MatLab - Introdução ao MatLab: Definindo variáveis

Definindo variáveis como escalares, vetores e matrizes no MATLAB®

Um dos grandes diferenciais do MATLAB® é a eficiência com a manipulação de variáveis, principalmente com matrizes e vetores. A seguir, serão mostradas as formas de se definir essas variáveis.

Escalares

No exemplo do tópico anterior já foi mostrado como definir uma variável. Basta digitar o nome da variável e igualá-la ao valor desejado.

Exemplo:>> %Definindo escalares A, B e C
>> A = 10;
>> B = 3.1415;
>> C = 5.2375943*10^-5;

Veja o que ocorre ao definir os escalares acima:

MatLab


No caso do MATLAB® não é preciso estabelecer anteriormente o tipo de variável, se é uma string, um inteiro ou um valor real, por exemplo. Automaticamente ele percebe isso na definição da variável. Outra questão importante é que a separação dos valores decimais para os inteiros se dá por ponto e não por vírgula.

Vetores

A definição de vetores ocorre de forma análoga à de escalares, com o diferencial do uso de "[]". Para definir um vetor linha (ou seja, com uma linha e várias colunas) usa-se vírgula ou espaço entre os termos. Se deseja-se definir um vetor coluna (uma coluna e várias linhas) usa-se o ponto-e-vírgula separando os elementos do vetor.

Exemplo:
>> %Definindo vetores A, B e C
>> A = [1,2,3,4,5,6];
>> B = [1 2 3 4 5 6];
>> C = [1;2;3;4;5;6];


Definindo Vetores MATLAB


Além disso, existe uma forma de se definir um vetor desde que os termos tenham uma diferença entre eles constante. Veja o exemplo a seguir:

Exemplo:
>> %Definindo vetores A, B e C
>> A = 1:0.5:6;
>> B = 1:1:6;
>> C = 1:0.25:3;

O que foi feita anteriormente é o mesmo que:

>> A = [1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6];
>> B = [1,2,3,4,5,6];
>> C = [1,1.25,1.5,1.75,2,2.25,2.5,2.75,3];

Com este recurso os vetores formados são todos vetores linha.

Matrizes

As matrizes são definidas com elementos preenchendo suas linhas e colunas. A definição de uma matriz ocorre linha por linha, separando cada linha por ponto-e-vírgula.

Exemplo:
>> %Definindo Matriz M
>> M = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

A matriz M é uma matriz 3x3 que tem na primeira linha os termos 1 2 3, na segunda linha 4 5 6 e na terceira linha 7 8 9.



MatLab - Introdução ao MatLab: Janelas

Introdução ao MATLAB® para iniciantes

A popularidade do MATLAB® tem crescido muito nos últimos anos. Seu uso na engenharia tornou-se bastante comum devido ao seu alto desempenho para trabalhar com matrizes o operações matriciais. Este post tratará de alguns conceitos iniciais do programa, para familiarização de usuários iniciantes.

Janelas de trabalho do MATLAB®

O layout do  MATLAB® apresenta basicamente 4 janelas principais:



Comand Window: Neste espaço é possível digitar os códigos que se deseja, definindo variáveis, plotando gráficos, chamando funções etc. É aqui também que são mostradas as mensagens de erros.

Exemplo:
>> %Definindo um valor para A
>> A = 10;

A primeira linha, em verde e iniciada por % é um comentário. No MatLab os comentários são identificados pelo % no início. Ao digitar o estabelecido no Exemplo, automaticamente a variável A assumirá o valor igual a 10. Na janela Workspace aparecerá a variável definida e no Command History vai ficar registrado o que foi feito no Workspace. Para repetir os comandos registrados no Command History basta ir apertando no botão  do teclado.

Janelas do MatLab


Workspace: Esta é a janela que exibe todas as variáveis existentes e definidas.

Command History: Janela onde fica registrado aquilo que foi digitado no Workspace em blocos separados por data.

Current Folder: Mostra os arquivos da pasta na qual o MatLab esta direcionado. Para mudar a pasta do Current Folder basta selecionar uma outra pasta na toolbar superior. No caso das figuras anteriores, a pasta aberta é C:/Users/Documents/MATLAB e como pode ser visto na Janela Current Folder não há nenhum arquivo nesta pasta.

Alguns comandos iniciais podem ser muito úteis.

clc: Ao digitar clc no Workspace toda a janela ficará limpa. Este comando limpa apenas o Workspace não alterando qualquer dado existente nas outras janelas.

clear: o comando clear serve para limpar as variáveis existentes. Para limpar todas deve-se digitar clear all, caso deseja-se limpar uma variável em específico, por exemplo a variável A, deve-se digitar clear A. Para limpar especificamente as variáveis A, B, C, digita-se clear A B C.



Espaço Vetorial: Dimensão e Mudança de base

Definição de dimensão e mudança de base

Nesta publicação será falado sobre:
  • Dimensão e;
  • Mudança de base.

Dimensão

A dimensão de um espaço vetorial finitamente gerado é o número de vetores que compõem as bases de um espaço vetorial. Em complemento a isto, existe o Teorema de Invariância que citaremos a seguir:

TEOREMA DA INVARIÂNCIA: Dado um espaço vetorial finitamente gerado E. Então qualquer base deste espaço tem o mesmo número de vetores.


Com o Teorema da Invariância, estabelecemos que dado um espaço vetorial (ou um sub-espaço vetorial) toda e qualquer base deste espaço possui o mesmo número de vetores. Este número chamamos de Dimensão do espaço vetorial.

