Exercício Resolvido - Força e momento resultante. Equilíbrio estático

Uma barra (20 m) de massa 200 kg é apoiada nas suas extremidades por suportes A e B. Uma pessoa começa a andar pela barra. Sabendo que a pessoa possui massa de 55 kg, determine as forças nos suportes A e B para manter a barra em equilíbrio nas seguintes situações:

(a) a pessoa está na extremidade A;
(b) a pessoa está na extremidade B;
(c) a pessoa está no centro da barra;
(d) a pessoa está a 5 m de uma das extremidades.

Solução:

a)

Perceba que neste caso, a pessoas por estar no ponto A, a reação da barra é toda no ponto A, ou seja, devido à pessoa, não há aumento de reação no ponto B.

Devido à barra, por ser supostamente homogênea (estou supondo pois o exercício não fala nada), a reação em cada ponto é igual a 100 Kg, pois ambos estão equidistantes ao centro da barra.

Neste primeiro caso então:

Reação em A: 100 + 55 = 155Kg

Reação em B: 100Kg

Verificando se o momento resultante da barre é nulo:

Momento em relação ao ponto B (poderia ser em relação ao ponto A, ou ao centro, tem que dar zero em relação a qualquer um dos pontos da barra):

55*20 (momento devido à pessoa) - 155*20 (momento devido à reação da barra no ponto A) + 200*10 (momento devido à massa da barra) = 1100 - 3100 + 2000 = 0

b)Não vou colocar o desenho neste caso pois a situação é exatamente a mesma, com a diferença que agora a reação em B passa a ser 155 Kg, e em A permanece sendo 100 Kg.

c)

Vamos agora fazer a análise para descobrir as forças:

Somatório da força resultante deve ser zero:

FA + FB - 200 - 55 = 0

Somatório dos momentos em relação a qualquer ponto deve ser zero (vou fazer em relação a B de novo):

FA*20 - 200*10 - 55*10 = 0

FA*20 = 2000 + 550

FA = 127,5 Kg

Como:

FA + FB - 200 - 55 = 0

127,5 + FB = 255

FB = 127,5 Kg

São iguais, como era de se esperar, já que todos os pesos estão concentrados no meio da barra.

d)

Da mesma forma que foi feito o anterior, devemos ter:

Força resultante igual a zero:

FA + FB - 55 - 200 = 0

FA + FB = 255

Veja também:

Exercício resolvido - IME CG 2009/2010 - Estática

Momento resultante igual a zero (para mudar, vou fazer o momento em elação a A)

55*5 + 200*10 - FB*20 = 0

275 + 2000  = FB*20

FB*20 = 2275

FB = 113,75 Kg

Como:

FA + FB = 255

FA +  113,75  = 255

FA = 141,25 Kg

Exercício Resolvido - Soma dos números positivos múltiplos de 9 menores que 100

Calcule a soma dos números positivos múltiplos de 9 menores que 100.

Solução:

Sabemos que o primeiro termo (a1) é 9 e que esta é a razão também, pois queremos os números múltiplos de 9, ou seja:

9, 18, 27, ...

Como eles devem ser menor que 100, devemos achar o maior número múltiplo de 9 menor que 100, e este número é o 99

Assim, a PA terá 11 termos, pois:

an = a1 + (n-1)*r

99 = 9 + (n-1)*9

90 = 9*(n-1)

n-1 = 10

n = 11

Da fórmula da soma da PA:

S = (a1 + an)*(n/2) 

Assim:

S = (9 + 99)*(11/2) = (108)*(11/2) = 54*11 = 594

Exercícios relacionados:

http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2012/01/progressao-aritmetica-pa.html

Dedução da fórmula de juros composto para parcelas iguais

Dedução passo-a-passo da fórmula de juros composto para dívidas que são pagas em parcelas iguais

Vou fazer um post hoje que é muito útil. Será mostrado aqui como encontrar a fórmula para calcular a taxa de juros de uma dívida que é parcelada e paga em parcelas únicas.

