Qual o próximo número da sequência?

  19:15   No comments   Edit
Eis os números:
1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, ...

Qual o próximo número da sequência?

Resposta:
Questões de sequência são muito complicadas pois admitem qualquer resposta. Veja só:
1, 2, 3 ...
Qual o próximo número da sequência?
Claro, a grande maioria vai responder '4', pois intuitivamente, esta sequência nos leva a isso, porém se alguém falar que é 19, também está certo, pois para qualquer sequência de números, existe uma infinidade de polinômios que passa pelos pontos.

No exemplo dado:
p(x) = 2,5x³ - 15x² + 28,5x - 15
p(1) = 1
p(2) = 2
p(3) = 3
p(4) = 19

Satisfazendo a sequência 1, 2, 3, 19

No exercício que estamos estudando, assim como temos, intuitivamente, a vontade de colocar 4 na sequência 1, 2, 3... a sequência 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221 o número que falta é 1113213211, pois esta sequência relata o número anterior dizendo quantas vezes cada número se repete.

1
11 -> Quer dizer que no número anterior tem '1' número '1'.
21 -> Quer dizer que no número anterior temos '2' números '1'
1211 -> Quer dizer que no número anterior temos '1' número '2' e '1' número '1'
111221 -> '1' número '1', depois '1' número '2' e depois '2' números '1' juntos
312211 -> '3' números '1' juntos, depois '2' números '2' e depois '1' número '1'
13112221 -> '1' número '3', '1' número '1', '2' números '2' e '2' números '1'.

e assim por diante.

Logo, o número que falta na sequência é:
1113213211


Exercício Resolvido - Máquina térmica

  16:54      No comments   Edit
Um motor a gasolina realiza 4200 J de trabalho a cada ciclo sendo sua eficiência de 32%. Calcule o calor fornecido para a máquina em cada ciclo e o calor rejeitado pelo motor.

Solução:

Como 4200 J representam 32% da energia, com uma regra de três:

32% ----- 4200 J
100% --- x J

x = 13.125 J é o calor fornecido

Assim, 13.125 - 4200 = 8.925 J é o calor rejeitado.


Exercício Resolvido - Força resultante

  16:28   ,   No comments   Edit
Um objeto cuja massa é de 5,00 kg é submetido a uma força que o impulsiona para cima. A única outra força agindo no objeto é a força da gravidade. A aceleração líquida do objeto é para cima com uma magnitude de 5,68 m/s². A aceleração da gravidade é de 9,81 m/s². Determine a magnitude da força que impulsiona o corpo para cima, em N. 

Solução:

Neste caso, como a aceleração da gravidade é vencida e além disso, tem uma aceleração resultante de 5,68m/s² para cima, temos que a força aplicada é de:

F = (9,81 + 5,68) * 5 = 77,45N


Exercício Resolvido - Método numérico para achar raiz de polinômio

  16:12   No comments   Edit
Utilizando os teoremas e métodos numéricos, encontrar intervalos onde estão as raízes do polinômio:
p(x) = 2x³ - 3x² + 4x - 2

Solução:

Regra de Descartes:
O número de raízes reais positivas de um polinômio p(x) com coeficientes reais nunca é maior que o número de trocas de sinal na sequência de seus coeficientes não nulos. Se for menor, será sempre menor de um número par.

Trocas de sinal:
2 -3 4 -2 -> três trocas de sinal. Ou seja, existem 3 raízes reais positivas ou 1.

Para estimar o número de raízes reais negativas, utilizamos o polinômio p(-x), já que as raízes positivas de  p(-x) são as negativas de p(x)

p(-x) = -2x³ - 3x² - 4x - 2
Nenhuma troca de sinal. Ou seja, não há raízes reais negativas no polínômio.

Regra de Huat:
Se p(0) ≠ 0 e para algum k, 0<k<n, tivermos (ak)² ≤ (ak-1).(ak+1), então p(x) terá raízes complexas.

Neste caso:
p(0) = -2 ≠ 0
a0 = 2
a1 = -3
a2 = 4
a3 = -2

(-3)² = 9 > 2*4
(4²) = 16 > 6

Nada podemos dizer ao utilizar esta regra.

Localização das raízes reais:
Cota de Laguerre-Thibault: 
Dado o polinômio p(x) de coeficientes reais, calcule a divisão de p(x) por x-1, x-2, x-3, ..., x-m, até que o quociente q(x) tenha todos os coeficientes positivos ou nulos, e resto R > 0. Esse m > 0 é uma cota superior das raízes reais de p(x). Uma cota inferior n < 0 pode ser calculada de modo semelhante, multiplicando-se p(-x) por -1 e seguindo o mesmo procedimento

Dividindo p(x) = 2x³ - 3x² + 4x - 2 por (x-1) temos:
(x-1)*(2x² - x + 3) + 1  = 2x³ - 3x² + 4x - 2 (-x, temos um coeficiente negativo)
(x-2)*(2x² +x + 6) + 10 = 2x³ - 3x² + 4x - 2 (todos coeficientes positivos, até mesmo o resto)

Logo, 2 é um cota superior das raízes reais.
Como a (s) raíz (es) real (is) é (são) positiva(s), temos que ela(s) está (ão) entre 0 e 2.

