Exercício Resolvido - Integrais

Solução de integrais

Calcule as seguintes integrais:

1) ∫ (sen2x/3cos³) dx
2) ∫ [(x²-10x+24)/(x-4)] dx
3) ∫ [(1+cos²x)/(2cos²x)] dx
4) ∫ [(x-1)/(1-√x)] dx
5) ∫ [(4x²+2x⁴)/(x²+1)] dx

Solução:
1)
Sabendo que
Sen(2x) = 2*Sen(x)Cos(x)
Podemos simplificar
Sen(2x) / 3*Cos³(x) = 2*Sen(x) / 3*Cos²(x)
Como se trata de uma integral, podemos tirar o 2/3 do integrando, pois ele não depende de x.
Ficando:
(2/3)∫[Sen(x) / Cos²(x)]dx

Agora, perceba que a derivada de Cos(x) é -Sen(x)dx, ou seja, substituindo Cos(x) por 'u', temos a seguinte integral:
(2/3)∫ - du / u² = (2/3)*(1/u) = (2/3)*[1/Cos(x)] = (2/3)*Sec(x)

Logo:
∫ [Sen(2x) / 3*Cos³(x)]dx = (2/3)*Sec(x) + k

2)
∫ [(x² - 10x + 24) / (x-4)]dx
Como x² - 10x + 24 pode ser escrito (x-4)*(x-6), temos
∫ [(x² - 10x + 24) / (x-4)]dx = ∫ [(x-4)*(x-6) / (x-4)]dx = ∫ (x-6)dx, para x ≠ 4
∫ (x-6)dx = x²/2 - 6x + k, onde k é uma constante.

3)
∫ [(1+cos²x)/(2cos²x)] dx
Abrindo a soma, temos:
(1+cos²x)/(2cos²x) = 1 / [2Cos²(x)] + Cos²(x) / [2Cos²(x)] = (1/2)*[1/Cos²(x)] + 1/2 = (1/2)*[Sec²(x) + 1]
Mas,
Assim:
∫ [(1+cos²x)/(2cos²x)] dx = (1/2)*∫ [Sec²(x) + 1]dx = (1/2)*∫ Sec²(x)dx + (1/2)*∫ 1dx =
= (1/2)*∫ Sec²(x)dx + (1/2)*x + k1

Resta calcular: ∫ Sec²(x)dx
Para isso, devemos utilizar algumas propriedades trigonométricas:
Tan²(x) + 1 = Sec²(x)

Observando que:
Sec²(x) = Sen²(x) / Cos²(x) + 1
Sec²(x) = [Sen²(x) + Cos²(x)] / Cos²(x)

Mas:
[Sen²(x) + Cos²(x)] / Cos²(x) é a derivada de [Sen(x) / Cos(x)] = Tan(x)

Logo:
∫ Sec²(x)dx = Tan(x) + k2

Assim:
∫ [(1+cos²x)/(2cos²x)] dx = (1/2)*∫ Sec²(x)dx + (1/2)*x + k1 = (1/2)*[Tan(x) + k2 + x + k1]
Adotando que k1 + k2 = k
∫ [(1+cos²x)/(2cos²x)] dx = 0,5*[Tan(x) + x + k]

4)
∫ [(x-1)/(1-√x)] dx
Para iniciar esse exercício é interessante perceber que:
(x-1) = [√(x) - 1]*[√(x) + 1]

Assim:
∫ [(x-1)/(1-√x)] dx = ∫ [√(x) + 1] dx = ∫ √(x) dx + ∫ 1dx = (2/3)*√(x³) + x + k

5)
∫ [(4x²+2x⁴)/(x²+1)] dx = ∫ [2x²*(2+x²)/(x²+1)] dx = ∫ {2x²*[1+(1+x²)]/(x²+1)} dx =
= ∫ {[2x² + 2x²*(1+x²)]/(x²+1)} dx = ∫ 2x² / (x² + 1) dx + ∫2x²*(1+x²)/(x²+1)} dx =
= ∫ 2x² / (x² + 1) dx + ∫2x² dx

Calculando ∫2x² dx
∫2x² dx = (2/3) x³ + k1

Calculando
∫ 2x² / (x² + 1) dx
Fazendo uma substituição de variável:
x = Tan(u)
dx = Sec²(u) du

∫ 2x² / (x² + 1) dx = ∫ {2Tan²(u) / [Tan²(u) + 1]}*[Sec²(u) du]

Mas
1 + Tan²(u) = Sec²(u)