Solução:

Inicialmente, deve-se ter em mente que esse tipo de dívida funciona de seguinte forma:

Imagine alguém que deve R\$ 100,00 a você e vai lhe pagar uma taxa de 10% de juros ao mês. Assim, após 1 mês, ele lhe deve:

R\$ 100,00 + 10%*(R\$ 100,00) = R\$ 100,00 + 0,1*R\$ 100,00 = 1,1*R\$ 100,00 = R\$ 110,00

Agora, digamos que após esse mesmo mês, ele lhe pagou R\$ 15,00. Então agora ele lhe deve:

R\$ 110,00 - R\$ 15,00 = R\$ 95,00

Ou seja, da dívida real reduziu-se R\$ 5,00 apenas.

Passando-se outro mês, a dívida passa a ser:

R\$ 95,00 + 10%*(R\$ 95,00) = R\$ 95,00 + 0,1*R\$ 95,00 = 1,1*R\$ 95,00 = R\$ 104,50

E assim segue.

Da mesma forma funciona qualquer dívida.

Para realizar os cálculos e fazer a demonstração, vou utilizar as seguintes letras:

Taxa de juros mensal em porcentagem = J

Valor da parcela paga a cada mês = P

Valor inicial da dívida = V

Número de parcelas = n

O empréstimo é feito no mês 'zero'.

Assim, após o primeiro mês deve-se o valor da dívida mais o juros:



Mas neste momento, é paga a 1ª parcela, passando a ser o valor da dívida:

Para facilitar a visualização, vou chamar este valor agora de V2, então:

Após 2 meses:

Neste momento, ele novamente vai pagar a parcela, passando a ser sua dívida:

Chamando este valor de V3:

Após 3 meses:



Após isso, claro, será paga uma parcela, passando a ter o valor V4.



É possível perceber uma relação recorrente de Vn:

Onde V1 = V que é o valor inicial da dívida.

Manipulando um pouco a equação geral de recorrência acima, é possível perceber propriedades interessantes. Veja abaixo:



Substituindo:



Usando:



Teremos:



Percebam que os termos que multiplicam o fator P são termos de uma PG onde:



e a razão



Usando a fórmula da soma da PG podemos simplificar a fórmula para:



Aqui fica mais fácil perceber qual deve ser a equação de Vn em função de V, que é o valor inicial da dívida.



Porém, Vn tem que ser nulo, já que queremos que após n meses a dívida esteja totalmente paga. Portanto, basta igualar o resultado obtido acima a zero:



Manipulando temos:



Agora, esta fórmula pode ser manipulada como se desejar.
Exemplo: Caso deseja-se calcular a parcela a ser paga dado que:

Se a taxa de juros for 5% → J = 5
O empréstimo for de R$ 1.000,00 → V = 1000
O tempo para pagar de 10 meses → n = 10

Vamos calcular o valor da parcela:

Isolando P na fórmula acima:



Substituindo os valores



Como

Ou seja, nestas condições, R\$ 129,50 deve ser a parcela. Este não é o valor exato, que é dado por R\$ 129,5046, porém, por ser um valor monetário, só pode ter duas casas após a vírgula. Vaja como ficaria:

Dívida Mês Parcela Após pagar parcela R\$ 1.000,00 0 R\$ 0,00 R\$ 1.000,00 R\$ 1.050,00 1 R\$ 129,50 R\$ 920,50 R$ 966,53 2 R$ 129,50 R$ 837,03 R$ 878,88 3 R$ 129,50 R$ 749,38 R$ 786,85 4 R$ 129,50 R$ 657,35 R$ 690,21 5 R$ 129,50 R$ 560,71 R$ 588,75 6 R$ 129,50 R$ 459,25 R$ 482,21 7 R$ 129,50 R$ 352,71 R$ 370,35 8 R$ 129,50 R$ 240,85 R$ 252,89 9 R$ 129,50 R$ 123,39 R$ 129,56 10 R$ 129,50 R$ 0,06

Perceba que o valor da dívida, após os 10 meses, fica em R\$ 0,06. Ele não zera devido ao resultado não ser exato, já que a parcela deveria ser R\$ 129,504574965...

Limite (de x -> -infinito) de [Raiz(5x² - 2) / (x+3)]

Este exercício tem uma 'pegadinha', que eu mesmo caí.

