Função descontínua

Gráfico de f(x) = 1 para x diferente de 3.

Exercício resolvido - Conjuntos

Em uma turma de 100 alunos, 63 sabem escrever apenas com a mão direita, 5 não sabem escrever, 25% dos alunos restantes sabem escrever tanto com a mão direita quanto com a esquerda, e os demais alunos sabem escrever apenas com a mão esquerda. Dessa turma, a porcentagem de alunos que sabe escrever com apenas uma das duas mãos é de ?

Solução:

Chamarei de U o universo total de alunos, ou seja, U = 100

AD = Apenas com a mão direita;

NE = Não sabem escrever;

ED = Sabem escrever com a mão esquerda e direita;

AE = Apenas esquerda.

Dados do exercício:

AD = 63

NE = 5

Como o total de alunos é 100, temos que os alunos restante, na qual o exercício se refere são:

100 - 63 - 5 = 32

25% de 32 são 8, os que escrevem tanto com a mão esquerda quanto com a mão direita.

Então ED = 8

Os demais alunos são 32 - 8 = 24

Logo AE = 24

Os alunos que escrevem com apenas uma das mãos são os que escrevem com apenas a mão esquerda (AE) e apenas a mão direita (AD), 63 + 24 = 87.

Como o total de alunos é 100, 87 significa 87% dos alunos

Logo, a resposta é 87%

Exercício Resolvido - Área de triângulo usando integral

Dado o triângulo formado pelos pontos (0,5) , (2,-2) e (5,1), calcule sua área, utilizando integral.

Solução:

Para realizar este tipo de cálculo é muito interessante desenhar o triângulo e encontrar as equações das retas que formam os lados:

A reta vermelha é descrita pela equação:
x - y = 4
A reta verde é descrita pela equação:
2y + 7x = 10
A reta azul é descrita pela equação:
5y + 4x = 25.

Seria interessante para facilitar esta conta fazer uma substituição de variáveis:
u = x - y
v = 2y + 7x
Com isso:
x = u + y
    x = (v - 2y)/7

u + y = (v - 2y)/7
7u + 7y = v - 2y
9y = v - 7u
x = u + (v - 7u)/9
x = u + v/9 - 7u/9
9x = (2u + v)


Assim, as retas ficam:
u = 4
v = 10
5*(v - 7u)/9 + 4*(2u + v)/9 = 25
5v/9 - 35u/9 + 8u/9 + 4v/9 = 25
v - 3u = 25


O jacobiano desta transformação é dado por:
u = x - y
v = 7x + 2y

Agora é como se os eixos fossem alterados. Agora nossos eixos básicos são u e v. Porém há uma distorção nesta mudança, que é corrigida pelo inverso do jacobiano.
Com esta alteração é como se tivéssemos:

Desta forma, é muito mais simples definirmos os limites da integral dupla:
-5 < u < 4
10 < v < 3u + 25
Porém, parte do triângulo esta com x < 0. Para tornar exata esta área, devemos deslocar o triângulo para a direita, tornando-o totalmente positivo. Esta mudança não altera em nada o jacobiano, apenas os limites de integração.

Onde a mudança agora é: w = u+5.
Assim:
0 < w < 9
10 < v < 3w +10

Sendo assim:

Exercício Resolvido - Logaritmo

Quanto vale o logaritmo de 125 na base 25 ?

Solução:

Exercício Resolvido - Número de diagonais de um polígono

Os ângulo externos de um polígono medem 20°, então o número de diagonais desse polígono é?

Solução:

Como propriedade dos polígonos temos:
Soma dos ângulos externos é sempre 360° e o número de diagonais de um polígono é dado por:

Assim, o ângulo externo dos polígonos mede 360°/n. Neste caso, 360°/n = 20°. Temos que n = 18.

Ou seja, é um polígono de 18 lados.
desta forma, d = 18(18 - 3)/2 = 9*15 = 135 diagonais.

Exercício Resolvido - Polígono

Qual é o polígono regular cuja soma dos seus ângulos internos é o triplo da soma dos ângulos externos?