∫ {2Tan²(u) / [Tan²(u) + 1]}*[Sec²(u) du] = ∫ {2Tan²(u) / Sec²(u)}*[Sec²(u) du] = ∫ 2Tan²(u) du

Mas sabendo que Tan²(u) = Sen²(u) / Cos²(u)
E que
Sen²(u) + Cos²(u) = 1, logo, Sen²(u) = 1 - Cos²(u)
Tan²(u) = Sen²(u) / Cos²(u) = [1 - Cos²(u)] / Cos²(u) = 1/Cos²(u) - 1 = Sec²(u) - 1

Assim:
∫ 2Tan²(u) du = 2*∫ [Sec²(u) - 1] du = 2* [ ∫ Sec²(u) du - ∫ 1 du] = 2* [ ∫ Sec²(u) du - (u + k2)]

Mas já foi visto que
∫ Sec²(u) du = Tan(u) + k3

Logo
∫ 2Tan²(u) du =2Tan(u) + 2k3 - 2u - 2k2

E sabendo que u = ArcTan(x)
2Tan(u) + 2k3 - 2u - 2k2 = 2x + 2k3 - 2ArcTan(x) - 2k2

Logo:
∫ [(4x²+2x⁴)/(x²+1)] dx = (2/3) x³ + k1 + 2x + 2k3 - 2ArcTan(x) - 2k2

Para facilitar, podemos chamar k1 + 2k3 - 2k2 = k
∫ [(4x²+2x⁴)/(x²+1)] dx = (2/3) x³ + 2x - 2ArcTan(x) + k

Exercício resolvido - Cônica em 3 dimensões

Resolva a função quádrica, classifique-a e esboce-a

x² + y² + z² - 14x + 6y - 8z + 10 = 0

Solução:

Para verificar esse tipo de questão, é interessante eliminarmos os termos que não são quadráticos, ou seja, os termos dependentes de x, y e z. Para isso, fazemos uma substituição de variável:

x = u + a

y = v + b

z = w + c

Ficando:

(u + a)² + (v + b)² + (w + c)² - 14*(u + a) + 6*(v + b) - 8*(w + c) + 10 = 0

Desenvolvendo:

u² + 2au + a² + v² + 2bv + b² + w² + 2wc + c² - 14u - 14a + 6v + 6b - 8w - 8c + 10

Ficando:

u² + v² + w² + u*(2a - 14) + v*(2b + 6) + w*(2c - 8) + (a² + b² + c² - 14a + 6b - 8c + 10) = 0

Para zerar os termos u, v e w basta:

2a - 14 = 0

a = 7

2b + 6 = 0

b = -3

2c - 8 = 0

c = 4

Com estes valores de a, b e c, calculamos:

(a² + b² + c² - 14a + 6b - 8c + 10) = [7² + (-3)² + 4² - 14*7 + 6*(-3) - 8*4 + 10] = 

= 49 + 9 + 16 - 98 - 18 - 32 + 10 = -64

Desta forma:

u² + v² + w² + u*(2a - 14) + v*(2b + 6) + w*(2c - 8) + (a² + b² + c² - 14a + 6b - 8c + 10) = 0

Fica:

u² + v² + w² - 64 = 0

u² + v² + w² = 64

Ou seja, é uma esfera de raio √64 = 8.

Agora, para saber o ponto onde essa esfera é centrada devemos pensar da seguinte forma:

Inicialmente nós estávamos trabalhando com x, y e z. Mudamos para u, v e w. Perceba que para mudar do primeiro sistema de referência para o segundo, apenas somamos constantes (a, b e c), ou seja, deslocamos os eixos x, y e z para a esquerda ou direita, para cima ou para baixo, para frente ou para trás, veja o que foi feito:

x² + y² + z² - 14x + 6y - 8z + 10 = 0, é o mesmo que

u² + v² + w² - 64 = 0. 

Mas

u = x - a

u = x - 7

v = y - b

v = y + 3

w = z - c

w = z - 4

Assim:

u² + v² + w² - 64 = 0, é o mesmo que

(x-7)² + (y+3)² + (z-4)² = 64

Ou seja, o centro dessa esfera é o ponto:

x = 7

y = -3

z = 4

(7, -3, 4)

Logo, este é uma equação de uma esfera com raio 8 e centro no ponto (7, -3, 4)

Gráfico:

Exercício Resolvido - Quantidade de movimento

Duas bolas de boliche aproximam-se, ambas em movimento sobre um trilho. A primeira, de massa m1, se desloca com velocidade v1 e a segunda, de massa m2, com v2. Qual a velocidade do centro de massa? Qual a velocidade do centro de massa do sistema após as bolas colidirem elasticamente? Qual é a quantidade de movimento do sistema antes e qual passa a ser após a colisão e por quê?

