Exercício resolvido - Associação mista de resistores

Calcule a resistência equivalente da associação mista de resistores entre os pontos A e B no circuito abaixo:

Solução:

Neste exercício, tem-se dois curtos formando um "X" no meio do quadrado. Como já comentado nos outros casos, a melhor forma de visualizar a disposição dos resistores é unindo os pontos ligados por curto. Neste caso, o vértices do quadrado podem ser transformados em um ponto só.

Assim, os pontos A e D podem ser considerados como um mesmo ponto. Da mesma forma, os pontos B e C. Unindo, primeiramente, os pontos A e D temos:

Unindo agora os pontos B e C:

Assim, fica fácil perceber que todas as resistências estão em paralelo. Como todas elas são iguais, tem-se que a resistência equivalente entra os pontos A e B é R/4.

Para saber mais sobre associação de resistores, veja 5 Exercícios Resolvidos de Associação de Resistores Para Você Fixar o Assunto

Cálculo I: Números Reais

Neste post falaremos dos Números Reais e suas propriedades na introdução ao Cálculo.

O conjunto dos números reais (ℝ) é formado pela união dos conjuntos Naturais (ℕ), Inteiros (ℤ), Racionais (ℚ) e Irracionais (𝕀).

No conjunto dos números Naturais (ℕ) existe uma propriedade importante, denominada Princípio da Indução Finita (para mais detalhes, clique aqui). Essa propriedade é muito utilizada no estudo de sequências.

Com as propriedades existentes no conjunto dos ℝ, assim como no conjunto dos ℕ, ℤ e ℚ, é possível que se defina as operações de ADIÇÃO e MULTIPLICAÇÃO. Neste ponto definimos o que é um Corpo.

Definição 1: Um corpo é um conjunto M diferente de vazio que possui duas operações: ADIÇÃO ⊕ e MULTIPLICAÇÃO ⊗ de modo que satisfaça as seguintes propriedades:

a) Associativa: Dados a,b,c ∈ M são verdadeiras as seguintes relações:

(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)

(a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)

b) Comutativa: Dados a,b ∈ M, são verdadeiras as seguintes relações:

a ⊕ b = b ⊕ a

a ⊗ b = b ⊗ a

c) Elemento neutro da adição: Deve existir 0 ∈ M tal que a ⊕ 0 = a, para todo a ∈ M.

d) Elemento neutro da multiplicação: Deve existir 1 ∈ M, tal que a ⊗ 1 = a, para todo a ∈ M.

e) Elemento simétrico ou oposto da adição: Deve existir -a ∈ M para cada elemento a ∈ M tal que:

a ⊕ (-a) = 0 (elemento neutro da adição).

f) Elemento inverso da multiplicação: Deve existir a⁻¹ ∈ M* para cada a ∈ M de forma que:

a ⊗ (a⁻¹) = 1 (elemento neutro da multiplicação)

g) Propriedade distributiva da multiplicação de uma adição: Para quaisquer elementos a, b, c ∈ M, deve ser válida a seguinte igualdade:

a ⊗ (b ⊕ c) = a ⊗ b ⊕ a ⊗c

De posse dessa definição temos que, dos conjuntos acima mencionados, apenas os conjuntos ℝ e ℚ satisfazem a definição acima para as operações de adição e multiplicação usuais e, portanto, podem ser chamados de Corpo.

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Exercícios resolvidos:

Exercício 1: Mostre que o conjunto dos números Racionais (ℚ) forma um corpo segundo as operações de adição e multiplicação usuais:

O conjunto ℚ é formado por números que podem ser escritos por:

Onde tanto a quanto b são números Inteiros (ℤ), onde b ≠ 0.
Sejam os três números Racionais a seguir:

Vamos verificar as propriedades:

Propriedade a) Associativa:
Esta propriedade é válida para a soma e a multiplicação usuais já que, para quaisquer a,b,c,d,e,f ∈ ℤ são verdadeiras as igualdades:

Propriedade b) Comutativa:
Esta propriedade é válida para a soma e a multiplicação usuais já que, para quaisquer a,b,c,d ∈ ℤ são verdadeiras as igualdades:

Propriedade c) Elemento neutro da adição:
É válida pois o 0 pertence ao conjunto dos números Racionais.


