Exercício resolvido - Análise combinatória

Uma livraria vai doar 15 livros iguais a 4 bibliotecas. Cada uma deve receber ao menos 2 livros. O número de modos que esses livros podem ser repartidos nessa doação é?

Solução:
Temos 4 bibliotecas.
Cada uma deve receber no mínimo 2 livros.
Mas a soma dos livros recebidos deve ser 15, assim:

Sejam as bibliotecas A, B, C e D
A quantidade de livros recebidos por cada uma delas, chamarei de A, B, C e D também.
Assim;
A + B + C + D = 15

Digamos que a gente tenha 15 bolinhas:

o o o o o o o o o o o o o o o

Assim, vou separá-las utilizando três barras, de forma aleatória:

o o | o o o o o o | o o o o o o | o

Como pode ser observado, são 18 símbolos, 3 "|" e 15 "o". Desta forma, basta fazer quantas combinações podemos fazer com estes símbolos:

$$ \frac{18!}{ (15! \times 3!) } \,  = \,  \frac{ 18 \times 17 \times 16 }{ 3 \times 2 \times 1 } \,  = \, 816 $$

Esta seria a resposta se não existisse a condição de que cada biblioteca deve receber pelo menos 2 livros.
Neste caso o exercício pode ser feito considerando-se que cada biblioteca já recebeu seus 2 livros mínimos, assim, restam 7 para serem distribuídos.

Portanto, temos agora:

o o | o o | o o o |

Esta combinação será:

$$ \frac{ 10! }{ (7! \times 3!) } \, = \, \frac{ 10 \times 9 \times 8}{ 3 \times 2 } \, = \, 120 $$

Para provar a resposta, vou colocar abaixo todas as formas de soma possíveis:
2 + 2 + 2 + 9 $ \rightarrow $ 4 formas (Perceba que poderia ser 9 + 2 + 2 + 2 ou, 2 + 9 + 2 + 2 ou, 2 + 2+ 9 + 2, ou seja, são 4 formas de combinar esses números)

2 + 2 + 3 + 8 $ \rightarrow $ 12 formas
2 + 2 + 4 + 7 $ \rightarrow $ 12 formas
2 + 2 + 5 + 6 $ \rightarrow $ 12 formas
2 + 3 + 3 + 7 $ \rightarrow $ 12 formas
2 + 3 + 4 + 6 $ \rightarrow $ 24 formas
2 + 3 + 5 + 5 $ \rightarrow $ 12 formas
2 + 4 + 4 + 5 $ \rightarrow $ 12 formas
3 + 3 + 3 + 6 $ \rightarrow $ 4 formas
3 + 3 + 4 + 5 $ \rightarrow $ 12 formas
3 + 4 + 4 + 4 $ \rightarrow $ 4 formas

Assim, 4 + 12 + 12 + 12 + 12 + 24 + 12 + 12 + 4 + 12 + 4 = 120