Limite fundamental exponencial (Euler)

Comprovação com uso da análise da existência do limite fundamental de Euler

Neste post será comprovada a existência do limite fundamental exponencial.

Para isto, será utilizado o seguinte teorema e a seguinte proposição:

O limite a ser calculado é dado por:

Assim, definimos

Temos que a função f(x) acima tem seu domínio no conjunto dos reais exceto o zero. Como queremos o limite para x tendendo ao infinito, então o zero não será um problema. Neste caso, podemos definir a sequência xn = n, onde n são números inteiros e portanto a sequência esta contida no domínio da função f(x), podendo ser aplicado o Teorema 1.

Desta forma:

Porém, como n é inteiro, podemos escrever f(n) em binômio de Newton na forma de uma série:

Para seguir com os cálculos é importante saber se f(n) é crescente ou decrescente, pois isso irá nos permitir concluir se existe o limite exponencial.

Sabemos que:

Agora, para verificar se é crescente ou decrescente, irei iniciar o estudo supondo que a função é crescente e assim, saber se isso é verdadeiro ou não. Se ela for crescente, então f(n) < f(n+1), ou seja:

Na etapa (3) acima, é possível verificar que o termos de dentro do somatório do lado esquerdo é negativo e portanto a desigualdade é verdadeira, o que garante que f(n) é crescente como suposto inicialmente.

Agora, um passo importante é saber se f(n) é limitado, ou seja, que existe um K tal que, para qualquer n, f(n) < K. Com isso, da Proposição 1, é possível garantir que f(n) converge.

Verificando se f(n) é limitada superiormente:

O somatório obtido acima é a soma de uma PG, que é facilmente calculado:

Logo, temos que f(n) é limitada superiormente e crescente, o que garante que o limite existe. O valor do limite não é possível ser calculado sem o uso de um software ou mesmo de recursos envolvendo derivada ou série de Taylor, que a meu entender são conteúdos que estão a frente destes aplicados aqui.

Porém, caso deseja-se calcular este limite, pode ser feito com o uso da regra de L'Hopital, por exemplo:

Substituindo a variável 1/x = y e após isso aplicando L'Hopital, temos:

Exercício Resolvido - Geometria analítica: Reta e elipse

Determine a equação da reta tangente à elipse de equações paramétricas:

x = 4*Cos(t)

y = 3*Sen(t)

no ponto correspondente ao valor paramétrico t = π/4. Identifique os vértices e os focos da elipse. Represente graficamente, num mesmo plano, a elipse e a reta tangente.

Solução:

Se a reta é tangente à elipse no ponto para t = π/4 então, a reta deve passar pelo ponto da elipse onde t = π/4 e a derivada da reta (inclinação) deve ser a mesma da derivada da elipse neste mesmo ponto.

Neste caso, temos que para t = π/4:

x = 4*Cos(π/4) = 2*√2

y = 3*Sen(π/4) = 1,5*√2

A derivada da elipse é facilmente calculada derivando a equação paramétrica com relação a t

x' = -4*Sen(t)

y' = 3*Cos(t)

Para t = π/4:

x' = -2*√2

y' = 1,5*√2

Assim:

dy/dx = y'/x' = -0,75

e esta é a inclinação da elipse e portanto da reta neste ponto.

Assim, a reta é dada por:

y = -0,75*x + b

Mas esta reta passa pelo ponto (2*√2 , 1,5*√2)

Assim:

1,5*√2 = -0,75*(2*√2) + b

b = 3*√2

A reta será:

y = -0,75*x + 3*√2

Os vértices da elipse podem ser determinados facilmente com a equação dela já que o centro desta elipse é o ponto (0,0). Com isso, os vértices encontram-se sobre os eixos, no caso, para os seguintes valores de t:

t = 0

t = π/2

t = π

t = 3π/2

Nestes valores de t, temos os seguintes pontos:

t = 0

x = 4, y = 0

t = π/2

x = 0, y = 3

t = π

x = -4, y = 0

t = 3π/2

x = 0, y = -3

Os focos podem ser determinados já que conhecemos os vértices. Como os vértices são dados por (±4,0) e (0,±3), temos que:

f² = 4² - 3² = 7

f = (±√7,0)

Exercício Resolvido - Geometria analítica: Ponto, Reta e Circunferência no plano.

Sejam A(-7,4) e B (5,-12) pontos no plano.

a)Encontre a inclinação da reta que contém A e B

b)Encontre uma equação da reta que passa por A e B.Quais as intersecções com os eixos ?.

c)Encontre o ponto médio do segmento AB.

d)Encontre o comprimento do segmento AB.

e)Encontre uma equação para a mediatriz de AB.

f)Encontre uma equação para a circunferência para o qual AB é um diâmetro.

