Exercício Resolvido - Geometria plana. Hexágono

Considere um hexágono regular de vértices ABCDEF (com a sequência dos vértices no sentido positivo). Se A= (a1, a2) e B = (b1, b2) , pede-se determinar os vértices C, D , E e F. 

Solução:

Inicialmente, vou nomear os vértices do hexágono e suas coordenadas. O sentido ser positivo, indica que a ordem dos vértices é anti-horária conforme a figura:

Como fiz questão de mostrar no desenho, quando unimos os vértices de um hexágono regular com o vértice diagonalmente oposto, formamos 6 triângulos equiláteros. Ou seja, além dos lados do hexágono terem tamanho igual, a distância de qualquer vértice ao centro desse hexágono, também é igual ao lado dele.

Isso facilita muito os cálculos, conforme pode ser visto logo mais.

Como o exercício nos dá (a1, a2) e (b1, b2), temos que partir desses pontos para determinar os outros.

Seja 'd' o tamanho de cada lado do hexágono. Assim, a distância do ponto A ao ponto B é d, o mesmo do ponto B ao ponto C, etc..

Porém, se traçarmos uma reta horizontal passando por A, temos que o lado AB forma um ângulo de 30° com essa reta, assim, a projeção desse lado nessa reta passa a ser d*cos(30°), e a projeção de d numa reta vertical passando por B mede d*sen(30°)

Adotando um sistema de referência xy, como na parte inferior da figura abaixo, onde x cresce para a direita e y para cima:

Podemos observar nessa figura que:

a1 - d*cos(30°) = b1

a2 - d*sen(30°) = b2

Assim como:

b1 = c1

b2 - d = c2

O raciocínio feito no primeiro caso pode ser feito para achar d1 e d2:

d1 - d*cos(30°) = c1 = b1

d2 + d*sen(30°) = c2 = b2 - d

O mesmo para achar e1 e e2

e1 - d*cos(30°) = d1 = b1 + d*cos(30°), logo

e1 = b1 + 2d*cos(30°)

e2 - d*sen(30°) = d2 = b2 - d - d*sen(30°), logo

e2 = b2 - d. (O mesmo que c2, como era de se esperar)

f1 = e1 = b1 + 2d*cos(30°)

f2 = e2 + d = b2 . (f2 = b2, o que era esperado também)

Assim, temos todos os pontos em função de b1, b2 e de 'd'. Porém 'd' é o comprimento de um dos lados do hexágono, ou seja, é a distância do ponto A ao ponto B. Como a distância entre dois pontos é dada pela fórmula:

Basta substituir este d que temos todos os pontos em função de a1, a2, b1 e b2, ficando:

c1 = b1

c2 = b2 - d = b2 - √[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]

d1 = b1 + d*cos(30°) = b1 + {√[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]}*(√3/2)

d2 = b2 - d*(1+sen(30°)) = b2 - {√[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]}*(3/2)

e1 = b1 + 2d*cos(30°) = b1 + 2*{√[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]}*(√3/2)

e2 = b2 - d = b2 - √[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]

f1 = b1 + 2d*cos(30°) = b1 + 2*{√[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]}*(√3/2)

f2 = b2

Exercício resolvido - Geometria analítica em 3 dimensões

Encontre o ponto de intersecção do plano 2x-y-3z-4 = 0 com a reta que passa pelo ponto (0,1,-1) e tem a direção do vetor (1,-2,1).

Solução:

A reta que passa pelo ponto (0,1,-1) e tem direção do vetor (1, -2, 1) é dada pela equação:

(x,y,z) = (Ponto) + a*(Vetor)

(x,y,z) = (0, 1, -1) + a*(1, -2, 1)

x = a

y = 1 - 2a

z = -1 + a

Substituindo esses valores de x, y e z no plano temos:

2(a) - (1-2a) - 3(-1 + a) - 4 = 0

2a - 1 + 2a + 3 - 3a - 4 = 0

4a - 3a - 5 + 3 = 0

a - 2 = 0

a = 2

Para a = 2:

x = 2

y = -3

z = 1

Logo, o ponto de intersecção da reta com o plano é (2, -3, 1)

Exercício resolvido - Conjuntos

Em um banco, qualquer funcionário da carreira de Auditor é formado em pelo menos um dos cursos: Administração, Ciências Contábeis e Economia.
Um levantamento forneceu as informações de que:

I. 50% dos Auditores são formados em Administração, 60% são formados em Ciências Contábeis e 48% são formados em Economia.