Propriedade d) Elemento neutro da multiplicação:
É válida pois o 1 pertence ao conjunto dos números Racionais.

Propriedade e) Elemento simétrico ou oposto da adição:
É válida pois para qualquer elemento que pertença aos Racionais, o seu simétrico também pertence.

Propriedade f) Elemento inverso da multiplicação:
É válida pois para qualquer elemento que pertença aos Racionais, o seu inverso também pertence.

Propriedade g) Propriedade distributiva da multiplicação de uma adição:
É válida pois para qualquer elemento que pertença aos Racionais, a igualdade abaixo é verdadeira:

Por satisfazer todas as propriedades, temos que os números Racionais formam um corpo.

Exercício 2: Por que o conjunto dos números Naturais (ℕ) não é um corpo?
Por não possuir números negativos contata-se que a propriedade e) não pode ser cumprida. Além dela, a Propriedade f) também não.

Exercício 3: Por que o conjunto dos números Irracionais (𝕀) não é um corpo?

Por não possuir os números 0 e 1, não satisfaz as Propriedades c) e d).
Surge, destas propriedades, a seguinte Proposição:

Proposição 1: Para todo conjunto que seja um corpo, é verdadeiro:
1 - O elemento neutro é único;
2 - A unidade é única;
3 - Para cada elemento x do conjunto, existe um único elemento simétrico;
4 - Para cada elemento x do conjunto, existe um único elemento inverso multiplicativo;
5 - Se a,b,c pertencem ao conjunto de tal forma que a+b = a+c então, b = c;
6 - Dados a,b que pertençam ao conjunto, é verdadeiro:
-(-a) = a
-(a+b) = (-a) + (-b)
(-a)*b = a*(-b)
(-a)*(-b) = a*b
7 - Dados a,b que pertençam ao conjunto, é verdadeiro dizer que:
a*b = 0 se, e somente se, a = 0 ou b = 0
8 - Dados a,b que pertençam ao conjunto e sejam diferentes de zero, é verdadeiro dizer que:
(a⁻¹)⁻¹ = a
(a*b)⁻¹ = a⁻¹ * b⁻¹

Definição 2: Um corpo ordenado é um corpo K que possua um subconjunto P não vazio denominada conjunto dos números positivos de K, tal que:
a) Para todo a,b ∈ P tem-se que a+b e a*b ∈ P.
b) Para cada a ∈ K uma e somente uma das afirmativas abaixo é verdadeira:
ou a = 0, ou a ∈ P ou -a ∈ P

Definição 3: Seja C um corpo ordenado e seja S um subconjunto não vazio de C, define-se que:
a) S é limitado superiormente em C caso exista algum termo a ∈ C que seja maior ou igual a todos os termos de S. Dizemos nesse caso que a é uma cota superior de S em C. Se a for a menor cota superior de S em C, chamamos a de supremo de S em C.
b) S é limitado inferiormente em C caso exista algum termo b ∈ C que seja menor ou igual a todos os termos de S. Dizemos nesse caso que b é uma cota inferior de S em C. Se b for a menor cota inferior de S em C, chamamos b de ínfimo de S em C.
c) S é limitado em C quando possui cota inferior e superior em C.

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Exercício resolvido:
Exercício 4: Mostre que o conjunto A = [3, 10) é limitado em ℝ.
De fato, basta tomarmos 2 ∈ ℝ e 15 ∈ ℝ, onde 2 é uma cota inferior e 15 é uma cota superior. No caso temos 3 como ínfimo de A em ℝ e 10 como supremo de A em ℝ.

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Em outras palavras, o supremo de um conjunto é um valor tal que seja maior ou igual a todos os valores do conjunto porém não existe valor "intermediário" entre ele e o maior valor do conjunto. Esta afirmação só é verdadeira quando o supremo é o próprio maior valor do conjunto.
O raciocínio análogo ocorre para o ínfimo, devendo ser ele o menor valor do conjunto.

