Exercício resolvido - Cônica em 3 dimensões

Resolva a função quádrica, classifique-a e esboce-a

x² y² z² 14x 6y - 8z 10 = 0

Solução:
Para verificar esse tipo de questão, é interessante eliminarmos os termos que não são quadráticos, ou seja, os termos dependentes de x, y e z. Para isso, fazemos uma substituição de variável:

x = u + a
y = v + b
z = w + c

Ficando:
(u + a)² + (v + b)² + (w + c)² - 14*(u + a) + 6*(v + b) - 8*(w + c) + 10 = 0
Desenvolvendo:
u² + 2au + a² + v² + 2bv + b² + w² + 2wc + c² - 14u - 14a + 6v + 6b - 8w - 8c + 10
Ficando:
u² + v² + w² + u*(2a - 14) + v*(2b + 6) + w*(2c - 8) + (a² + b² + c² - 14a + 6b - 8c + 10) = 0
Para zerar os termos u, v e w basta:
2a - 14 = 0
a = 7
2b + 6 = 0
b = -3
2c - 8 = 0
c = 4
Com estes valores de a, b e c, calculamos:
(a² + b² + c² - 14a + 6b - 8c + 10) = [7² + (-3)² + 4² - 14*7 + 6*(-3) - 8*4 + 10] = 
= 49 + 9 + 16 - 98 - 18 - 32 + 10 = -64

Desta forma:
u² + v² + w² + u*(2a - 14) + v*(2b + 6) + w*(2c - 8) + (a² + b² + c² - 14a + 6b - 8c + 10) = 0
Fica:
u² + v² + w² - 64 = 0
u² + v² + w² = 64

Ou seja, é uma esfera de raio 64 = 8.

Agora, para saber o ponto onde essa esfera é centrada devemos pensar da seguinte forma:
Inicialmente nós estávamos trabalhando com x, y e z. Mudamos para u, v e w. Perceba que para mudar do primeiro sistema de referência para o segundo, apenas somamos constantes (a, b e c), ou seja, deslocamos os eixos x, y e z para a esquerda ou direita, para cima ou para baixo, para frente ou para trás, veja o que foi feito:
x² y² z² 14x 6y - 8z 10 = 0, é o mesmo que
u² + v² + w² - 64 = 0. 
Mas
u = x - a
u = x - 7
v = y - b
v = y + 3
w = z - c
w = z - 4
Assim:
u² + v² + w² - 64 = 0, é o mesmo que
(x-7)² + (y+3)² + (z-4)² = 64

Ou seja, o centro dessa esfera é o ponto:
x = 7
y = -3
z = 4
(7, -3, 4)

Logo, este é uma equação de uma esfera com raio 8 e centro no ponto (7, -3, 4)

Gráfico:



2 comentários:

  1. Meu Deus! Que diabos é isso? Cônica em três dimensões? Cai isso em algum vestibular?

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    1. hehehehehe.
      Bom, tem vestibulares que cai sim. Mas acho que não é a maioria.
      Mas é praticamente a mesma coisa que em 2 dimensões. O que muda é saber o nome das formas, tipo, elipsóide por exemplo.

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