Solução:

a) A inclinação da reta é dada pelo ângulo formado entre a reta e o eixo das abcissas (eixo x). Assim, temos que pensar na reta como um triângulo retângulo. Veja a figura a seguir:

Na figura acima, temos a reta que passa pelos pontos A e B e o triângulo retângulo que comentei anteriormente, formado pelos pontos A, B e C. Observe que o segmento de reta AC é paralelo ao eixo x e portanto, o ângulo formado pela reta e o eixo x é o mesmo formado pela reta e o segmento AC.

Porém, perceba que a reta é decrescente, ou seja, quanto maior o valor de x, menor o de y na reta. Assim, a inclinação é um ângulo no intervalo 90° < inclinação < 180°.

Bom, do desenho acima podemos perceber que o ângulo CÂB somado ao ângulo de inclinação da reta é 180°.

Assim, das propriedades trigonométricas temos:

tg(a + b) = (tg(a) + tg(b))/(1 - tg(a)*tg(b))

Como, neste caso, a + b = 180° e sabendo que Tg(180°) = 0

(tg(a) + tg(b))/(1 - tg(a)*tg(b)) = 0

tg(a) + tg(b) = 0

tg(a) = -tg(b)

Assim, a tangente do ângulo CÂB é a mesma tangente do ângulo de inclinação da reta, porém com sinal trocado.

Podemos perceber que a tangente do ângulo CÂB é dada por:

tg(a) = BC/CA

Onde:

CA = 5 - (-7) = 12

BC = 4 - (-12) = 16

tg(a) = 16/12 = 4/3

Logo, o ângulo CÂB = ArcTg(4/3) = 53,13°

Assim, como:

CÂB + inclinação = 180°

Inclinação = 180° - 53,13° = 126,87°

b) A equação da reta pode ser obtida de forma mais simples. Temos que toda equação de reta num plano é da forma:

y = a*x + b

Como temos dois pontos que definem essa reta:

A(-7,4) e B(5,-12), então

4 = a*(-7) + b (Ponto A)

-12 = a*(5) + b (Ponto B)

Das equações acima, temos que:

a = -4/3

b = -16/3

Assim, a equação da reta é:

y = (-4/3)*x - 16/3

c) Para obter o ponto médio de um segmento, basta somar os pontos que limitam este segmento e dividir por dois, neste caso:

A = (-7,4)

B = (5,-12)

(A+B)/2 = ( -7 + 5 , -12 + 4) / 2 = (-2/2 , -8/2) = (-1,-4)

M = (-1,-4)

Na figura a seguir é possível verificar o ponto médio em vermelho:

d) Para o cálculo do comprimento AB vamos voltar ao triângulo retângulo que foi utilizado no exercício a). Vimos que podemos formar um triângulo retângulo, formado pelos pontos ABCA. Neste caso, o segmento AB é a hipotenusa do triângulo, com isso, como já calculamos o valor dos segmentos CA e BC no item a), temos:

AB² = CA² + BC²

AB² = 12² + 16²

AB² = 400

AB = 20.

Outro método mais direto de calcular este valor é com base nos pontos dados, veja como:

AB² = [ 5 - (-7) ]² + [ 4 - (-12) ]²

Onde cada um desses valores são as coordenadas dos pontos A e B. Com isso teremos que AB = 20, como calculado anteriormente.

e) Mediatriz é o conjunto de pontos que são equidistantes a dois pontos determinados. Neste caos é o conjunto de pontos equidistantes aos pontos A e B.

Assim, seja um ponto D(x,y) equidistante a A e B, desta forma, a distância de D para A é dada por:

dist(DA)² = [ x - (-7) ] ² + [ y - 4 ]² = x² + 14x + 49 + y² - 8y + 16

dist(DB)² = [ x - 5 ]² + [ y - (-12) ]² = x² - 10x + 25 + y² + 24 + 144

Como as distância devem ser iguais:

x² + 14x + 49 + y² - 8y + 16 = x² - 10x + 25 + y² + 24y + 144

Simplificando temos os termos iguais:

14x + 49 - 8y + 16 = -10x + 25 + 24y + 144

24x + 65 = 32y + 169

32y = 24x - 104

4y = 3x - 13

y = (3/4)x - 13/4
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Veja também:

Exercício Resolvido - Geometria analítica: Reta e elipse

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Podemos concluir que a mediatriz de dois pontos é uma reta, dada a equação obtida acima.

f) Se AB é um diâmetro do círculo, então o ponto médio de AB é o centro da circunferência. Como já temos todos estes dados, calculados anteriormente, sabemos que o comprimento AB = 20, logo o raio da circunferência é de 10. Como o centro dessa circunferência é (-1,-4) a equação é dada por:

[ x - (-1) ]² + [ y - (-4) ]² = 10²

[ x + 1 ]² + [ y + 4 ]² = 10²

Perceba que além do segmento AB, a mediatriz também passa pelo centro desta circunferência e portanto um segmento seu forma um diâmetro desta circunferência.