Solução:
Propriedades de polígonos:
A soma dos ângulos externos de um polígono será sempre 360° e a soma dos ângulo internos de um polígono de n lados, será sempre (n-2)*180°
Assim, queremos que (n-2)*180° = 3*360°
Dividindo os dois lados por 180°:

n-2 = 3*2
n-2 = 6
n = 8

Portanto o polígono procurado é um OCTÓGONO, com 8 lados.

Desafio Brawn

- A idade da minha mãe subtraída da do meu pai, é o quádruplo da minha idade.

- A idade de minha mãe dividida por 7 é igual à idade do meu pai dividida por 8.

Se minha mãe tem 21 anos, onde está meu pai?

Exercício Resolvido - Derivada

Qual a derivada em relação a 't' da função:

Solução:

Assim, derivando temos:

Mas:

Assim:

Porém, das propriedades exponenciais e logarítmicas, temos:

Logo:

Exercício Resolvido - Cálculo de área entre as curvas

Quanto vale a área formada pelas curvas y = x, y = x/4 e y = 1/x, para x > 0 ?

Solução:
É muito interessante que seja feito o desenho destes gráficos para melhor entendimento. Como deseja-se para x > 0, temos:

Inicialmente, devemos calcular os pontos em que a curva y = 1/x corta as retas.

Ponto em que corta y = x:
neste ponto, y = 1/y (pois y = x). São dois os pontos, x = y = 1 e x = y = -1 (1,1) e (-1,-1). O primeiro é que é válido já que queremos x > 0.

Ponto em que corta y = x/4

neste ponto, x/4 = 1/x, x² = 4, logo x = 2 e x = -2. Como queremos x > 0, y = 1/2, ponto (2, 1/2).

Agora, para calcular a área desejada, vamos dividi-la em duas, conforme pode ser visto na figura a seguir:



Inicialmente calculamos a área do triângulo (0,0) , (1,1) , (1, 1/4) que vale 3/8. Para calcular esta área basta considerar a base como sendo a linha que une os pontos (1,1/4) e (1,1), que mede b = 3/4. Neste caso a altura do triângulo será de h = 1. Assim:
A1 = b*h/2 = 3/8

Agora, nos resta calcular a área limitada pela curva y = 1/x e as retas y = x/4 e x = 1, em amarelo.

Para isso, vou calcular a área abaixo da curva y = 1/x para o intervalo 1 < x < 2.

E agora basta subtrair o valor da área do trapézio formado pelos pontos:
(1, 1/4) , (2, 0.5) , (1,0) e (2,0), que vale: 3/8

Logo, a área total é:

3/8 + ln[2] - 3/8 = ln[2]

Exercício Resolvido - Análise de conjuntos

Mostre que não existe número racional tal que x²=2.

Solução:

Percebam: de fato não existe número racional tal que x² = 2, pois para isso, x = √2 ou -√2, ambos irracionais. Porém, por existir real que satisfaz x² = 2, este valor de x só pode ser irracional, já que os conjuntos dos irracionais e dos racionais são disjuntos, ou seja, um elemento de qualquer um deles, não pertence ao outro.

Porém, provando de forma analítica por absurdo, temos:

Supondo que x seja racional.

Obs.: todo número racional pode ser escrito como divisão de dois números inteiros primos entre si.

Então, se x é racional, existem valores inteiros p e q, primos entre si (ou seja, não possuem divisor comum diferente de 1) tais que:

x = p/q

Assim:

x² = (p/q)² = 2

logo:

p² = 2*q²

O que garante que p² é um número par. Porém, como p e q são inteiros, se p² é um número par, certamente p também o é, pois todo quadrado perfeito que é par tem como raiz quadrada um número par.

Assim, p = 2*r, sendo r um número inteiro pois p é par e inteiro. Logo, p² = 4*r².

Então:

x² = (p/q)² = (2r/q)² = 2

Logo:

2*q² = 4*r²

q² = 2*r²

O que garante que q² é par, e pela mesma lógica acima, se q² é par, então q é par. Assim, temos que tanto p quanto q são pares, e portanto não são primos entre si, como admitido inicialmente. Logo, isso nos leva a concluir que nossa afirmação inicial é absurda, e a nossa afirmação inicial foi de que x era racional.

