Exercício Resolvido - Integrais

Solução de integrais

Calcule as seguintes integrais:

1) ∫ (sen2x/3cos³) dx
2) ∫ [(x²-10x+24)/(x-4)] dx
3) ∫ [(1+cos²x)/(2cos²x)] dx
4) ∫ [(x-1)/(1-√x)] dx
5) ∫ [(4x²+2x⁴)/(x²+1)] dx

Solução:
1)
Sabendo que
Sen(2x) = 2*Sen(x)Cos(x)
Podemos simplificar
Sen(2x) / 3*Cos³(x) = 2*Sen(x) / 3*Cos²(x)
Como se trata de uma integral, podemos tirar o 2/3 do integrando, pois ele não depende de x.
Ficando:
(2/3)∫[Sen(x) / Cos²(x)]dx

Agora, perceba que a derivada de Cos(x) é -Sen(x)dx, ou seja, substituindo Cos(x) por 'u', temos a seguinte integral:
(2/3)∫ - du / u² = (2/3)*(1/u) = (2/3)*[1/Cos(x)] = (2/3)*Sec(x)

Logo:
∫ [Sen(2x) / 3*Cos³(x)]dx = (2/3)*Sec(x) + k

2)
∫ [(x² - 10x + 24) / (x-4)]dx
Como x² - 10x + 24 pode ser escrito (x-4)*(x-6), temos
∫ [(x² - 10x + 24) / (x-4)]dx = ∫ [(x-4)*(x-6) / (x-4)]dx = ∫ (x-6)dx, para x ≠ 4
∫ (x-6)dx = x²/2 - 6x + k, onde k é uma constante.

3)
∫ [(1+cos²x)/(2cos²x)] dx
Abrindo a soma, temos:
(1+cos²x)/(2cos²x) = 1 / [2Cos²(x)] + Cos²(x) / [2Cos²(x)] = (1/2)*[1/Cos²(x)] + 1/2 = (1/2)*[Sec²(x) + 1]
Mas,
Assim:
∫ [(1+cos²x)/(2cos²x)] dx = (1/2)*∫ [Sec²(x) + 1]dx = (1/2)*∫ Sec²(x)dx + (1/2)*∫ 1dx =
= (1/2)*∫ Sec²(x)dx + (1/2)*x + k1

Resta calcular: ∫ Sec²(x)dx
Para isso, devemos utilizar algumas propriedades trigonométricas:
Tan²(x) + 1 = Sec²(x)

Observando que:
Sec²(x) = Sen²(x) / Cos²(x) + 1
Sec²(x) = [Sen²(x) + Cos²(x)] / Cos²(x)

Mas:
[Sen²(x) + Cos²(x)] / Cos²(x) é a derivada de [Sen(x) / Cos(x)] = Tan(x)

Logo:
∫ Sec²(x)dx = Tan(x) + k2

Assim:
∫ [(1+cos²x)/(2cos²x)] dx = (1/2)*∫ Sec²(x)dx + (1/2)*x + k1 = (1/2)*[Tan(x) + k2 + x + k1]
Adotando que k1 + k2 = k
∫ [(1+cos²x)/(2cos²x)] dx = 0,5*[Tan(x) + x + k]

4)
∫ [(x-1)/(1-√x)] dx
Para iniciar esse exercício é interessante perceber que:
(x-1) = [√(x) - 1]*[√(x) + 1]

Assim:
∫ [(x-1)/(1-√x)] dx = ∫ [√(x) + 1] dx = ∫ √(x) dx + ∫ 1dx = (2/3)*√(x³) + x + k

5)
∫ [(4x²+2x⁴)/(x²+1)] dx = ∫ [2x²*(2+x²)/(x²+1)] dx = ∫ {2x²*[1+(1+x²)]/(x²+1)} dx =
= ∫ {[2x² + 2x²*(1+x²)]/(x²+1)} dx = ∫ 2x² / (x² + 1) dx + ∫2x²*(1+x²)/(x²+1)} dx =
= ∫ 2x² / (x² + 1) dx + ∫2x² dx

Calculando ∫2x² dx
∫2x² dx = (2/3) x³ + k1

Calculando
∫ 2x² / (x² + 1) dx
Fazendo uma substituição de variável:
x = Tan(u)
dx = Sec²(u) du

∫ 2x² / (x² + 1) dx = ∫ {2Tan²(u) / [Tan²(u) + 1]}*[Sec²(u) du]

Mas
1 + Tan²(u) = Sec²(u)