Exercício Resolvido - Limite

Calcule ou mostre que não existe, sem aplicar L'Hôpital e/ou aproximações polinomiais.

Solução:

Para resolver esses limites, um teorema deve ser enunciado:

Teorema 1: Sejam as funções f,g: D → ℜ

Sejam as constantes a Є D’ e b₁,b₂ Є ℜ tais que lim_x→a f(x) = b₁ lim_x→a g(x) = b₂

Então:

a) lim_x→a (f + g)(x) = b₁ + b₂

b) lim_x→a (f*g)(x) = b₁*b₂

c) Se b₂ ≠ 0  lim_x→a (f/g)(x) = b₁/b₂

Onde D’ são os pontos de acumulação do domínio de f e g.

a)

Fazendo uma substituição de variável u = sen(x)/cos(x) = tg(x) onde para x tendendo a zero, u também tende a zero, adotando o Teorema 1 e conhecendo o limite:

temos que:

Gráfico da função:

b) Para quem não percebeu (ou para quem não sabe ainda), esse limite é a derivada da função seno.

Percebam que no limite, x → a, ou seja, x é um pouco diferente de a, mas muito próximo de a. Assim, podemos dizer que x = a + h, sendo que no limite, h → 0.

Como a é uma constante, cos(a) e sen(a) também é constante e poderá sair de dentro do limite quando estiver multiplicando. 

Conhecendo o lim_x→0 sen(x)/x mencionado no exercício anterior, temos:

Mas:

Onde lim_h→0 sen(h)/h = 1 e lim_h→0 sen(h)/[cos(h)+1] = 0/2 = 0. Logo, 1*0 = 0. Portanto:

Assim, voltando ao exercício:

Gráfico da função para a = 0 em azul, a = π/4 em vermelho e a = π/2 em preto:

c)Para resolver este exercício, devemos fatorar os polinômios que estão dentro da raiz:

1-x³ = (1-x)*(x² + x + 1)

x²-1 = (x-1)*(x+1)

Da divisão, o termo (x-1) pode ser simplificado, ficando:

Gráfico da função em azul e em vermelho uma reta horizontal passando pela raiz cúbica de -3/2.

Exercício resolvido - Raiz de polinômio

Considere o polinômio 5x³ – 3x² – 60x + 36 = 0. Sabendo que ele admite uma solução da forma √n, onde n é um numero natural, pode se afirmar que: 

A)1≤ n < 5 

B)6 ≤ n < 10 

C)10 ≤ n < 15 

D)15 ≤ n < 20 

E)20 ≤ n < 30

Solução:

Vou resolver esse exercício através de análise utilizando as alternativas. 

Sabe-se que, pelo Teorema do Valor Intermediário, num intervalo [a,b] do domínio de uma função contínua, f(a) < f(b), então existe f(c) tal que f(a) < f(c) < f(b) tal que c Є [a,b]. Chamando 5x³ - 3x² - 60x + 36 = f(x).

Obs.: A lógica desse teorema é a seguinte. Se uma função é contínua, então você consegue desenhar o gráfico dela sem tirar o lápis do papel, assim, se em algum momento ela é negativa e em outro ela é positiva, certamente ela passou pelo zero, e por todos os outros valores que estão entre esses dois.

Assim, para a alternativa A): 

f(√1) = 5*(√1)³ - 3*(√1)² - 60*√1 + 36 = -11

f(√5) = 5*(√5)³ - 3*(√5)² - 60*√5 + 36
f(√5) = 5*5*√5 - 3*5 - 60*√5 + 36
f(√5) = 25*√5 - 15 - 60*√5 + 36
f(√5) = 21 - 35√5 =  -57,26

Ambos os resultados são negativos o que não nos garante a existência de uma raiz no intervalo. Porém, para testarmos todas as possibilidades que as alternativas oferecem, seriam muitos testes o que nos leva a crer que devemos achar algum meio mais rápido. Um ponto importante a se perceber é que se n não é um quadrado perfeito, então os termos de coeficiente 5 e -60 devem se anular, pois como eles multiplicam x com expoente ímpar eles serão os únicos termos multiplicando uma raiz. Assim, se eles não se anularem, o resultado não será zero como desejado. Desta forma, caso n não seja um quadrado perfeito:

5*(√n)³ - 60*(√n) = 0 

5*n*(√n) – 60*(√n) = 0 

5*n*(√n) = 60*(√n) 

Dividindo tudo por 5*(√n) 

n = 12

Verificando: 

f(√12) = 5*(√12)³-3*(√12)²-60*(√12)+36 = 60*(√12) – 3*12 – 60*(√12) + 36 = 0. 

Resposta: Letra C), com n = 12.

Gráfico da função:

Dando um zoom:

Exercícios relacionados:
http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2013/03/exercicio-resolvido-teorema-do-valor.html