O que é Integral?

Neste post será explicado o que é integral pela definição.

A integral nada mais é do que um somatório contínuo de áreas infinitamente pequenas.
Por exemplo:
Imagine o seguinte somatório discreto:



Neste caso, a soma é discreta pois há um intervalo entre cada fator. A distância entre o 4 e o 1, por exemplo, é de 3, o que não permite que esta soma seja contínua, mas sim discreta. Além disso, o somatório acima não é de áreas, e sim de pontos.

Agora imagine este mesmo somatório onde cada um dos fatores da soma representam a altura de um retângulo. Assim, se multiplicarmos cada um por uma largura, teremos um somatório de várias áreas. Neste caso, uma das possibilidades é adotarmos que a largura é o intervalo entre cada um dos i's. No caso acima o intervalo entre eles é 1. Assim, a soma fica:



O somatório acima é representado, graficamente, na figura a seguir.


O exemplo acima foi propositalmente mencionado pois ele é introdutório para que possamos calcular a integral da curva f(x) = x² para x variando de zero até 3. Neste caso, podemos adotar convenientemente dois tipos de retângulos. Um com diagonal em (i, 0) e (i + Δi , f(i + Δi)), que são os mostrados anteriormente, e retângulos com diagonal (i, 0) e (i + Δi , f(i)). Abaixo, os retângulos com suas diagonais para i variando de 1 em 1 até 3, além da curva, em vermelho, de f(x) = x²:


O cálculo da integral da curva f(x) é o cálculo da área abaixo da curva. Neste caso, podemos observar que a soma das áreas dos retângulos azuis é menor do que a área da curva, e a soma das áreas dos retângulos cinza, é maior. Temos, neste caso, a soma das áreas dos retângulos cinzas igual a 14, e dos retângulos azuis, 5. Porém, a medida que vamos diminuindo o intervalo entre os i's, a área da soma dos retângulos se aproxima da área da curva. Perceba como ficaria para o intervalo entre os i's sendo de 0,5.



Neste novo exemplo, a soma dos retângulos cinzas será de:
(0.5²)*0.5 + (1²)*0.5 + (1.5²)*0.5 + (2²)*0.5 + (2.5²)*0.5 + (3²)*0.5 = 11,375
E dos retângulos azuis:
(0²)*0.5 + (0.5²)*0.5 + (1²)*0.5 + (1.5²)*0.5 + (2²)*0.5 + (2.5²)*0.5 = 6,875

É fácil de perceber que os resultados ficaram mais próximos entre si e na figura é fácil notar que as áreas se aproximaram da área abaixo da curva. Fazendo o intervalo entre os i's sendo de 0,1, é muito mais fácil de perceber isso. Veja a seguir:

O que é integral

Como, neste caso, a base dos retângulos Δi = 3/nret = 3/30 = 0,1 (onde nret é o número de retângulos) e a altura é dada por , onde k = i*Δi, sendo que para os retângulos cinzas i = 0,1,2,3,...,30 e para os retângulos azuis e i = 0,1,2,3,...,29. Desta forma temos:
Para os retângulos cinzas:


Podemos tirar para fora do somatório os termos não dependentes de i:



Porém, de acordo com o que já foi feito no blog, o somatório pode ser substituído por uma equação, conforme segue:



No caso do exemplo, basta substituir nret = 30 e temos:


Usando o mesmo raciocínio é possível mostrar que a área dos retângulos azuis é:



A medida que aumentamos nret a área dos retângulos tende à área abaixo da curva. Neste caso, a área abaixo da curva será o limite dos resultados obtidos acima, para nret tendendo ao infinito. É importante perceber que para nret tendendo ao infinito, tanto a área cinza quanto a azul será nove, já que os fatores que têm nret dividindo tenderão a zero.
Assim, obtemos o resultado da integral de f(x) = x² para 0 < x < 3.

Deve-se salientar que a integral não se define pela soma de áreas retangulares, mas sim de áreas infinitamente pequenas. O método adotado anteriormente usando retângulos foi apenas um artifício, é possível chegar ao mesmo resultado com métodos diferentes.

Outro exemplo que podemos usar este conceito é o do cálculo da área do círculo. Alguns autores alegam que a motivação para o cálculo integral surgiu pois os matemáticos não conseguiam calcular a área de um círculo. Assim, eles foram colocando vários polígonos regulares inscritos e circunscritos num círculo de raio 1. A medida que aumentava-se o número de lados dos polígonos, o polígono de dentro tinha uma área maior, e o de fora, menor, onde a área deles tendia a um limite, a área do circulo.
Polígonos com três, quatro, cinco, seis e quinze lados. Perceba que com 15 lados, os polígonos se aproximam bem do círculo, e consequentemente, suas áreas também.