∫ {2Tan²(u) / [Tan²(u) + 1]}*[Sec²(u) du] = ∫ {2Tan²(u) / Sec²(u)}*[Sec²(u) du] = ∫ 2Tan²(u) du

Mas sabendo que Tan²(u) = Sen²(u) / Cos²(u)
E que
Sen²(u) + Cos²(u) = 1, logo, Sen²(u) = 1 - Cos²(u)
Tan²(u) = Sen²(u) / Cos²(u) = [1 - Cos²(u)] / Cos²(u) = 1/Cos²(u) - 1 = Sec²(u) - 1

Assim:
∫ 2Tan²(u) du = 2*∫ [Sec²(u) - 1] du = 2* [ ∫ Sec²(u) du - ∫ 1 du] = 2* [ ∫ Sec²(u) du - (u + k2)]

Mas já foi visto que
∫ Sec²(u) du = Tan(u) + k3

Logo
∫ 2Tan²(u) du =2Tan(u) + 2k3 - 2u - 2k2

E sabendo que u = ArcTan(x)
2Tan(u) + 2k3 - 2u - 2k2 = 2x + 2k3 - 2ArcTan(x) - 2k2

Logo:
∫ [(4x²+2x⁴)/(x²+1)] dx = (2/3) x³ + k1 + 2x + 2k3 - 2ArcTan(x) - 2k2

Para facilitar, podemos chamar k1 + 2k3 - 2k2 = k
∫ [(4x²+2x⁴)/(x²+1)] dx = (2/3) x³ + 2x - 2ArcTan(x) + k

Exercício resolvido - Cônica em 3 dimensões

Resolva a função quádrica, classifique-a e esboce-a

x² + y² + z² - 14x + 6y - 8z + 10 = 0

Solução:

Para verificar esse tipo de questão, é interessante eliminarmos os termos que não são quadráticos, ou seja, os termos dependentes de x, y e z. Para isso, fazemos uma substituição de variável:

x = u + a

y = v + b

z = w + c

Ficando:

(u + a)² + (v + b)² + (w + c)² - 14*(u + a) + 6*(v + b) - 8*(w + c) + 10 = 0

Desenvolvendo:

u² + 2au + a² + v² + 2bv + b² + w² + 2wc + c² - 14u - 14a + 6v + 6b - 8w - 8c + 10

Ficando:

u² + v² + w² + u*(2a - 14) + v*(2b + 6) + w*(2c - 8) + (a² + b² + c² - 14a + 6b - 8c + 10) = 0

Para zerar os termos u, v e w basta:

2a - 14 = 0

a = 7

2b + 6 = 0

b = -3

2c - 8 = 0

c = 4

Com estes valores de a, b e c, calculamos:

(a² + b² + c² - 14a + 6b - 8c + 10) = [7² + (-3)² + 4² - 14*7 + 6*(-3) - 8*4 + 10] = 

= 49 + 9 + 16 - 98 - 18 - 32 + 10 = -64

Desta forma:

u² + v² + w² + u*(2a - 14) + v*(2b + 6) + w*(2c - 8) + (a² + b² + c² - 14a + 6b - 8c + 10) = 0

Fica:

u² + v² + w² - 64 = 0

u² + v² + w² = 64

Ou seja, é uma esfera de raio √64 = 8.

Agora, para saber o ponto onde essa esfera é centrada devemos pensar da seguinte forma:

Inicialmente nós estávamos trabalhando com x, y e z. Mudamos para u, v e w. Perceba que para mudar do primeiro sistema de referência para o segundo, apenas somamos constantes (a, b e c), ou seja, deslocamos os eixos x, y e z para a esquerda ou direita, para cima ou para baixo, para frente ou para trás, veja o que foi feito:

x² + y² + z² - 14x + 6y - 8z + 10 = 0, é o mesmo que

u² + v² + w² - 64 = 0. 

Mas

u = x - a

u = x - 7

v = y - b

v = y + 3

w = z - c

w = z - 4

Assim:

u² + v² + w² - 64 = 0, é o mesmo que

(x-7)² + (y+3)² + (z-4)² = 64

Ou seja, o centro dessa esfera é o ponto:

x = 7

y = -3

z = 4

(7, -3, 4)

Logo, este é uma equação de uma esfera com raio 8 e centro no ponto (7, -3, 4)

Gráfico:

Exercício Resolvido - Quantidade de movimento

Duas bolas de boliche aproximam-se, ambas em movimento sobre um trilho. A primeira, de massa m1, se desloca com velocidade v1 e a segunda, de massa m2, com v2. Qual a velocidade do centro de massa? Qual a velocidade do centro de massa do sistema após as bolas colidirem elasticamente? Qual é a quantidade de movimento do sistema antes e qual passa a ser após a colisão e por quê?