Solução:
1ª pergunta:

Considerando cada uma das bolas como sendo uma partícula onde sua massa esta concentrada em seu centro de massa, temos que para calcular o centro de massa do sistema, devemos utilizar a fórmula:

Onde CM é a localização do centro de massa, m1 e m2 as massas de cada uma das bolas e r1 e r2 as coordenadas da posição do centro de massa de cada uma das bolas.

Assim, devemos supor uma posição inicial para cada uma das bolas, tal procedimento não vai alterar o resultado, já que será irrelevante.

Posição da bola 1: Supondo que a bola 1 parte do ponto (0,0) e se desloca em direção à bola 2, podemos dizer que não há alteração da posição das bolas na direção y, e sim, somente na x. Logo, a posição da bola 1 em qualquer tempo pode ser descrita por:
r1 = (v1*t, 0 ), onde v1 é a velocidade da bola 1.

O mesmo deve ser feito para a bola 2
r2 = (v2*t, 0). 

CM = [m1*(v1*t, 0 ) + m2*(v2*t, 0)] / (m1 + m2)
CM = (m1*v1*t + m2*v2*t , 0) / (m1 + m2)
CM = t*(m1*v1 + m2*v2 , 0) / (m1 + m2)
Ou seja, o CM tem deslocamento somente no eixo x, pois o deslocamento no eixo y é nulo.
CM = t*(m1*v1 + m2*v2) / (m1 + m2)
Como o deslocamento é em apenas uma direção (x), basta dividir CM por t e obtemos a velocidade do centro de massa

Logo, a velocidade do centro de massa será VCM = CM/t = (m1*V1 + m2*V2) / (m1 + m2)

2ª Pergunta:
Em qualquer choque, há conservação da quantidade de movimento.
Conservação da quantidade de movimento:
m1*V1 + m2*V2 = m1*V1depois + m2*V2depois
Como a velocidade do centro de massa depois do choque será:
VCM = (m1*V1depois + m2*V2depois) / (m1 + m2) = (m1*V1 + m2*V2) / (m1 + m2). Ou seja, não há variação da velocidade do centro de massa do sistema.

3ª Pergunta:
A quantidade de movimento do sistema antes é m1*V1 + m2*V2 e depois passa a ser 
m1*V1depois + m2*V2depois, porém elas são iguais pois não há variação da quantidade de movimento.
O motivo disso é a segunda lei de newton que fala que a força é a variação infinitesimal da quantidade de movimento. Ou seja, para que ocorra variação na quantidade de movimento de qualquer corpo, é necessário que exista uma força externa agindo nele. Neste caso, considerando o sistema formado pelas duas bolas, nenhuma força externa age nelas e sim, somente o choque entre elas, porém esta força é interna. logo, a quantidade de movimento nunca vai se alterar em um choque, seja ele elástico, inelástico ou perfeitamente inelástico.

Transformar / converter litros em cm³ ou litros em m³ ou cm³ em m³

Para iniciar esse post, devemos saber que 1 litro = 1dm³

Como 1 dm = 0,1 m = 10 cm

1 L = 1 dm³ = (1 dm)*(1 dm)*(1 dm) = (0,1 m)*(0,1 m )*(0,1 m) = (10 cm)*(10 cm)*(10 cm)

1 L = 1 dm³ = 0,1³ m³ = 10³ cm³

1 L = 1 dm³ = 0,001 m³ = 1.000 cm³

Transformar / converter m/s em km/h ou km/h em m/s

A conversão de velocidade é bastante impostante em vários exercícios. Porém, devemos saber que toda unidade é como se fosse uma incógnita, assim, quando falamos m/s, queremos dizer o mesmo que a/b, ou x/y, ou seja, é uma divisão.

Como 1 km equivale a 1.000 m, 1 m equivale a 0,001 km.

Assim:
1m/s = 0,001 km/s

Resta agora transformar s em h.
como 1 h tem 3.600 s, 1 s tem 1/3600 h.

Assim, 0,001 km/s = 0,001 km / (1/3600) h = 0,001 * 3.600 km/h = 3,6 km/h

ou seja

1 m/s = 3,6 km/h

Ainda, 1 km/h = 1.000 m/h = 1.000 m / 3600 s = 1 m / 3,6 s = 0,2777777777... m/s

ou seja

1 km/h = 0,2777777777... m/s