Teorema de Budan: 
Seja p(k)(c) o valor da k-ésima derivada do polinômio p(x) calculada para x = c. Seja Vc o número de variações de sinal na sequência p(c), p’(c), p’’(c), ..., p(n)(c), onde n é o grau de p(x). Então, o número de raízes de p(x) no intervalo (a,b) é igual ou menor que |Va - Vb|. Se for menor, será por um número par.

p(x) = 2x³ - 3x² + 4x - 2
p'(x) = 6x² - 6x + 4
p''(x) = 12x - 6
p'''(x) = 12

Para x = 0                                                             Para x = 1
p(x) = -2                                                               p(x) = 1
p'(x) = 4                                                                p'(x) = 4
p''(x) = -6                                                              p''(x) = 6
p'''(x) = 12                                                             p'''(x) = 12
V0 = 3, pois são 3 as variações de sinal.                V1 = 0, pois não há variações de sinal

Para x = 2 teremos V2 = 0 também

Assim, a(s) raiz(es) está(ão) no intervalo (0,1)

Podemos dividir este intervalo no meio, ou seja, pegar para x = 1/2
p(x) = -0,5
p'(x) = 2,5
p''(x) = 0
p'''(x) = 12

o Teorema não fala nada sobre o zero. Mas em p''(x) = 12x - 6, podemos perceber que fazendo o limite para x tendendo a 1/2 pela esquerda, p''(x) < 0, caso contrário, p''(x)>0. Com isso sabemos que no intervalo [0, 0,5) não existem raízes, pois são 3 as variações de sinal. Logo a(s) raiz(es) está(ão) no intervalo [0,5 , 1].

E neste intervalo tem apenas uma raiz real, pois como vimos, para x imediatamente maior que 1/2, temos apenas 1 variação de sinal, e em x = 1 não temos nenhuma. Logo, há apenas 1 raiz. As outras duas são complexas.

Esta subdivisão do conjunto pode continuar até se chegar a um valor tão próximo da raiz quanto se queira. Mas seria interessante fazer um programa pra isso, pois pode dar muito trabalho.

Gráfico do polinômio:

A raiz exata é 0,694146.


Exercícios resolvido - MRU

  23:20   No comments   Edit
Uma partícula percorre, em movimento uniforme, uma trajetória não retilínea. Em cada instante é possível afirmar que:

a) Os vetores velocidade a aceleração são paralelos entre si;

b) A velocidade vetorial é nula;

c) Os vetores velocidade e aceleração são perpendiculares entre si;

d) Os vetores velocidade e aceleração têm direções independentes;

e)O valor do ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração muda de ponto para ponto.

Solução:

Se o movimento é uniforme, a aceleração é nula. Por definição, todo vetor nulo é perpendicular a qualquer outro vetor. Assim, a letra c) é a resposta correta.


Veja também: Exercício Resolvido - MRU e MRUV, Mosca e trem


Exercício Resolvido - Lançamento oblíquo

  23:18   No comments   Edit
Um projétil é lançado a 30° com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o valor da sua velocidade é 200 m/s. Nestas condições, a componente horizontal da velocidade inicial é:

a) 0 m/s
b) 200*cos(30°)
c) 200*sen(30°)
d) 200/cos(30°)
e) 200 m/s

Solução:

No ponto mais alto, a velocidade vertical é nula existindo apenas a velocidade horizontal, que é a mesma sempre, já que não tem força atuando nela. Se neste ponto a velocidade é 200m/s, significa que a velocidade horizontal sempre foi e sempre será 200m/s. Letra e)

Exercícios relacionados:


Exercício Resolvido - Lançamento vertical

  23:16   No comments   Edit
Um projétil é lançado horizontalmente do cimo de um telhado, ao mesmo tempo que um corpo é deixado cair do mesmo local. Qual a hipótese verdadeira, considerando que não há atrito do ar?

a. O projétil chega primeiro ao chão porque tem velocidade inicial.
b. O corpo teria de ser mais leve que o projétil para chegar ao mesmo tempo ao chão.
c. O projétil chega ao chão ao mesmo tempo que o corpo.
d. Teríamos de saber a massa de ambos e a velocidade inicial do projétil para responder à questão.
e. O corpo chega primeiro ao chão porque tem uma trajetória retilínea e o projétil tem uma trajetória parabólica.