O cálculo da área dos polígonos pode ser feito da seguinte forma (vou fazer o cálculo apenas do polígono inscrito, fazendo pelo circunscrito, certamente, teremos o mesmo resultado, e pode ficar como exercício para o leitor):

Sabe-se que a área de um triângulo pode ser obtida pelo produto de dois lado desse triângulo, multiplicado ao seno do ângulo entre eles dividido por dois.
Exemplo:
Um triângulo que tem dois lados medindo 5 e 8, e um ângulo entre eles de 45º, terá área de: (1/2)*(5*8*Sen(45°)) = 20 * √(2)/2 = 10 * √(2)

Neste caso, se traçarmos retas do centro da circunferência até cada vértice do polígono inscrito (cada traço desses mede o raio, percebe?) teremos vários triângulo iguais. Na verdade, o número de triângulos formado é igual ao número de lados do polígono. Ainda, o ângulo entre essas retas (esses lados de tamanho igual ao raio) é exatamente 360°/n (ou 2π/n em radianos), sendo n o número de lados do polígono. Ou seja, se o polígono é um triângulo, o ângulo entre as retas será de 120°.

Assim, a área do polígono será a soma da área dos triângulos, como o número de triângulos é 'n', e esses triângulos são formados por dois lados de medida igual ao raio e o ângulo entre esses lados é 360°/n, temos que a área do polígono será:

Fazendo o limite para n tendendo ao infinito e substituindo (1/n) por k, tal que se n tende ao infinito, k tende a zero, teremos (substituindo 360° por  radianos):

Como a parcela (r²/2) não depende de k, pode ser tirada pra fora do limite, ficando:

Porém, este limite não tem a forma dos limites conhecidos, mas é parecido com:
Basta aparecer 2*π multiplicando k embaixo, e chamamos 2*π*k = x, que teremos o limite acima, que é conhecido.
Assim:
Que é exatamente o valor da área do círculo.

Claro que naquela época eles não conheciam a medida de ângulo em radianos, já que eles nem conheciam o valor de π - passaram a conhecer depois de descobrir a área do círculo. Na verdade, o valor de π é até hoje desconhecido na sua plenitude, pois ele, aparentemente tem infinitas casas depois da vírgula e não é periódico. Uma forma de se aproximar a ele é fazendo este limite acima para um polígono de muitos lados. Mas utilizando a medida em radianos e o conhecimento de limite podemos perceber que a conta esta correta.


Choque com mola - Quantidade de movimento e energia

Um corpo de massa m1 = 2 kg escorrega por uma mesa sem atrito com velocidade de 10m/s. Diretamente à frente do corpo, deslocando-se com velocidade de 3 m/s, na mesma direção, está outro corpo de massa m2 = 5 kg. Uma mola ideal (ver figura) apresenta rigidez elástica K = 1120 N/m e está presa ao segundo bloco. Qual a máxima deformação na mola?
Energia

Solução:
Inicialmente, vamos pensar que o conjunto formado pelos dois blocos e pela mola é um corpo só. Como não há força externa agindo, a quantidade de movimento será, obrigatoriamente mantida. Ainda, como a mola é ideal, ela não tem massa, logo, não possui quantidade de movimento e não há perda de energia ao ser comprimida.

Assim:
Qantes = m1*v1 + m2*v2 = 2 kg * 10 m/s + 5 kg * 3 m/s = 20 kg.m/s + 15 kg.m/s = 35 kg.m/s

Agora, perceba o que irá ocorrer após o choque:
Como o bloco1 está mais rápido, ele irá agir no conjunto bloco2+mola e claro, sofrerá uma reação. Esta força é verificada na mola, que será comprimida, porém, ao mesmo tempo o conjunto bloco2+mola irá acelerar, da mesma forma, o bloco1 irá desacelerar, como reação. Isso vai ocorrer até um certo instante, onde a velocidade do conjunto será a mesma, ou seja, o bloco1 desacelera e o conjunto bloco2+mola acelera, num dado momento, eles terão mesma velocidade e a partir daí, a mola irá empurrar o bloco1, isto vai fazer com que o bloco1 diminua ainda mais sua velocidade, e a velocidade do conjunto bloco2+mola continua aumentando.

Mas, o que vale, é que nesse instante de velocidade igual há a máxima compressão da mola e, como se sabe, a quantidade de movimento é a mesma, ou seja, 35 kg.m/s.

