no plano temos:

2(a) - (1-2a) - 3(-1 + a) - 4 = 0

2a - 1 + 2a + 3 - 3a - 4 = 0

4a - 3a - 5 + 3 = 0

a - 2 = 0

a = 2

Para a = 2:

x = 2

y = -3

z = 1

Logo, o ponto de intersecção da reta com o plano é (2, -3, 1)

Exercício resolvido - Conjuntos

Em um banco, qualquer funcionário da carreira de Auditor é formado em pelo menos um dos cursos: Administração, Ciências Contábeis e Economia.
Um levantamento forneceu as informações de que:

I. 50% dos Auditores são formados em Administração, 60% são formados em Ciências Contábeis e 48% são formados em Economia.

II. 20% dos Auditores são formados em Administração e Ciências Contábeis.

III. 10% dos Auditores são formados em Administração e Economia.

IV. 30% dos Auditores são formados em Ciências Contábeis e Economia.

Escolhendo aleatoriamente um Auditor deste banco, a probabilidade de ele ser formado em pelo menos dois daqueles cursos citados é:

Solução:
Inicialmente, sabemos que um auditor é formado em pelo menos um dos cursos:
Administração
Ciências contábeis
Economia

Então podemos ter:
Formados em Administração apenas: vou chamar esse grupo de A
Formados em Ciências Contábeis apenas: vou chamar esse grupo de CC
Formados em Economia apenas: vou chamar esse grupo de E
Formados em Administração e Ciências Contábeis apenas: vou chamar esse grupo de ACC
Formados em Administração e Economia: vou chamar esse grupo de AE
Formados em Economia e Ciências Contábeis: vou chamar esse grupo de ECC
Formados nos três cursos: vou chamar esse grupo de AECC

Assim, sabemos que:
Total:
(1) A + CC + E + ACC + AE + ECC + AECC = 100%
Formados em administração:
(2) A + ACC + AE + AECC = 50%
Formados em Ciências Contábeis:
(3) CC + ACC + ECC + AECC = 60%
Formados em Economia:
(4) E + AE + ECC + AECC = 48%
Formados em Administração e Ciências Contábeis:
(5) ACC + AECC = 20%
Formados em Administração e Economia:
(6) AE + AECC = 10%
Formados em Ciências Contábeis e Economia:
(7) ECC + AECC = 30%

Queremos saber a porcentagem de formados em pelo menos dois cursos, ou seja:
AE + ACC + ECC + AECC = ???

Das equações (2), (3) e (4), podemos obter valores para A, CC e E:
A = 50 - ACC - AE - AECC
CC = 60 - ACC - ECC - AECC
E = 48 - AE - ECC - AECC

Substituindo esses valores em (1):
(50 - ACC - AE - AECC) + (60 - ACC - ECC - AECC) + (48 - AE - ECC - AECC) + ACC + AE + ECC + AECC = 100
158 - 3AECC - 2ACC - 2AE - 2ECC + ACC + AE + ECC + AECC = 100
58 - 2AECC - ACC - AE - ECC = 0
ACC + AE + ECC + 2AECC = 58

Somando-se as equações (5), (6) e (7) temos:
ACC + AE + ECC + 3AECC = 60

Combinando essas duas equações sublinhadas, percebemos que AECC = 2%
Logo ACC + AE + ECC + AECC = 56%

Assim, escolhendo aleatoriamente um Auditor deste banco, a probabilidade de ele ser formado em pelo menos dois daqueles cursos citados é de 56%.

Exercício resolvido - Análise combinatória

Uma livraria vai doar 15 livros iguais a 4 bibliotecas. Cada uma deve receber ao menos 2 livros. O número de modos que esses livros podem ser repartidos nessa doação é?

Solução:
Temos 4 bibliotecas.
Cada uma deve receber no mínimo 2 livros.
Mas a soma dos livros recebidos deve ser 15, assim:

Sejam as bibliotecas A, B, C e D
A quantidade de livros recebidos por cada uma delas, chamarei de A, B, C e D também.
Assim;
A + B + C + D = 15

Digamos que a gente tenha 15 bolinhas:

o o o o o o o o o o o o o o o

Assim, vou separá-las utilizando três barras, de forma aleatória:

o o | o o o o o o | o o o o o o | o

Como pode ser observado, são 18 símbolos, 3 "|" e 15 "o". Desta forma, basta fazer quantas combinações podemos fazer com estes símbolos:

$$ \frac{18!}{ (15! \times 3!) } \,  = \,  \frac{ 18 \times 17 \times 16 }{ 3 \times 2 \times 1 } \,  = \, 816 $$

Esta seria a resposta se não existisse a condição de que cada biblioteca deve receber pelo menos 2 livros.
Neste caso o exercício pode ser feito considerando-se que cada biblioteca já recebeu seus 2 livros mínimos, assim, restam 7 para serem distribuídos.

Portanto, temos agora:

o o | o o | o o o |

Esta combinação será:

$$ \frac{ 10! }{ (7! \times 3!) } \, = \, \frac{ 10 \times 9 \times 8}{ 3 \times 2 } \, = \, 120 $$

Para provar a resposta, vou colocar abaixo todas as formas de soma possíveis:
2 + 2 + 2 + 9 $ \rightarrow $ 4 formas (Perceba que poderia ser 9 + 2 + 2 + 2 ou, 2 + 9 + 2 + 2 ou, 2 + 2+ 9 + 2, ou seja, são 4 formas de combinar esses números)

2 + 2 + 3 + 8 $ \rightarrow $ 12 formas
2 + 2 + 4 + 7 $ \rightarrow $ 12 formas
2 + 2 + 5 + 6 $ \rightarrow $ 12 formas
2 + 3 + 3 + 7 $ \rightarrow $ 12 formas
2 + 3 + 4 + 6 $ \rightarrow $ 24 formas
2 + 3 + 5 + 5 $ \rightarrow $ 12 formas
2 + 4 + 4 + 5 $ \rightarrow $ 12 formas
3 + 3 + 3 + 6 $ \rightarrow $ 4 formas
3 + 3 + 4 + 5 $ \rightarrow $ 12 formas
3 + 4 + 4 + 4 $ \rightarrow $ 4 formas

Assim, 4 + 12 + 12 + 12 + 12 + 24 + 12 + 12 + 4 + 12 + 4 = 120

Exercício Resolvido - Análise combinatória: Quantos caminhos de comprimento mínimo de A até B

A figura abaixo representa um mapa de uma cidade, na qual há 7 avenidas na direção norte-sul e 6 avenidas na direção leste-oeste.

a) Quantos são os trajetos de comprimento mínimo ligando o ponto A ao ponto B?

b) Quantos desses trajetos passam por C?