Solução:

Independentemente da trajetória horizontal, ambos têm mesma influência da gravidade no sentido vertical. Como são atraídos pela Terra com aceleração aproximada de 10m/s², ele chegam juntos ao solo.
Letra c)


Exercício Resolvido - Velocidade vetorial

  23:14   No comments   Edit
Um barco pretende atravessar um rio, de tal forma que vá numa direção perpendicular às margens. O valor máximo da sua velocidade, em relação à água, é 10 km/h. Qual a hipótese verdadeira?

a) Se a correnteza é para cima, de valor 10 km/h, o barco nunca irá conseguir realizar o percurso.
b) Se a correnteza é para cima, de valor 5 km/h, o barco terá de se orientar na mesma direção da correnteza para conseguir realizar o percurso.
c) Se a correnteza é para cima, de valor 5 km/h, o barco terá de se orientar na direção oposta da correnteza para conseguir realizar o percurso.
d) Se a correnteza é para cima, de valor 5 km/h, o barco terá de se orientar na diagonal, com um ângulo de 60° em relação ao sentido da correnteza, para conseguir realizar o percurso.
e) Se a correnteza é para cima, de valor 5 km/h, o barco terá de se orientar na diagonal, com um ângulo de 150° em relação ao sentido da correnteza, para conseguir realizar o percurso. 

Solução:

Importante perceber que pelas alternativas, este exercício é teórico. Assim, não há a necessidade de fazer cálculos, mas sim apenas uma análise.

Farei a análise de cada uma das alternativas:
a) Esta alternativa é verdadeira pois se a velocidade da correnteza é de 10 km/h pra cima, como deseja-se que o barco se desloque perpendicularmente às margens, então a componente de velocidade do barco para baixo deve ser de 10 km/h, para anular a correnteza. Porém, só com esta velocidade o barco já esta a 10 km/h com relação à água (no limite). Assim, se ele deseja se deslocar de uma margem a outra, ele não pode, pois qualquer velocidade que ele adote na direção das margens já fará com que a velocidade do barco em relação às águas seja maior que 10 km/h.

b) Falsa, pois se o barco se orientar para cima ou para baixo, significa que ele não tem nenhuma velocidade na direção das margens, logo ele não irá se deslocar nesta direção.

c) Falsa. O barco não deve se deslocar na direção oposta à corrente, ele precisa ter uma componente de sua velocidade sendo oposta à correnteza, mas outra componente deve ser na direção das margens. Com isso ele não poderá se orientar na direção da correnteza ou oposta a ela.

d) O módulo da velocidade do barco em relação à água é calculado por:
|V| = √(Vx²+Vy²)
Mas o exercício fala que |V| pode ser, no máximo, 10 km/h. Adotando como sendo Vy a velocidade na direção cima-baixo, e Vx na direção das margens, então neste caso Vy = 5 km/h. Assim:
10 = √(Vx² + 25)
Vx = 5√3 km/h

O ângulo β da figura vale 120° e não 60°. Portanto, esta alternativa é falsa também.

Obs.:Na figura acima, em vermelho é a velocidade do barco em relação à água. É nesta direção que o nariz do barco esta apontado. Ele não se desloca neste direção em relação ao solo, pois o solo esta parado. Em relação ao solo (margens) ele se desloca conforme o vetor horizontal, a uma velocidade de 5√3 km/h.

e) A condição é a mesma da alternativa d), portanto esta incorreta também, pois o ângulo de inclinação do barco deve ser de 120°.


Exercício Resolvido - Análise de vetores

  21:43   No comments   Edit
Sejam u, v, w vetores no plano, tais que:
|u| = |v| = |u + v| = 1
<u, w> = <v, w>

a) prove que o ângulo entre u e v é de 120°.
b) prove que existe uma constante C, tal que w = C*(v + u)

Solução:

a) Como os vetores estão no plano, eles possuem apenas duas dimensões. Assim, vou adotar como u = (a,b) e v = (c,d).

Sei que |u| = 1, logo, √(a² + b²) = 1, ou seja, a² + b² = 1.
De |v| = 1, temos também que c² + d² = 1

Por serem u e v vetores unitários, temos que:
a = Sen(t) e
b = Cos(t)

Onde t é o ângulo que o vetor forma com o eixo horizontal (eixo x)

c = Sen(k) e
d = Cos(k)

Onde k é o ângulo que o vetor forma com o eixo horizontal (eixo x)
Assim:
u = (Sen t, Cos t)
v = (Sen k, Cos k)

Temos ainda que:
|u + v| = 1

|(Sen t + Sen k, Cos t + Cos k)| = √[(Sen t + Sen k)² + (Cos t + Cos k)²] =
√[Sen² t + Sen² k + 2(Sen t) (Sen k) + Cos² t + Cos² k + 2(Cos t) (Cos k)] = 1

Elevando ao quadrado dos dois lados e sabendo que Sen² t + Cos² t = 1 e Sen² k + Cos² k = 1:
2 + 2(Sen t) (Sen k) + 2(Cos t) (Cos k) = 1
2[(Sen t)(Sen k) + (Cos t)(Cos k)] = -1

Das propriedades trigonométricas, (Sen t)(Sen k) + (Cos t)(Cos k) = Cos(k - t)

Cos(k - t) = -1/2

Assim, k-t = 120° ou k-t = 240°

Porém, quando tratamos de vetores no plano, o ângulo entre eles sempre estará no intervalo [0, π] pois sempre toma-se o menor ângulo entre eles.