Logo:
Qdepois = (m1 + m2)*v
35 kg.m/s = (2 kg + 5 kg)*v
v = 5 m/s

Energia
Por ser a mola ideal, não há perdas de energia, ou seja, a energia inicial do conjunto é mantida, logo:

Eantes = m1*(v1²)/2 + m2*(v2²)/2 = 100 N.m + 22,5 N.m = 122,5 N.m

Edepois = (m1 + m2)*(v²)/2 + k*x²/2

122,5 N.m = (7*25)/2 N.m + 1120*x²/2 N.m
35 = 560*x²
x² = 0,0625
x = 0,25 m

Logo, x = 25 cm

Este exercício ainda pode ser feito utilizando a velocidade relativa. O raciocínio é o mesmo:
Qantes = m1*v1relativa = 2*7 = 14 kg.m/s
Eantes = m1*(v1relativa²)/2 = 49 N.m
Qdepois = (m1 + m2)*v = 7*v
14 = 7*v
v = 2 m/s
Edepois = (m1 + m2)*v²/2 + k*x²/2
49 = 7*2²/2 + 1120*x²/2
49 = 14 + 560x²
35 = 560x²
x = 0,25 m = 25 cm


Prova ENEM 2011 - Logaritmo

A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como MW), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os
grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é  uma escala logarítmica. MW e M0 se relacionam pela fórmula:



Onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície,  através dos sismogramas), cuja unidade é o dina·cm.
O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude MW = 7,3.



U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes.
Disponível em: http://www.earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy.
Disponível em: http://www.earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0 do terremoto de Kobe (em dina.cm)?












Solução:

Inicialmente, para solucionar esse exercício, é preciso saber que a função Log é a inversa da função exponencial, ou seja:

Deste modo, como Mw = 7,3, então:

Resposta: E)


Exercício resolvido - Derivada de função inversa

Sendo f(x) = x³ + x² + 4x, calcule a derivada de sua função inversa no ponto o qual y = 6.
Essa questão foi tirada do livro "Fundamentos de Matemática Elementar Vol 8".

Solução:
Dedução do teorema da derivada inversa.

Seja f(x) = y uma função de x.
Assim, seja 'g' a inversa de f(x), ou seja, g(y) = x.

Exemplo:
f(x) = 3x + 4
y = 3x + 4
x = (y - 4) / 3 = g(y)

Vale ressaltar que a função do exemplo é bijetora em qualquer intervalo real. Por isso admite inversa em qualquer intervalo.
O que queremos é a derivada da inversa de f(x), ou seja, g ' (y).

Sebe-se que
g(y) = x
Logo, f(g(y)) = y

Utilizando o teorema da derivada composta, derivando dos dois lados em relação a y, temos:
f '(g(y))*g '(y) = 1
g '(y) = 1 / f '(g(y))
Mas g(y) = x
g '(y) = 1 / f '(x)

Voltando ao exercício: f(x) = x³ + x² + 4x
f '(x) = (3x² + 2x + 4)

Logo:
g '(y) = 1 / (3x² + 2x + 4)

Para y = 6, devemos achar o valor de x:
x³ + x² + 4x = 6
x³ + x² + 4x - 6 = 0

Por inspeção, percebemos que x = 1 satisfaz.
Como a função é bijetora, só admite uma solução. Porém, toda equação do terceiro grau, tem 3 soluções. Logo, as outras duas devem ser complexas.

Verificando:
Como x = 1 é raiz:
x³ + x² + 4x - 6 = (x-1)*(x² + ax + b)
x³ + x² + 4x - 6 = x³ + ax² + bx - x² - ax - b

b = 6
a = 2
x³ + x² + 4x - 6 = (x-1)*(x² + 2x + 6)
E de fato, as raízes de x² + 2x + 6 são complexas.!

Logo:
g '(y) = 1 / (3x² + 2x + 4)
g '(6) = 1 / (3*1² + 2*1 + 4) = 1 / (3+2+4) = 1/9


Exercício resolvido - Integral - Cálculo da área abaixo das curvas

Calcule a área gerada pela intersecção das curvas:
y1 = x³ - 6x² + 8x
y2= x² - 4x


Solução:
Para a solução desse tipo de exercício é recomendável que se estime as curvas para saber os intervalos de integração.
Por se tratarem de polinômios, este dado não é difícil de se obter.
Fazendo para y1 = x³ - 6x² + 8x = x(x² - 6x + 8)

Encontrando as raízes:
x(x² - 6x + 8) = 0
x = 0
x² - 6x + 8 = 0
Soma = 6
Produto = 8
Logo, as raízes são 4 e 2
(Este método de obtenção das raízes pela soma e produto é baseado na intuição, ou seja, verifica-se a soma das raízes (-b/a) e o produto delas (c/a) e se for possível observar os valor das raízes, como nesse caso, então não é necessário calculá-las).