Solução:
1ª pergunta:

Considerando cada uma das bolas como sendo uma partícula onde sua massa esta concentrada em seu centro de massa, temos que para calcular o centro de massa do sistema, devemos utilizar a fórmula:

Onde CM é a localização do centro de massa, m1 e m2 as massas de cada uma das bolas e r1 e r2 as coordenadas da posição do centro de massa de cada uma das bolas.

Assim, devemos supor uma posição inicial para cada uma das bolas, tal procedimento não vai alterar o resultado, já que será irrelevante.

Posição da bola 1: Supondo que a bola 1 parte do ponto (0,0) e se desloca em direção à bola 2, podemos dizer que não há alteração da posição das bolas na direção y, e sim, somente na x. Logo, a posição da bola 1 em qualquer tempo pode ser descrita por:
r1 = (v1*t, 0 ), onde v1 é a velocidade da bola 1.

O mesmo deve ser feito para a bola 2
r2 = (v2*t, 0). 

CM = [m1*(v1*t, 0 ) + m2*(v2*t, 0)] / (m1 + m2)
CM = (m1*v1*t + m2*v2*t , 0) / (m1 + m2)
CM = t*(m1*v1 + m2*v2 , 0) / (m1 + m2)
Ou seja, o CM tem deslocamento somente no eixo x, pois o deslocamento no eixo y é nulo.
CM = t*(m1*v1 + m2*v2) / (m1 + m2)
Como o deslocamento é em apenas uma direção (x), basta dividir CM por t e obtemos a velocidade do centro de massa

Logo, a velocidade do centro de massa será VCM = CM/t = (m1*V1 + m2*V2) / (m1 + m2)

2ª Pergunta:
Em qualquer choque, há conservação da quantidade de movimento.
Conservação da quantidade de movimento:
m1*V1 + m2*V2 = m1*V1depois + m2*V2depois
Como a velocidade do centro de massa depois do choque será:
VCM = (m1*V1depois + m2*V2depois) / (m1 + m2) = (m1*V1 + m2*V2) / (m1 + m2). Ou seja, não há variação da velocidade do centro de massa do sistema.

3ª Pergunta:
A quantidade de movimento do sistema antes é m1*V1 + m2*V2 e depois passa a ser 
m1*V1depois + m2*V2depois, porém elas são iguais pois não há variação da quantidade de movimento.
O motivo disso é a segunda lei de newton que fala que a força é a variação infinitesimal da quantidade de movimento. Ou seja, para que ocorra variação na quantidade de movimento de qualquer corpo, é necessário que exista uma força externa agindo nele. Neste caso, considerando o sistema formado pelas duas bolas, nenhuma força externa age nelas e sim, somente o choque entre elas, porém esta força é interna. logo, a quantidade de movimento nunca vai se alterar em um choque, seja ele elástico, inelástico ou perfeitamente inelástico.

Transformar / converter litros em cm³ ou litros em m³ ou cm³ em m³

Para iniciar esse post, devemos saber que 1 litro = 1dm³

Como 1 dm = 0,1 m = 10 cm

1 L = 1 dm³ = (1 dm)*(1 dm)*(1 dm) = (0,1 m)*(0,1 m )*(0,1 m) = (10 cm)*(10 cm)*(10 cm)

1 L = 1 dm³ = 0,1³ m³ = 10³ cm³

1 L = 1 dm³ = 0,001 m³ = 1.000 cm³

Transformar / converter m/s em km/h ou km/h em m/s

A conversão de velocidade é bastante impostante em vários exercícios. Porém, devemos saber que toda unidade é como se fosse uma incógnita, assim, quando falamos m/s, queremos dizer o mesmo que a/b, ou x/y, ou seja, é uma divisão.

Como 1 km equivale a 1.000 m, 1 m equivale a 0,001 km.

Assim:
1m/s = 0,001 km/s

Resta agora transformar s em h.
como 1 h tem 3.600 s, 1 s tem 1/3600 h.

Assim, 0,001 km/s = 0,001 km / (1/3600) h = 0,001 * 3.600 km/h = 3,6 km/h

ou seja

1 m/s = 3,6 km/h

Ainda, 1 km/h = 1.000 m/h = 1.000 m / 3600 s = 1 m / 3,6 s = 0,2777777777... m/s

ou seja

1 km/h = 0,2777777777... m/s

Exercício Resolvido - Geometria plana. Hexágono

Considere um hexágono regular de vértices ABCDEF (com a sequência dos vértices no sentido positivo). Se A= (a1, a2) e B = (b1, b2) , pede-se determinar os vértices C, D , E e F. 