Assim, como os ângulos são 120° ou 240°, temos que, se for 120°, este é o menor ângulo entre os vetores e se for 240°, 120° é o menor ângulo entre eles.

Desta forma, a) está resolvida.

b)
De <u, w> = <v, w> temos que:
<u,w> - <v,w> = 0
<u-v,w> = 0

Como u é diferente de v, u-v é diferente de zero, logo w é ortogonal a u-v, ainda:

<(u+v) , (u-v)> = <u, (u-v)> + <v, (u-v)> = <u,u> - <u,v> + <v,u> - <v,v> = 0, pois <u,u> = <v,v> = 1 e <u,v> = <v,u>.

Assim, (u+v) é ortogonal a (u-v), assim como w. Por estarem no plano, podemos concluir que (u+v) tem a mesma direção de w. Logo, existe uma constante 'C' tal que:

w = C*(v + u).


Exercício Resolvido - Trigonometria e equação do 2º grau.

  18:27   ,   No comments   Edit
A diferença entre o maior e o menor valor de x Є (0, 2π), na equação 2*Sen²(x) + 3*Sen(x) = 2 é?

Solução:

Como forma de visualização, vou substituir Sen(x) = y, assim temos:

2y² + 3y - 2 = 0

Achando as raízes desta equação:∆ = b² - 4*a*c
∆ = 3² - 4*2*(-2)
∆ = 9 + 16
∆ = 25
y = (-b ± √∆)/(2*a)
y = (-3 ± 5)/(4)
As soluções são:
y = -2
y = 1/2

Assim, Sen(x) = -2 e Sen(x) = 1/2 são as respostas. mas não existe valor de x tal que Sen(x) = -2, já que Sen(x) tem módulo máximo igual a 1.

Assim, apenas a solução Sen(x) = 1/2 satisfaz esse exercício. Mas para Sen(x) = 1/2, temos 2 valores de x que satisfazem essa equação, são eles:
x = π/6 (30°)
x = 5π/6 (150°)

Assim a diferença é dada por: 
5π/6 - π/6 = 4π/6 = 2π/3

Exercícios relacionados:


Exercício Resolvido - Porcentagem e molaridade

  18:09   No comments   Edit
Um vidro contém 50 mL de perfume, que foi preparado de acordo com a fórmula (% em volume): 90% de etanol; 7% de essências e 3% de fixador. Calcule a quantidade, em mol, de etanol presente nesse perfume. Dados: Massas molares em g/mol: H = 1; C = 12; O = 16. Densidade do etanol = 0,8 g/mL. 

Solução:

Do exercício, temos que 90% de 50mL é etanol. Assim, 45mL é etanol.
Como a densidade do etanol é de 0,8g/mL, temos que 45mL de etanol tem 36g (0,8*45).
A fórmula química do Etanol pode ser vista a seguir:


Como a massa molar do carbono é C = 12 g/mol, do hidrogênio é H = 1 g/mol e do oxigênio é O = 16 g/mol, temos que a massa molar do etanol é:

12*2 + 6*1 + 16 = 46g/mol.

Como no perfume há 36g de etanol, então, fazendo uma regra de três:

Quantidade em mol de etanol = 36/46 = 0,78 mol.




Exercício Resolvido - Porcentagem

  18:02   No comments   Edit
Em uma liquidação, o preço de um par de tênis é R$222,00. Se o preço da liquidação foi obtido dando um desconto de 26% no preço original, qual era o preço original?

Solução:

Seja x o valor original. Porém, de x foi tirado 26%.
Ou seja:
x - (26/100)x = 222
x - 0,26x = 222
0,74x = 222
x = 222/0,26
x = 300


Gráfico de f(x) = X²-9 / X-3

  17:10   No comments   Edit
Como pode ser observado, esta função é descontínua em x = 3, pois tem denominador nulo. Porém para todos os outros pontos, ela existe e ainda, para x diferente de 3, f(x) = x + 3, pois:

x² - 9 = (x+3)(x-3)

Só não podemos simplificar a função tornando-a igual a x+3 no ponto x = 3.
Assim, o gráfico fica:


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