Alguns exemplos:
  • O espaço tridimensional (R³) tem dimensão 3;
  • O espaço dos polinômios de grau n tem dimensão n+1;
  • O espaço das matrizes de dimensão li x col tem dimensão li*col.

Mudança de base

Seja E um espaço vetorial de dimensão n que tenha A = {a1, a2, ..., an} e B = {b1, b2, ..., bn} como bases diferentes. Então, existe uma única família de escalares αij que possibilite a seguinte combinação linear:



PROVA DE QUE A FAMÍLIA DE ESCALARES É ÚNICA:
Supondo que não seja única, então existe uma família αij e uma família βij. Assim:


Porém, como B é uma base, então os vetores b1, b2, ... são Linearmente Independentes (Veja), logo:


A matriz formada pelos escalares αij é chamada de matriz de mudança de base, que transforma um vetor escrito na base B para a base A.


Sejam as bases A e B formadas pelos vetores





Assim temos:



De:



Temos:



De onde tiramos que:


De forma análoga temos:


Formando a matriz de transformação do sistema B no sistema A:

Mudança de base

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.





Exercício Resolvido - Resistência Equivalente Circuito 1

Calcule a resistência equivalente da associação mista de resistores entre os pontos A e B no circuito abaixo:

Circuito 1

Associação Mista

Solução:

Neste exercício existe uma associação mista de resistores pois há associação em paralelo e em série.

Os resistores de 1,2 Ω e 6 Ω estão em paralelo, enquanto que os de 5 Ω e 7 Ω e os de 4 Ω e 8 Ω estão em série.

A solução deste tipo de exercício deve ser feita passo a passo, calculando as resistências equivalentes de cada associação, uma por vez e no fim, o resultado será obtido naturalmente.

Cálculo da associação paralela entre os resistores de 1,2 Ω e 6 Ω

O cálculo da resistência equivalente de uma associação em paralelo é obtida usando a seguinte fórmula:

Resistência em paralelo

Onde Req é a resistência equivalente da associação de resistores, R1 neste caso vale 1,2 Ω e R2 vale 6 Ω. Substituindo os valores temos:

Associação paralela

Assim, como 1/Req = 1 Ω, então Req = 1 Ω. Logo, a associação de resistores da figura é equivalente a:

Calculando Resistores

Cálculo da associação em série entre os resistores de 5 Ω e 7 Ω e os de 4 Ω e 8 Ω

O cálculo da associação de resistores em série é mais simples pois basta somar as resistências. No caso, a resistência equivalente da associação em série entre 5 Ω e 7 Ω será 12 Ω e entre 4 Ω e 8 Ω será 12 Ω também. Assim, o circuito fica:


Associação mista de resistores

Cálculo da associação paralela entre os dois resistores de 12 Ω

Veja que as resistência de 12 Ω ficaram em paralelo. Usando a fórmula para o cálculo da Req para associação em paralelo temos:

associação em paralelo

Assim, como 1/Req = 1/6, então Req = 6 Ω.

Cálculo da resistência equivalente de todo o circuito

 Após o último cálculo, temos que o circuito fica:


Associação em série de resistores

As duas resistências restantes estão em série, logo a Resistência Equivalente do circuito será de 7 Ω.

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Exercício Resolvido - Maximização de volume: Multiplicadores de Lagrange

Cálculo do máximo e do mínimo volume de uma caixa utilizando multiplicadores de Lagrange

Calcule o maior e o menor volume de uma caixa retangular cuja área deve ser de 1500 cm² e a soma das arestas 200 cm.

Solução:

Como se trata de um exercício de obtenção do máximo e do mínimo de uma função segundo algumas condições, o uso da teoria de multiplicadores de Lagrange se torna adequado.

Neste caso, teremos uma equação a ser maximizada e minimizada que é o volume. Chamando de a, b e c as arestas da caixa temos:


As condições que devemos obedecer são:

Condição de aresta:


Condição de área:


Com isso podemos construir a função de Lagrange:


Assim, as soluções que maximizam e minimizam o volume segundo as condições de área e de aresta são dadas pela solução do seguinte sistema:



Disso, temos que:

Da primeira equação:


Da segunda equação:


Aqui já podemos concluir que a = b

Veja também:
Exercício Resolvido - Multiplicadores de Lagrange

Utilizando este resultado nas duas últimas equações temos:

c = 50 - 2a
a² + 2ac = 750

Substituindo:

a² + 2a*(50 - 2a) = 750
3a² - 100a + 750 = 0

Neste último caso, temos uma equação do segundo grau em a, que tem como raízes:


Assim, como b = a e c = 50 - 2a temos os valores das arestas:


Portanto:


Perceba que a terceira equação não foi utilizada, nem mesmo a relação de a e b com os multiplicadores de Lagrange λ e λ de onde concluímos que a = b. O uso destas equações iria nos fornecer os valores dos multiplicadores, o que não nos interessa a não ser que seja necessário. Como não foi, não calculá-los, simplifica bastante o problema.

Abaixo, veja o gráfico tridimensional de: Volume x a x b onde c foi substituído por c = 50 - a - b.
Em azul, a linha que estabelece a condição de área (ab + ac + bc = 750) e em verde, os pontos onde a área é máxima e mínima segundo as condições impostas:


Máximo e Mínimo

Veja apenas a curva em azul e os pontos:

Máximo e Mínimo