Nosso leitor que comentou abaixo deste post me orientou do erro, estarei portanto corrigindo com base na solução postada por ele no comentário.

Solução:

Ao observar o exercício, percebemos que para qualquer valor de x < -3, (5x² - 2) / (x+3) é negativo, logo, para x tendendo a menos infinito, o valor tem que ser negativo. Assim, a solução fica:

Exercício Resolvido - Somatório de N² = 1² + 2² + 3² + ... + n² ou ∑(n^2) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2

Ache uma equação para calcular o somatório de N² = 1² + 2² + 3² + ... + n², sendo n um número inteiro.

Solução:

O cálculo de ∑n² pode ser feito de várias formas. Tentarei demonstrar algumas:

1º método:

Sabendo que:

(n+1)³ - n³ = (n³ + 3n² + 3n + 1) - n³ = 3n² + 3n + 1

Assim:

∑[(p+1)³ - p³] = ∑[3p² + 3p + 1]

Mas:

∑[(p+1)³ - p³] = (2³ - 1³) + (3³ - 2³) + ... + [(n+1)³ - n³]

Perceba que o primeiro termo de cada parênteses é cancelado com o segundo do parênteses seguinte, sobrando apenas:

(n+1)³ - 1³

Então:

(n+1)³ - 1 = ∑[3p² + 3p + 1]

Mas:

∑[3p² + 3p + 1] = ∑3p² + ∑3p + ∑1 = 3*∑p² + 3*∑p + (1+1+1+1+1+...+1)

∑p = 1 + 2 + 3 + 4 + .. + n  -> (PA)

∑p = (1+n)*(n/2)

Temos também que:

∑1 = n

Assim:

(n+1)³ - 1 = ∑[3p² + 3p + 1]

(n+1)³ - 1 = 3*∑p² + 3*(1+n)*(n/2) + n

n³ + 3n² + 3n = 3*∑p² + 3n/2 + 3n²/2 + n

3*∑p² = n³ + 3n²/2 + n/2

∑p² = (1/6)*[2n³ + 3n² + n] = (1/6)*n*(n+1)*(2n+1)

2º método:

Usando o triângulo de Pascal:

Imagem retirada do livro Algorithmic Information heory, de G. Chaitin

Como o que queremos é o somatório:

1 + 4 + 9 + 16 + ... + n²

Se observarmos no triângulo acima a terceira coluna, o primeiro termo dela (1), é 1², se somarmos o primeiro ao segundo, temos 1+3 = 4, se somarmos o segundo ao terceiro, temos 3+6 = 9, o terceiro ao quarto 6+10 = 16 ....

Ou seja, a soma dois a dois dos termos da coluna, formam exatamente os termos da sequência que queremos:

Assim:

Ou, agrupado de forma melhor:

Mas, pelo teorema das colunas, que diz que:

Temos:

e

Tendo, por fim:

1² + 2² + 3² + 4² + ... + n² = (1/6)*n*(n+1)*(n-1 + n+2) = (1/6)*n*(n+1)*(2n+1)

3º método:

Digamos que a gente já conheça o resultado, mas desejamos provar que ele vale pelo método da indução finita :

Se n = 1:

1² = (1/6)*1*(1+1)*(2+1) = 1 Ok, é válido

Agora, a gente supõe que para n = k-1, a fórmula também é válida, admitimos então que:

1² + 2² + 3² + ... + (k-1)² = (1/6)*(k-1)*[(k-1)+1]*[2(k-1)+1] = (1/6)*(k-1)*k*(2k-1)

Supondo que a fórmula acima seja correta, devemos provar que vale para n = k também:

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = [(1/6)*(k-1)*k*(2k-1)] + k²

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = [(1/6)*(k²-k)*(2k-1)] + k²

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = [(1/6)*(2k³ - k² - 2k² + k)] + k²

Fazendo o mínimo múltiplo comum, ou seja, transformando k² = (6/6)*k² temos:

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = (1/6)*(2k³ - 3k² + k + 6k²) =

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = (1/6)*(2k³ + 3k² + k)

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = (1/6)*k*(k+1)*(2k+1)

que é a fórmula (1/6)*n*(n+1)*(2n+1) para n = k. Logo, esta provado por indução.