Fazendo o limite de y1 para x tendendo ao infinito, temos y1 tendendo ao infinito.
O mesmo para x tendendo a -infinito -> y1 tende a -infinito.

Desta forma podemos estimar como este gráfico se comporta, veja:
Ele começa de -infinito, corta o eixo x para x = 0 e depois num ponto para x = 2 (certamente tem um ponto de máximo entre esses pontos). Após isso, corta o eixo x para x = 4 e cresce até o infinito.

Analisando y2 = x² - 4x. Como é uma equação do 2º grau, é bem fácil determinar esta curva.
Ela possui raízes x = 0 e x = 4. Como o coeficiente de x² é positivo, sua concavidade é para cima.
Com isso, pode-se estimar as duas curvas:
Integral da área entre duas curvas
Em azul a curva de y1, em preto a curva de y2 e em amarela a área a ser calculada.

Agora, fica mais fácil fazer o exercício.
Devemos obter, inicialmente, os pontos onde as curvas se cortam.

Para isso, basta igualar as equações:
x² - 4x = x³ - 6x² + 8x
x(x - 4) = x(x² - 6x + 8)
x = 0 é uma solução

x-4 = x² - 6x + 8
x² - 7x + 12 = 0

Soma = 7
Produto = 12
Raízes: x = 4 e x = 3 são outras soluções.

Logo, as curvas se interceptam para:

x = 0, x = 3 , x = 4
y = 0, y = -3, y = 0

Pontos:
(0,0) , (3,-3) , (4,0)

Agora, observando a figura, temos que a primeira área varia, em x, de 0 a 3, e em y, de y2 a y1 ficando:

A segunda área varia, em x, de 3 a 4, e em y, de y1 a y2. Perceba um detalhe, que nesta segunda área a variação de y é trocada, por isso a área não pode ser calculada numa vez só, ou seja, com x variando de 0 a 4 e y de y2 a y1, pois se assim fosse feito, esta segunda área seria computada como negativa.
Assim, a área total é A1 + A2 = (135 + 7)/12 = 71/6



Exercício resolvido - Geometria Analítica (reta e ponto)

Dado o ponto P(2,-1) e a reta de equação y=3x-5, escreva uma equação da reta que contém o ponto P e
a) seja paralela a reta r.
b) seja perpendicular a reta r.


Solução:
a) Uma reta paralela é aquela que tem o mesmo coeficiente angular. Logo, a reta tem a forma:
y = 3x + b

Mas ela passa por P(2,-1)
-1 = 3.2 + b
b = -7

Logo, a reta é:
y = 3x - 7
Equação da reta paralela

b) Para ser perpendicular, o produto dos coeficientes angulares das retas deve ser -1. Logo a reta tem a forma:
y = (-1/3)x + b

Mas ela passa por P(2,-1)
-1 = (-1/3).2 + b
b = -1/3

Logo, a reta é:
y = (-1/3)x - 1/3

equação da reta perpendicular




Exercício Resolvido - Geometria analítica (Ponto e Reta)

Determinar a projeção ortogonal do ponto P(2,4) sobre a reta.
x = 1+2t
y = -1+3t

Solução:
Vou fazer a solução deste exercício de duas formas. Uma envolvendo apenas conhecimentos de geometria analítica básica (mais trabalhosa), outra envolvendo conceitos vetoriais.

Método 1:
Inicialmente vou determinar a reta na forma y = a.x + b. Para isso, basta isolar o 't' nas duas igualdades acima:

x = 1 + 2t
t = (x - 1) / 2

y = -1 + 3t
t = (y + 1) / 3

(x - 1) / 2 = (y + 1) / 3
3x - 3 = 2y + 2
2y = 3x - 5
y = 1,5x - 2,5

sabe-se que retas ortogonais tem o produto dos seus coeficientes angulares igual a -1.
Logo, a reta ortogonal à reta acima, da forma:
y = ax + b
Será tal que:

a*(1,5) = -1
a = -2/3
Porém essa reta passa pelo ponto (2,4)
y = (-2/3)x + b
4 = (-2/3).2 + b
b = 4 + 4/3
b = 16/3