Solução:

Inicialmente, vou nomear os vértices do hexágono e suas coordenadas. O sentido ser positivo, indica que a ordem dos vértices é anti-horária conforme a figura:

Como fiz questão de mostrar no desenho, quando unimos os vértices de um hexágono regular com o vértice diagonalmente oposto, formamos 6 triângulos equiláteros. Ou seja, além dos lados do hexágono terem tamanho igual, a distância de qualquer vértice ao centro desse hexágono, também é igual ao lado dele.

Isso facilita muito os cálculos, conforme pode ser visto logo mais.

Como o exercício nos dá (a1, a2) e (b1, b2), temos que partir desses pontos para determinar os outros.

Seja 'd' o tamanho de cada lado do hexágono. Assim, a distância do ponto A ao ponto B é d, o mesmo do ponto B ao ponto C, etc..

Porém, se traçarmos uma reta horizontal passando por A, temos que o lado AB forma um ângulo de 30° com essa reta, assim, a projeção desse lado nessa reta passa a ser d*cos(30°), e a projeção de d numa reta vertical passando por B mede d*sen(30°)

Adotando um sistema de referência xy, como na parte inferior da figura abaixo, onde x cresce para a direita e y para cima:

Podemos observar nessa figura que:

a1 - d*cos(30°) = b1

a2 - d*sen(30°) = b2

Assim como:

b1 = c1

b2 - d = c2

O raciocínio feito no primeiro caso pode ser feito para achar d1 e d2:

d1 - d*cos(30°) = c1 = b1

d2 + d*sen(30°) = c2 = b2 - d

O mesmo para achar e1 e e2

e1 - d*cos(30°) = d1 = b1 + d*cos(30°), logo

e1 = b1 + 2d*cos(30°)

e2 - d*sen(30°) = d2 = b2 - d - d*sen(30°), logo

e2 = b2 - d. (O mesmo que c2, como era de se esperar)

f1 = e1 = b1 + 2d*cos(30°)

f2 = e2 + d = b2 . (f2 = b2, o que era esperado também)

Assim, temos todos os pontos em função de b1, b2 e de 'd'. Porém 'd' é o comprimento de um dos lados do hexágono, ou seja, é a distância do ponto A ao ponto B. Como a distância entre dois pontos é dada pela fórmula:

Basta substituir este d que temos todos os pontos em função de a1, a2, b1 e b2, ficando:

c1 = b1

c2 = b2 - d = b2 - √[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]

d1 = b1 + d*cos(30°) = b1 + {√[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]}*(√3/2)

d2 = b2 - d*(1+sen(30°)) = b2 - {√[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]}*(3/2)

e1 = b1 + 2d*cos(30°) = b1 + 2*{√[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]}*(√3/2)

e2 = b2 - d = b2 - √[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]

f1 = b1 + 2d*cos(30°) = b1 + 2*{√[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]}*(√3/2)

f2 = b2

Exercício resolvido - Geometria analítica em 3 dimensões

Encontre o ponto de intersecção do plano 2x-y-3z-4 = 0 com a reta que passa pelo ponto (0,1,-1) e tem a direção do vetor (1,-2,1).

Solução:

A reta que passa pelo ponto (0,1,-1) e tem direção do vetor (1, -2, 1) é dada pela equação:

(x,y,z) = (Ponto) + a*(Vetor)

(x,y,z) = (0, 1, -1) + a*(1, -2, 1)

x = a

y = 1 - 2a

z = -1 + a

Substituindo esses valores de x, y e z no plano temos:

2(a) - (1-2a) - 3(-1 + a) - 4 = 0

2a - 1 + 2a + 3 - 3a - 4 = 0

4a - 3a - 5 + 3 = 0

a - 2 = 0

a = 2

Para a = 2:

x = 2

y = -3

z = 1

Logo, o ponto de intersecção da reta com o plano é (2, -3, 1)

Exercício resolvido - Conjuntos

Em um banco, qualquer funcionário da carreira de Auditor é formado em pelo menos um dos cursos: Administração, Ciências Contábeis e Economia.
Um levantamento forneceu as informações de que:

I. 50% dos Auditores são formados em Administração, 60% são formados em Ciências Contábeis e 48% são formados em Economia.