Ou seja, não existe x racional tal que x² = 2.

Exercício Resolvido - Área de uma pirâmide regular

Seja uma pirâmide regular com base em forma de um quadrado de lado L e a altura da pirâmide é H. Qual a área lateral desta pirâmide?

Solução:
Por ser regular, sabemos que as laterais da pirâmide são triângulos iguais.

Seja L o valor do lado do quadrado da base, L² é sua área.
Além disso, L é a base dos triângulos, então só nos falta a altura deles o que podemos obter com a altura da pirâmide.

Seja H a altura da pirâmide. Observando uma pirâmide desse tipo é possível constatar que:

H² + [L/2]² = h², onde h é a altura do triângulo.

Assim, L² (área da base da pirâmide) + 4*(L*h/2) (área dos lados da pirâmide) é a área total dela.

Exercício Resolvido - Divisão de polinômios

Calcule 'p' e 'q' de modo que o polinômio x³ + 2x³ + px + q seja divisivel por x² - 1

Solução:
Se é divisível, o resto da divisão é nulo.

Divisão de polinômios:

Para ser divisível, temos que:
(x³ + 2x² + px + q) / (x² - 1) + Resto = P(x), onde P(x) é o polinômio resultante da divisão e para er divisível o Resto deve ser zero. Assim, (x² - 1)*P(x) = (x³ + 2x² + px + q).

Como x² - 1 tem grau 2 e (x³ + 2x² + px + q) tem grau 3, P(x) obrigatoriamente, deve ter grau 1, logo, P(x) deve ser do tipo = ax + b

Logo:
(x² - 1)*P(x) = (x² - 1)*(ax + b) = ax³ + bx² - ax - b = x³ + 2x² + px + q

Assim:
a = 1
b = 2
-a = p
-b = q

p = -1 e q = -2

Por que no sistema trifasico nao possui neutro e no sistema monofasico possui o neutro ?

Imagine uma pedra no centro de um disco. Nesta pedra você amarra três fios, cada um defasado 120º um do outro esticados na direção radial do disco. Agora, digamos que cada um desses fios exerça uma força de 127 N sobre a pedra.

Se utilizarmos apenas um dos fios, a pedra vai se deslocar na direção deste fio, pois é a única força que age nela, força esta de 127N. Este caso seria uma fase com um neutro. Como a tensão de um neutro é nula, essa representação fica bem clara.

Se utilizarmos 2 desses fios para puxar a pedra, haverá uma força resultante desses dois fios, força esta que terá resultante na direção de 60º entre cada um dos fios, ou seja, na bissetriz.

Esta força resultante é a soma vetorial das duas forças de 127N defasadas de 120º, que será igual a 127N * Raiz(3) = 127 * 1,732 = 220N.

Desta forma, temos os 220 V quando pegamos duas fases de 127 V (e não 254 V). A tensão não é uma grandeza vetorial, mas quando ela é alternada, pode ser muito bem representada como se fosse vetorial.

Em sistemas trifásicos, utilizamos os três fios amarrados na pedra, porém com ligações distintas, chamadas de estrela e triângulo.

Quando em triângulo (Que nada mais é do que três bobinas ligadas formando um triângulo), colocamos cada uma das três fases em um dos vértices do tiângulo. Assim, cada bobina estará submetida a uma tensão de duas fases, ou seja, bivolt, mas o sistema como um todo, com as três fases. Neste caso não tem sentido utilizarmos o neutro, pois se em uma das pontas do triângulo no lugar da fase entrasse um neutro, o sistema ficaria desequilibrado.

O sistema estrela são três bobinas também, porém ligadas na forma de um Y. Cada uma das fases é ligada em uma das pontas do Y. Da mesma forma, se fosse colocado um neutro, o sistema ficaria desequilibrado.

Porém, três fases 127 não significa que temos 360V. Na verdade não temos. Pense no exemplo das forças, agindo no triângulo por exemplo. 127N puxando cada uma das pontas do triângulo, porém cada força com defasagem de 120º. Na verdade o triângulo como um todo não se move, mas cada uma de sus arestas tem uma tensão.

Exercícios relacionados:

http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2012/01/eletrostatica.html