Logo, a reta que é ortogonal à y = 1,5x - 2,5 e passa por P(2,4) é: y = (-2/3)x + 16/3
Assim, a projeção ortogonal do ponto P na reta y = 1,5x - 2,5 será a intersecção dessas duas retas, e a intersecção ocorre quando temos os valores de y e x iguais, logo:

1,5x - 2,5 = (-2/3)x + 16/3
x(3/2 + 2/3) = 5/2 + 16/3
x(9/6 + 4/6) = 15/6 + 32/6
x(13/6) = 47/6
x = 47/13

Logo, o ponto será:
(47/13 , 38/13)


Método 2: 
Utilizando teoria vetorial
x = 1+2t
y = -1+3t
Esta reta tem a forma vetorial:
(x,y) = (1,-1) + t*(2,3)
O vetor diretor da reta é (2,3)

Logo, uma reta ortogonal a essa terá vetor diretor ortogonal a (2,3). Se eles são ortogonais e diferentes de zero, o produto escalar entre eles será zero.

Assim:
(a,b).(2,3) = 2a + 3b = 0

Arbitrando a = 1, b = -2/3. Como o valor de 'a' pode ser arbitrado e ele é diretamente proporcional a 'b', se utilizarmos a = 3, b = -2. Apenas para trabalharmos com números inteiros.

Logo, sabendo que esta reta passa pelo ponto (2,4), a reta será:
(x,y) = (2,4) + h*(3, -2)
ou
x = 2 + 3h
y = 4 - 2h

Achando o ponto de intersecção das retas:
2 + 3h = 1 + 2t -> h = (-1 + 2t) / 3
4 - 2h = -1 + 3t
4 - 2*(2t - 1) / 3 = -1 + 3t
4 - 4t/3 + 2/3 = -1 + 3t
17/3 = 13t/3
t = 17/13

Logo, x = 47/13 e y = 38/13

Gráfico do exercício abaixo:
Distância de ponto a reta




Quando a ddp numa ponte de Wheatstone é zero ?

Acima, esta esquematizada uma ponte de Wheatstone.
Na figura acima, V é a fonte de energia, e ∆V a tensão que é zero quando a ponto de Wheatstone está em equilíbrio.

Assim, para que ∆V seja zero não pode passar corrente por ∆V, pois a corrente elétrica só se desloca para pontos de menor potencial. Se ∆V é zero, então não há diferença de potencial entre seus extremos, logo a corrente será a mesma em R1 e em R4, o mesmo ocorrendo para R2 e R3. Logo, a tensão V fornecida é:

V = I23*(R2 + R3) = I14*(R1 + R4). Considerando-se que as corrente I23 e I14 deslocam-se de baixo para cima na figura.

A tensão medida em ∆V é:
∆V = R1*I14 + R2*(-I23). Perceba, o uso do sinal '-' deve-se pelo fato de que a corrente é de baixo para cima, e para que o caminho seja mantido iniciando de R1 e passando por R2 para calcular a ddp em ∆V, I23 é negativo já que I14 é positivo.
O mesmo ocorre se fizermos a malha de baixo:

∆V = R4*(-I14) + R3*I23               (1)

Porém, queremos que ∆V = 0, logo:
R1*I14 - R2*I23 = 0    (ou -R4*I14 + R3*I23 = 0, o resultado daria o mesmo.)
De onde tiramos que:
I14R2*I23 / R1

Substituindo isso EM (1):
R3*I23 - R4*(R2*I23 / R1) = 0
R3*I23 = R4*(R2*I23 / R1)
Cortando I23
R3 = (R4*R2) / R1
R3*R1 = R4*R2

Logo, para que ∆V = 0, o produto cruzado das resistências deve ser igual.


Exercícios Resolvidos - Geometria analítica



Dado um triângulo cujos vértices são A(1,1), B(4,0) e C(3,4), determine:

a) O pé da altura relativa ao vértice C.
b) A área do triângulo ABC.

Solução:

a)

Para determinar este ponto, devemos encontrar a reta que passa por C e é perpendicular à reta AB, pois a altura relativa a algum vértice de um triângulo é, por definição, a reta que passa por esse ponto e é perpendicular à reta que une os outros dois vértices.