II. 20% dos Auditores são formados em Administração e Ciências Contábeis.

III. 10% dos Auditores são formados em Administração e Economia.

IV. 30% dos Auditores são formados em Ciências Contábeis e Economia.

Escolhendo aleatoriamente um Auditor deste banco, a probabilidade de ele ser formado em pelo menos dois daqueles cursos citados é:

Solução:
Inicialmente, sabemos que um auditor é formado em pelo menos um dos cursos:
Administração
Ciências contábeis
Economia

Então podemos ter:
Formados em Administração apenas: vou chamar esse grupo de A
Formados em Ciências Contábeis apenas: vou chamar esse grupo de CC
Formados em Economia apenas: vou chamar esse grupo de E
Formados em Administração e Ciências Contábeis apenas: vou chamar esse grupo de ACC
Formados em Administração e Economia: vou chamar esse grupo de AE
Formados em Economia e Ciências Contábeis: vou chamar esse grupo de ECC
Formados nos três cursos: vou chamar esse grupo de AECC

Assim, sabemos que:
Total:
(1) A + CC + E + ACC + AE + ECC + AECC = 100%
Formados em administração:
(2) A + ACC + AE + AECC = 50%
Formados em Ciências Contábeis:
(3) CC + ACC + ECC + AECC = 60%
Formados em Economia:
(4) E + AE + ECC + AECC = 48%
Formados em Administração e Ciências Contábeis:
(5) ACC + AECC = 20%
Formados em Administração e Economia:
(6) AE + AECC = 10%
Formados em Ciências Contábeis e Economia:
(7) ECC + AECC = 30%

Queremos saber a porcentagem de formados em pelo menos dois cursos, ou seja:
AE + ACC + ECC + AECC = ???

Das equações (2), (3) e (4), podemos obter valores para A, CC e E:
A = 50 - ACC - AE - AECC
CC = 60 - ACC - ECC - AECC
E = 48 - AE - ECC - AECC

Substituindo esses valores em (1):
(50 - ACC - AE - AECC) + (60 - ACC - ECC - AECC) + (48 - AE - ECC - AECC) + ACC + AE + ECC + AECC = 100
158 - 3AECC - 2ACC - 2AE - 2ECC + ACC + AE + ECC + AECC = 100
58 - 2AECC - ACC - AE - ECC = 0
ACC + AE + ECC + 2AECC = 58

Somando-se as equações (5), (6) e (7) temos:
ACC + AE + ECC + 3AECC = 60

Combinando essas duas equações sublinhadas, percebemos que AECC = 2%
Logo ACC + AE + ECC + AECC = 56%

Assim, escolhendo aleatoriamente um Auditor deste banco, a probabilidade de ele ser formado em pelo menos dois daqueles cursos citados é de 56%.

Exercício resolvido - Análise combinatória

Uma livraria vai doar 15 livros iguais a 4 bibliotecas. Cada uma deve receber ao menos 2 livros. O número de modos que esses livros podem ser repartidos nessa doação é?

Solução:
Temos 4 bibliotecas.
Cada uma deve receber no mínimo 2 livros.
Mas a soma dos livros recebidos deve ser 15, assim:

Sejam as bibliotecas A, B, C e D
A quantidade de livros recebidos por cada uma delas, chamarei de A, B, C e D também.
Assim;
A + B + C + D = 15

Digamos que a gente tenha 15 bolinhas:

o o o o o o o o o o o o o o o

Assim, vou separá-las utilizando três barras, de forma aleatória:

o o | o o o o o o | o o o o o o | o

Como pode ser observado, são 18 símbolos, 3 "|" e 15 "o". Desta forma, basta fazer quantas combinações podemos fazer com estes símbolos:

$$ \frac{18!}{ (15! \times 3!) } \,  = \,  \frac{ 18 \times 17 \times 16 }{ 3 \times 2 \times 1 } \,  = \, 816 $$

Esta seria a resposta se não existisse a condição de que cada biblioteca deve receber pelo menos 2 livros.
Neste caso o exercício pode ser feito considerando-se que cada biblioteca já recebeu seus 2 livros mínimos, assim, restam 7 para serem distribuídos.