II. 20% dos Auditores são formados em Administração e Ciências Contábeis.

III. 10% dos Auditores são formados em Administração e Economia.

IV. 30% dos Auditores são formados em Ciências Contábeis e Economia.

Escolhendo aleatoriamente um Auditor deste banco, a probabilidade de ele ser formado em pelo menos dois daqueles cursos citados é:

Solução:
Inicialmente, sabemos que um auditor é formado em pelo menos um dos cursos:
Administração
Ciências contábeis
Economia

Então podemos ter:
Formados em Administração apenas: vou chamar esse grupo de A
Formados em Ciências Contábeis apenas: vou chamar esse grupo de CC
Formados em Economia apenas: vou chamar esse grupo de E
Formados em Administração e Ciências Contábeis apenas: vou chamar esse grupo de ACC
Formados em Administração e Economia: vou chamar esse grupo de AE
Formados em Economia e Ciências Contábeis: vou chamar esse grupo de ECC
Formados nos três cursos: vou chamar esse grupo de AECC

Assim, sabemos que:
Total:
(1) A + CC + E + ACC + AE + ECC + AECC = 100%
Formados em administração:
(2) A + ACC + AE + AECC = 50%
Formados em Ciências Contábeis:
(3) CC + ACC + ECC + AECC = 60%
Formados em Economia:
(4) E + AE + ECC + AECC = 48%
Formados em Administração e Ciências Contábeis:
(5) ACC + AECC = 20%
Formados em Administração e Economia:
(6) AE + AECC = 10%
Formados em Ciências Contábeis e Economia:
(7) ECC + AECC = 30%

Queremos saber a porcentagem de formados em pelo menos dois cursos, ou seja:
AE + ACC + ECC + AECC = ???

Das equações (2), (3) e (4), podemos obter valores para A, CC e E:
A = 50 - ACC - AE - AECC
CC = 60 - ACC - ECC - AECC
E = 48 - AE - ECC - AECC

Substituindo esses valores em (1):
(50 - ACC - AE - AECC) + (60 - ACC - ECC - AECC) + (48 - AE - ECC - AECC) + ACC + AE + ECC + AECC = 100
158 - 3AECC - 2ACC - 2AE - 2ECC + ACC + AE + ECC + AECC = 100
58 - 2AECC - ACC - AE - ECC = 0
ACC + AE + ECC + 2AECC = 58

Somando-se as equações (5), (6) e (7) temos:
ACC + AE + ECC + 3AECC = 60

Combinando essas duas equações sublinhadas, percebemos que AECC = 2%
Logo ACC + AE + ECC + AECC = 56%

Assim, escolhendo aleatoriamente um Auditor deste banco, a probabilidade de ele ser formado em pelo menos dois daqueles cursos citados é de 56%.

Exercício resolvido - Análise combinatória

Uma livraria vai doar 15 livros iguais a 4 bibliotecas. Cada uma deve receber ao menos 2 livros. O número de modos que esses livros podem ser repartidos nessa doação é?

Solução:
Temos 4 bibliotecas.
Cada uma deve receber no mínimo 2 livros.
Mas a soma dos livros recebidos deve ser 15, assim:

Sejam as bibliotecas A, B, C e D
A quantidade de livros recebidos por cada uma delas, chamarei de A, B, C e D também.
Assim;
A + B + C + D = 15

Digamos que a gente tenha 15 bolinhas:

o o o o o o o o o o o o o o o

Assim, vou separá-las utilizando três barras, de forma aleatória:

o o | o o o o o o | o o o o o o | o

Como pode ser observado, são 18 símbolos, 3 "|" e 15 "o". Desta forma, basta fazer quantas combinações podemos fazer com estes símbolos:

$$ \frac{18!}{ (15! \times 3!) } \,  = \,  \frac{ 18 \times 17 \times 16 }{ 3 \times 2 \times 1 } \,  = \, 816 $$

Esta seria a resposta se não existisse a condição de que cada biblioteca deve receber pelo menos 2 livros.
Neste caso o exercício pode ser feito considerando-se que cada biblioteca já recebeu seus 2 livros mínimos, assim, restam 7 para serem distribuídos.

Portanto, temos agora:

o o | o o | o o o |

Esta combinação será:

$$ \frac{ 10! }{ (7! \times 3!) } \, = \, \frac{ 10 \times 9 \times 8}{ 3 \times 2 } \, = \, 120 $$

Para provar a resposta, vou colocar abaixo todas as formas de soma possíveis:
2 + 2 + 2 + 9 $ \rightarrow $ 4 formas (Perceba que poderia ser 9 + 2 + 2 + 2 ou, 2 + 9 + 2 + 2 ou, 2 + 2+ 9 + 2, ou seja, são 4 formas de combinar esses números)

2 + 2 + 3 + 8 $ \rightarrow $ 12 formas
2 + 2 + 4 + 7 $ \rightarrow $ 12 formas
2 + 2 + 5 + 6 $ \rightarrow $ 12 formas
2 + 3 + 3 + 7 $ \rightarrow $ 12 formas
2 + 3 + 4 + 6 $ \rightarrow $ 24 formas
2 + 3 + 5 + 5 $ \rightarrow $ 12 formas
2 + 4 + 4 + 5 $ \rightarrow $ 12 formas
3 + 3 + 3 + 6 $ \rightarrow $ 4 formas
3 + 3 + 4 + 5 $ \rightarrow $ 12 formas
3 + 4 + 4 + 4 $ \rightarrow $ 4 formas

Assim, 4 + 12 + 12 + 12 + 12 + 24 + 12 + 12 + 4 + 12 + 4 = 120

Exercício Resolvido - Análise combinatória: Quantos caminhos de comprimento mínimo de A até B

A figura abaixo representa um mapa de uma cidade, na qual há 7 avenidas na direção norte-sul e 6 avenidas na direção leste-oeste.

a) Quantos são os trajetos de comprimento mínimo ligando o ponto A ao ponto B?

b) Quantos desses trajetos passam por C?