Como retas perpendiculares tem coeficientes angulares com sinal trocado e inversas, que calcular o coeficiente angular da reta AB:

Como AB passa por A(1,1), temos:

y = ax + b

a + b = 1


Como passa por B(4,0), temos:

y = ax + b

0 = 4a + b

Mas

a + b = 1

0 = 3a + (a+b)

0 = 3a + 1

a = -1/3

b = 4/3

Coeficiente angula da reta AB: -1/3

Logo, coeficiente angular da reta altura é: 3

Assim, ela tem a forma:

y = 3x + b

Mas essa reta deve passar pelo ponto C (3,4)

4 = 3*3 + b

b = 4 - 9 = -5

Logo, a reta é:

y = 3x - 5

O pé dessa altura é o ponto que as retas AB e a reta altura se interceptam:

Reta AB:

y = (-1/3)x + 4/3

Reta altura:

y = 3x - 5

Igualando ambas:

3x - 5 = (-1/3)x + 4/3

(10/3)x = 19/3

x = (19/10) = 1,9

y = 3*(19/10) - 5

y = 5,7 - 5 = 0,7


Ponto P = (1,9 , 0,7)


b) Sabendo que a altura deste triângulo vai do ponto P(1,9 , 0,7) ao ponto C(3,4), a distância 'd' entre esses pontos será o valor desta altura:

h² = (3, 1.9)² + (4 - 0,7)²

h² = 1,1² + 3,3²

h² = 1,21 + 10,89 = 12,1

h = 3,479

O tamanho da base, é a distância do ponto A ao ponto B.

d² = (4 - 1)² + (0 - 1)²

d² = 3² + 1² = 10

d = 3,1623

A área será:



A área ainda pode ser calculada pelo determinante da matriz:



Onde a primeira coluna são as coordenadas x dos vértices, e a segunda coluna as coordenadas y.


Exercício Resolvido - Probabilidade de ninguém pegar seu próprio nome em um amigo secreto

Numa brincadeira de amigo secreto, qual a probabilidade de ninguém tirar o próprio nome quando o número de participantes tende ao infinito? 

Solução:
Este exercício parece ser simples mas é muito complicado.
Vou tentar explicar a forma como fiz o mais detalhado possível, porém o leitor deve estar bem atento a cada passo.

Inicialmente, vamos deduzir o universo de possibilidades.

Não é difícil perceber que o universo é de n! para n participantes, pois, o primeiro a sortear tem 'n' nomes para retirar. O segundo terá '(n-1)'. O terceiro, '(n-2)'... Logo, o número de possibilidades é:

n*(n-1)*(n-2)*...*1 = n!

Dessas possibilidades, vamos procurar quais são favoráveis, e da divisão das possibilidades favoráveis pelo número total temos a probabilidade.

Vou chamar de Prob(n) = [P(n) / n!] a probabilidade solicitada. Ou seja, P(n) é o número de possibilidades favoráveis

Vamos lá. Um estudo específico rápido:
Se fosse 1 participante, a probabilidade seria 0%.

Se fossem 2, teríamos que o 1º não poderia pegar seu nome. Como o universo de possibilidades é 2 e apenas uma delas satisfaz, e probabilidade aqui seria 1/2 = 0,5

Se fossem 3, temos que pensar da seguinte forma para saber o universo de possibilidades:
Se o primeiro tirar seu nome, já não nos serve mais. Como este caso tem 2 possibilidades (a de o segundo e o terceiro também tirarem seus nomes, e a de o 2° tirar o nome do 3° e o 3° tirar o do 2°), resta verificar os outros casos;
Se o 1° tirar o nome do 2°:
Pode o 2° tirar o do 1° e o 3° o dele mesmo -> não serve;
Pode o 2° tirar o do 3° e o 3° o do 1° -> OK
Se o 1° tirar o do 3°, ocorre o mesmo, ou seja, das 2 possibilidades, onde uma é válida.
Assim, neste caso (3 participantes), o universo de possibilidades é 3*2*1 = 6, e as válidas são 2. Temos 2/6 = 1/3 a probabilidade.

Perceba que existem dois casos. Um é o primeiro pegar o seu próprio nome. E este não nos serve. O outro é ele pegar o nome de outro participante. Assim, restará o nome dele e de mais um. Supondo que o participante que o primeiro pegou o nome, pegar o nome do primeiro (ou seja, um pega o nome do outro), resta a situação de apenas um participante, ou seja, o participante que não sorteou só poderá pegar o próprio nome, que é o caso de se só existisse um participante.