Portanto, temos agora:

o o | o o | o o o |

Esta combinação será:

$$ \frac{ 10! }{ (7! \times 3!) } \, = \, \frac{ 10 \times 9 \times 8}{ 3 \times 2 } \, = \, 120 $$

Para provar a resposta, vou colocar abaixo todas as formas de soma possíveis:
2 + 2 + 2 + 9 $ \rightarrow $ 4 formas (Perceba que poderia ser 9 + 2 + 2 + 2 ou, 2 + 9 + 2 + 2 ou, 2 + 2+ 9 + 2, ou seja, são 4 formas de combinar esses números)

2 + 2 + 3 + 8 $ \rightarrow $ 12 formas
2 + 2 + 4 + 7 $ \rightarrow $ 12 formas
2 + 2 + 5 + 6 $ \rightarrow $ 12 formas
2 + 3 + 3 + 7 $ \rightarrow $ 12 formas
2 + 3 + 4 + 6 $ \rightarrow $ 24 formas
2 + 3 + 5 + 5 $ \rightarrow $ 12 formas
2 + 4 + 4 + 5 $ \rightarrow $ 12 formas
3 + 3 + 3 + 6 $ \rightarrow $ 4 formas
3 + 3 + 4 + 5 $ \rightarrow $ 12 formas
3 + 4 + 4 + 4 $ \rightarrow $ 4 formas

Assim, 4 + 12 + 12 + 12 + 12 + 24 + 12 + 12 + 4 + 12 + 4 = 120

Exercício Resolvido - Análise combinatória: Quantos caminhos de comprimento mínimo de A até B

A figura abaixo representa um mapa de uma cidade, na qual há 7 avenidas na direção norte-sul e 6 avenidas na direção leste-oeste.

a) Quantos são os trajetos de comprimento mínimo ligando o ponto A ao ponto B?

b) Quantos desses trajetos passam por C?

Exercício Resolvido - Força e momento resultante. Equilíbrio estático

Uma barra (20 m) de massa 200 kg é apoiada nas suas extremidades por suportes A e B. Uma pessoa começa a andar pela barra. Sabendo que a pessoa possui massa de 55 kg, determine as forças nos suportes A e B para manter a barra em equilíbrio nas seguintes situações:

(a) a pessoa está na extremidade A;
(b) a pessoa está na extremidade B;
(c) a pessoa está no centro da barra;
(d) a pessoa está a 5 m de uma das extremidades.

Solução:

a)

Perceba que neste caso, a pessoas por estar no ponto A, a reação da barra é toda no ponto A, ou seja, devido à pessoa, não há aumento de reação no ponto B.

Devido à barra, por ser supostamente homogênea (estou supondo pois o exercício não fala nada), a reação em cada ponto é igual a 100 Kg, pois ambos estão equidistantes ao centro da barra.

Neste primeiro caso então:

Reação em A: 100 + 55 = 155Kg

Reação em B: 100Kg

Verificando se o momento resultante da barre é nulo:

Momento em relação ao ponto B (poderia ser em relação ao ponto A, ou ao centro, tem que dar zero em relação a qualquer um dos pontos da barra):

55*20 (momento devido à pessoa) - 155*20 (momento devido à reação da barra no ponto A) + 200*10 (momento devido à massa da barra) = 1100 - 3100 + 2000 = 0

b)Não vou colocar o desenho neste caso pois a situação é exatamente a mesma, com a diferença que agora a reação em B passa a ser 155 Kg, e em A permanece sendo 100 Kg.

c)

Vamos agora fazer a análise para descobrir as forças:

Somatório da força resultante deve ser zero:

FA + FB - 200 - 55 = 0

Somatório dos momentos em relação a qualquer ponto deve ser zero (vou fazer em relação a B de novo):

FA*20 - 200*10 - 55*10 = 0

FA*20 = 2000 + 550

FA = 127,5 Kg

Como:

FA + FB - 200 - 55 = 0

127,5 + FB = 255

FB = 127,5 Kg

São iguais, como era de se esperar, já que todos os pesos estão concentrados no meio da barra.

d)

Da mesma forma que foi feito o anterior, devemos ter:

Força resultante igual a zero:

FA + FB - 55 - 200 = 0

FA + FB = 255

Veja também:

Exercício resolvido - IME CG 2009/2010 - Estática

Momento resultante igual a zero (para mudar, vou fazer o momento em elação a A)

55*5 + 200*10 - FB*20 = 0

275 + 2000  = FB*20

FB*20 = 2275

FB = 113,75 Kg

Como:

FA + FB = 255

FA +  113,75  = 255

FA = 141,25 Kg

Exercício Resolvido - Soma dos números positivos múltiplos de 9 menores que 100

Calcule a soma dos números positivos múltiplos de 9 menores que 100.

Solução:

Sabemos que o primeiro termo (a1) é 9 e que esta é a razão também, pois queremos os números múltiplos de 9, ou seja:

9, 18, 27, ...