Vamos analisar como seria com 4 participantes, o pensamento é análogo ao se fossem 3:
Se o 1° tirar seu nome, os outros casos não nos serve. Ou seja, temos 3! = 6 possibilidades que não servem.
Se o 1° tirar o nome do 2°:
O 2° tira o do 1° o 3° tira o próprio e o 4° o próprio -> Não serve
O 2º tira o do 1°, o 3° o do 4° o 4° o do 3º -> OK
O 2° tira o do 3°, o 3° o do 1º o 4º o próprio -> não serve
O 2° tira o do 3°, o 3° o do 4º, o 4º o do 1º -> OK
O 2° tira o do 4°, o 3º o próprio, o 4° o do 1º -> Não serve
O 2° tira o do 4º, o 3º o do 1º, o 4º o do 3° -> Ok
Total de 3 possibilidades neste caso.
Como o 1º pode ainda tirar o do 3° e do 4°, e nesses casos teremos a mesma situação acima (3 favoráveis em cada), são 9 as possibilidades satisfatórias. 9/24 = 3/8.

Mais uma vez, o que foi observado no caso de 3 participantes, ocorreu. Veja que aqui existe também a possibilidade do 1º tirar o seu próprio nome (que não serve) e de ele tirar o nome que outro participante. Como são 4 participantes, as possibilidades do 1º tirar o nome de outro são 3. Digamos que ele pegue o nome de outro participante, chamado de B. Neste caso, se o participante B tirar o nome do 1º, vão restar 2 nomes e dois participantes. Porém, como no caso de existirem apenas 2 no jogo do amigo secreto, os dois participantes que restaram tem os seus nomes a serem sorteados. Caso o B não pegue o nome do 1º, e pegue o nome de um jogador C. Segue a lógica: se o C pegar o nome do 1º, resta um jogador e um nome (caso do jogo de apenas um participante, já que o nome que sobrou é exatamente o nome do jogador que não sorteou), se ele pegar o nome de um participante D ...


Agora, vou fazer o mesmo que fiz acima, porém de forma genérica, para n participantes.

Já foi visto que o universo de possibilidades é de n!.

Neste caso, para n participantes, temos:
Se o 1° pegar seu nome. já não serve mais -> (n-1)! casos descartados
Se o 1º pegar o nome de outro participante (participante X) [ (n-1) possibilidades ]
Se X pegar o nome do 1º (1 possibilidade) restam (n-2) participantes com seus próprios (n-2) nomes. Neste caso, a probabilidade dos casos favoráveis será P(n-2), já que os nomes não sorteados são exatamente o dos participantes que restaram.

Mas se X pegar o nome de um terceiro (Y) (n-2 possibilidades) obtém-se os mesmos 2 casos:
Y pegar o nome do 1º (1 possibilidade), restando (n-3) participantes e seus (n-3) nomes. P(n-3)
Y pegar outro (Z) (n-3 possibilidades):
Z pegar o nome do 1º (1 possibilidade): P(n-4)
.......
E assim vai.
Assim, teremos que:

P(n) = (n-1)*[P(n-2) + (n-2)*[P(n-3) + (n-3)*[P(n-4) + (n-4)*[P(n-5) + ... + 3*[P(2) + 2*[P(1)]]]...]]]
Da igualdade acima, temos:
P(n-1) = (n-2)*[P(n-3) + (n-3)*[P(n-4) + ... + 2*[P(1)]]]...]]]

Assim:
P(n) = (n-1)*[P(n-2) + P(n-1)]
Lembrando que a probabilidade é Prob(n) = P(n) / n!

A relação P(n) = (n-1)*[ P(n-1) + P(n-2) ] estabelece uma relação de subfatorial.
Assim, dividindo tudo por n! (universo) temos:
(Aconselho ao leitor a acompanhar com um papel e um lápis a partir daqui)

P(n)/n! = (n-1)*{ P(n-1) + P(n-2)] } / n!

P(n)/n! = [(n-1)/n]*{ P(n-1)/(n-1)! + P(n-2)/(n-1)!] }

P(n)/n! = [(n-1)/n]*{ P(n-1)/(n-1)! + [1/(n-1)]*[P(n-2) /(n-2)!] }

Desta forma temos:
Prob(n) = [(n-1)/n]*{ Prob(n-1) + [1/(n-1)]*Prob(n-2) }

Prob(n) = (1 - 1/n )*{ Prob(n-1) + [1/(n-1)]*Prob(n-2) }

Prob(n) = Prob(n-1) - (1/n)*Prob(n-1) + [1/(n-1)]*Prob(n-2) - (1/n)*[1/(n-1)]*Prob(n-2) ]

Prob(n) = Prob(n-1) - (1/n)*Prob(n-1) + [(n-1)/n]*[1/(n-1)]*Prob(n-2) ]

Prob(n) = Prob(n-1) - (1/n)*Prob(n-1) + (1/n)*Prob(n-2) ] 

Prob(n) - Prob(n-1) = - (1/n)*Prob(n-1) + [1/n]*[ Prob(n-2) ]

Prob(n) - Prob(n-1) = (-1/n)* [ Prob(n-1) - Prob(n-2) ]

Seja G(n) = Prob(n) - Prob(n-1)

G(n) = (-1/n) G(n-1)

Como:
G(2) = Prob(2) - Prob(1) = 1/2 - 0 = 1/2

G(3) = (-1/3)*(1/2) = -1/6

G(4) = (-1/4)*(1/6) = 1/24
...
G(k) = [(-1)^k] / k!

Assim:

Prob(n) = Prob(1) + [Prob(2) - Prob(1)] + [Prob(3) - Prob(2)] + ... + [Prob(n) - Prob(n-1)]

Prob(n) = 0 + G(2) + G(3) + G(4) + ... + G(n)

Prob(n) = Ʃ{ [(-1)^k] / k! }

Mas, da série de Taylor temos que:
e^x = Ʃ[ ( x^k ) / k! ], se tivermos x = -1, a série será:

e^(-1) = Ʃ{ [ (-1)^k ] / k! } = Prob(n) para n tendendo ao infinito

Logo, Prob(n) = 1/e


Exercício Resolvido - Circunferência e distância de pontos

Sejam A(-4,0) e B(0,8) pontos externos do diâmetro da circunferência de centro no ponto C. A reta que passa por C é perpendicular ao diâmetro AB intercepta o eixo das abcissas no ponto P.Qual a distancia entre os pontos B e P?
a)5
b)6
c)7
d)9
e)10

Solução:
Como temos os pontos A e B diametralmente opostos, a distância entre eles é o valor do diâmetro dessa circunferência.
A distância 'd' entre eles é dada por:

d² = (-4 - 0)² + (0 - 8)² = 16 + 64 = 80
d = 4√5

Assim, o raio dessa circunferência é 2√5 e o raio ao quadrado será 20.
Como a equação geral de uma circunferência é:
(x - xo)² + (y - yo)² = r²
Onde xo e yo são as coordenadas do centro e x e y são as coordenadas dos pontos pertencentes à circunferência, temos:

Para o ponto A:
(-4 - xo)² + (0 - yo)² = 20
16 + 8xo + xo² + yo² = 20
Para o ponto B
(0 - xo)² + (8 - yo)² = 20
xo² + 64 - 16yo + yo² = 20

Assim, como ambos são iguais a 20:
16 + 8xo + xo² + yo² = xo² + 64 - 16yo + yo²
8xo +16yo = 48
Dividindo tudo por 8 para simplificar
xo + 2yo = 6
xo = 6 - 2yo

Substituindo este valor nas equações acima:
xo² + 64 - 16yo + yo² = 20
(6 - 2yo)² + 64 - 16yo + yo² = 20
36 - 24yo + 4yo² + 64 - 16yo + yo² = 20
5yo² - 40yo + 80 = 0
Dividindo tudo por 5 para simplificar
yo² - 8yo + 16 = 0

Aplicando Bhaskara temos:
yo = 4
Logo:
xo = -2
Assim, as coordenadas do ponto central são (-2,4)

Equação da reta que passa por A e B:
No ponto A (-4,0), x = -4 e y = 0
Como a equação de uma reta é do tipo y = ax + b
0 = -4a + b

No ponto B (0,8), x = 0, y = 8
8 = 0*a + b
b = 8
a = 2
y = 2x + 8

O coeficiente angular dessa reta é 2, logo o da reta perpendicular a essa, terá coeficiente angular de -1/2, já que o coeficiente angular de retas perpendiculares possuem sinal contrário e um é o inverso do outro. Mas queremos que essa reta passe por C (-2, 4)
Para essa reta, a equação é do tipo:
y = (-1/2)x + b
Mas passa por C (-2, 4), onde x = -2 e y = 4
4 = (-1/2)*(-2) + b
4 = 1 + b
b = 3

A equação é:
y = (-1/2)x + 3

Esta reta corta o eixo das abcissas (eixo x) quando y = 0. Logo:
0 = (-1/2)x + 3
x = 6
Ponto P = (6,0)

A distância entre os pontos P (6,0) e B (0,8) é:
d² = (6-0)² + (0-8)²
d² = 36 + 64
d² = 100
d = 10

Letra e)

Abaixo o que aconteceu nesse exercício:
Em laranja, a distância 'd' entre os pontos P e B;
Em azul a circunferência;
Em preto, a reta y = 2x + 8 que passa por A e B;
Em cinza, a reta y = (-1/2)x + 3 perpendicular à que passa por A e B passando pelo ponto C e;
Em vermelho, os pontos A, B, C e P.