Como eles devem ser menor que 100, devemos achar o maior número múltiplo de 9 menor que 100, e este número é o 99

Assim, a PA terá 11 termos, pois:

an = a1 + (n-1)*r

99 = 9 + (n-1)*9

90 = 9*(n-1)

n-1 = 10

n = 11

Da fórmula da soma da PA:

S = (a1 + an)*(n/2) 

Assim:

S = (9 + 99)*(11/2) = (108)*(11/2) = 54*11 = 594

Exercícios relacionados:

http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2012/01/progressao-aritmetica-pa.html

Dedução da fórmula de juros composto para parcelas iguais

Dedução passo-a-passo da fórmula de juros composto para dívidas que são pagas em parcelas iguais

Vou fazer um post hoje que é muito útil. Será mostrado aqui como encontrar a fórmula para calcular a taxa de juros de uma dívida que é parcelada e paga em parcelas únicas.

Solução:

Inicialmente, deve-se ter em mente que esse tipo de dívida funciona de seguinte forma:

Imagine alguém que deve R\$ 100,00 a você e vai lhe pagar uma taxa de 10% de juros ao mês. Assim, após 1 mês, ele lhe deve:

R\$ 100,00 + 10%*(R\$ 100,00) = R\$ 100,00 + 0,1*R\$ 100,00 = 1,1*R\$ 100,00 = R\$ 110,00

Agora, digamos que após esse mesmo mês, ele lhe pagou R\$ 15,00. Então agora ele lhe deve:

R\$ 110,00 - R\$ 15,00 = R\$ 95,00

Ou seja, da dívida real reduziu-se R\$ 5,00 apenas.

Passando-se outro mês, a dívida passa a ser:

R\$ 95,00 + 10%*(R\$ 95,00) = R\$ 95,00 + 0,1*R\$ 95,00 = 1,1*R\$ 95,00 = R\$ 104,50

E assim segue.

Da mesma forma funciona qualquer dívida.

Para realizar os cálculos e fazer a demonstração, vou utilizar as seguintes letras:

Taxa de juros mensal em porcentagem = J

Valor da parcela paga a cada mês = P

Valor inicial da dívida = V

Número de parcelas = n

O empréstimo é feito no mês 'zero'.

Assim, após o primeiro mês deve-se o valor da dívida mais o juros:



Mas neste momento, é paga a 1ª parcela, passando a ser o valor da dívida:

Para facilitar a visualização, vou chamar este valor agora de V2, então:

Após 2 meses:

Neste momento, ele novamente vai pagar a parcela, passando a ser sua dívida:

Chamando este valor de V3:

Após 3 meses:



Após isso, claro, será paga uma parcela, passando a ter o valor V4.



É possível perceber uma relação recorrente de Vn:

Onde V1 = V que é o valor inicial da dívida.

Manipulando um pouco a equação geral de recorrência acima, é possível perceber propriedades interessantes. Veja abaixo:



Substituindo:



Usando:



Teremos:



Percebam que os termos que multiplicam o fator P são termos de uma PG onde:



e a razão



Usando a fórmula da soma da PG podemos simplificar a fórmula para:



Aqui fica mais fácil perceber qual deve ser a equação de Vn em função de V, que é o valor inicial da dívida.



Porém, Vn tem que ser nulo, já que queremos que após n meses a dívida esteja totalmente paga. Portanto, basta igualar o resultado obtido acima a zero:



Manipulando temos:



Agora, esta fórmula pode ser manipulada como se desejar.
Exemplo: Caso deseja-se calcular a parcela a ser paga dado que:

Se a taxa de juros for 5% → J = 5
O empréstimo for de R$ 1.000,00 → V = 1000
O tempo para pagar de 10 meses → n = 10

Vamos calcular o valor da parcela:

Isolando P na fórmula acima:



Substituindo os valores



Como

Ou seja, nestas condições, R\$ 129,50 deve ser a parcela. Este não é o valor exato, que é dado por R\$ 129,5046, porém, por ser um valor monetário, só pode ter duas casas após a vírgula. Vaja como ficaria:

Dívida Mês Parcela Após pagar parcela R\$ 1.000,00 0 R\$ 0,00 R\$ 1.000,00 R\$ 1.050,00 1 R\$ 129,50 R\$ 920,50 R$ 966,53 2 R$ 129,50 R$ 837,03 R$ 878,88 3 R$ 129,50 R$ 749,38 R$ 786,85 4 R$ 129,50 R$ 657,35 R$ 690,21 5 R$ 129,50 R$ 560,71 R$ 588,75 6 R$ 129,50 R$ 459,25 R$ 482,21 7 R$ 129,50 R$ 352,71 R$ 370,35 8 R$ 129,50 R$ 240,85 R$ 252,89 9 R$ 129,50 R$ 123,39 R$ 129,56 10 R$ 129,50 R$ 0,06

Perceba que o valor da dívida, após os 10 meses, fica em R\$ 0,06. Ele não zera devido ao resultado não ser exato, já que a parcela deveria ser R\$ 129,504574965...

Limite (de x -> -infinito) de [Raiz(5x² - 2) / (x+3)]

Este exercício tem uma 'pegadinha', que eu mesmo caí.

Nosso leitor que comentou abaixo deste post me orientou do erro, estarei portanto corrigindo com base na solução postada por ele no comentário.

Solução:

Ao observar o exercício, percebemos que para qualquer valor de x < -3, (5x² - 2) / (x+3) é negativo, logo, para x tendendo a menos infinito, o valor tem que ser negativo. Assim, a solução fica:

Exercício Resolvido - Somatório de N² = 1² + 2² + 3² + ... + n² ou ∑(n^2) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2

Ache uma equação para calcular o somatório de N² = 1² + 2² + 3² + ... + n², sendo n um número inteiro.

Solução:

O cálculo de ∑n² pode ser feito de várias formas. Tentarei demonstrar algumas:

1º método:

Sabendo que:

(n+1)³ - n³ = (n³ + 3n² + 3n + 1) - n³ = 3n² + 3n + 1

Assim:

∑[(p+1)³ - p³] = ∑[3p² + 3p + 1]

Mas:

∑[(p+1)³ - p³] = (2³ - 1³) + (3³ - 2³) + ... + [(n+1)³ - n³]

Perceba que o primeiro termo de cada parênteses é cancelado com o segundo do parênteses seguinte, sobrando apenas:

(n+1)³ - 1³

Então:

(n+1)³ - 1 = ∑[3p² + 3p + 1]

Mas:

∑[3p² + 3p + 1] = ∑3p² + ∑3p + ∑1 = 3*∑p² + 3*∑p + (1+1+1+1+1+...+1)

∑p = 1 + 2 + 3 + 4 + .. + n  -> (PA)

∑p = (1+n)*(n/2)

Temos também que:

∑1 = n

Assim:

(n+1)³ - 1 = ∑[3p² + 3p + 1]

(n+1)³ - 1 = 3*∑p² + 3*(1+n)*(n/2) + n

n³ + 3n² + 3n = 3*∑p² + 3n/2 + 3n²/2 + n

3*∑p² = n³ + 3n²/2 + n/2

∑p² = (1/6)*[2n³ + 3n² + n] = (1/6)*n*(n+1)*(2n+1)

2º método:

Usando o triângulo de Pascal:

Imagem retirada do livro Algorithmic Information heory, de G. Chaitin

Como o que queremos é o somatório:

1 + 4 + 9 + 16 + ... + n²

Se observarmos no triângulo acima a terceira coluna, o primeiro termo dela (1), é 1², se somarmos o primeiro ao segundo, temos 1+3 = 4, se somarmos o segundo ao terceiro, temos 3+6 = 9, o terceiro ao quarto 6+10 = 16 ....

Ou seja, a soma dois a dois dos termos da coluna, formam exatamente os termos da sequência que queremos:

Assim:

Ou, agrupado de forma melhor:

Mas, pelo teorema das colunas, que diz que:

Temos:

e

Tendo, por fim:

1² + 2² + 3² + 4² + ... + n² = (1/6)*n*(n+1)*(n-1 + n+2) = (1/6)*n*(n+1)*(2n+1)

3º método:

Digamos que a gente já conheça o resultado, mas desejamos provar que ele vale pelo método da indução finita :

Se n = 1:

1² = (1/6)*1*(1+1)*(2+1) = 1 Ok, é válido

Agora, a gente supõe que para n = k-1, a fórmula também é válida, admitimos então que:

1² + 2² + 3² + ... + (k-1)² = (1/6)*(k-1)*[(k-1)+1]*[2(k-1)+1] = (1/6)*(k-1)*k*(2k-1)

Supondo que a fórmula acima seja correta, devemos provar que vale para n = k também:

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = [(1/6)*(k-1)*k*(2k-1)] + k²

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = [(1/6)*(k²-k)*(2k-1)] + k²

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = [(1/6)*(2k³ - k² - 2k² + k)] + k²

Fazendo o mínimo múltiplo comum, ou seja, transformando k² = (6/6)*k² temos:

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = (1/6)*(2k³ - 3k² + k + 6k²) =

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = (1/6)*(2k³ + 3k² + k)

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = (1/6)*k*(k+1)*(2k+1)

que é a fórmula (1/6)*n*(n+1)*(2n+1) para n = k. Logo, esta provado por indução.