Definição 4: Um corpo ordenado completo é um conjunto tal que todo subconjunto dele, limitado inferiormente, admite ínfimo nele.

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Exercício resolvido:
Exercício 5: Mostre que ℚ não é um corpo ordenado completo.
Dado o conjunto A = {x ∈ ℚ / x² > 2} temos que o ínfimo do conjunto √2 ∉ Q. Desta forma, este subconjunto de ℚ não possui ínfimo em ℚ, mas apenas em ℝ. (Veja também: Mostre que √2 não é Racional).

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O conjunto dos ℝ é um corpo ordenado completo.

PS: O conjunto dos números Naturais pode ser definido com o 0 (zero) ou sem ele. Esta definição fica a critério do professor.

Carros usados e carros novos: a assustadora verdade sobre o custo dos carros

Se está pensando em trocar de carro, saiba como calcular o custo mensal de um carro usado ou um carro novo e descubra valores que vão além da prestação.

Ter um carro novo é o sonho de muitos brasileiros.

Diversas são as concessionárias, os comerciais e os massivos meios de propaganda que envolvem o seu dia-a-dia e o fazem acreditar que ter um carro novo o tornará uma pessoa melhor e mais respeitada.

A verdade é que essa briga é desigual e lamento lhe informar, mas você já começa perdendo.

São milhares de profissionais de marketing trabalhando nisso, edifícios de dezenas de andares, tomados por computadores e pelos melhores profissionais da área, que estão o estudando e o analisando, 24 horas por dia, para fazerem você acreditar que o que você precisa é comprar um carro novo.

Porém, todo este trabalho é feito para levá-lo a agir pelo impulso, pela emoção, e nada melhor do que os números para alimentar a razão e fazê-la tomar as rédeas da situação.

Neste post iremos mostrar como calcular quanto um carro usado ou novo lhe custa por mês e você vai descobrir que este valor vai muito além da prestação.

Com esta estimativa mensal fica muito mais fácil saber se aquele seu carro dos sonhos cabe no seu bolso ou se é melhor esperar um pouco ou talvez, procurar outro mais barato.

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Vamos ao que interessa.

Como no Brasil, diversas são as formas de comprar a prazo variando entre número de parcelas e juros por mês, o cálculo inicial será feito imaginando que o carro será pago à vista, sem pagamento de juros. 

Assim, caso esteja pensando em comprar um carro parcelado, some o juros (somente o juros, e não a parcela) pago ao valor final obtido.

Vamos às contas:

Irei conduzir os cálculos de forma exemplificada, para facilitar sua leitura e sua compreensão.

Digamos que o carro pretendido por você custe R$35.000,00.

Neste caso, a compra desse carro consiste em uma decisão simples:

- Ou você fica com os seus R$35.000,00

- Ou você troca esse dinheiro pelo carro.

Apenas para que fique claro, vale ressaltar que ao comprar o carro, você está abrindo mão de ter o dinheiro e todos os benefícios que este dinheiro pode lhe trazer em prol do conforto de ter um carro.

Assim, o rendimento de R$175,00 por mês (considerando 0,5% de rendimento na poupança, o que é muito conservador já que a poupança tem rendido mais que isso os últimos dias e você pode aplicar em outros investimentos melhores) é um valor que você estaria deixando de ganhar para ter o seu carro.

Começamos assim com o primeiro valor do montante: R$175,00 / mês = R$2.100 / ano (sem considerar juros sobre juros).

O segundo valor é a desvalorização do seu veículo. Este valor varia bastante, pois carros novos desvalorizam mais no primeiro ano, enquanto carros semi-novos ou usados desvalorizam menos. Vamos considerar uma desvalorização de 10% ao ano.

Temos assim o segundo valor: R$3.500,00 / ano

Em seguida, custos de uso como combustível e manutenção. Estes valores, é claro, vão variar dependendo de quanto você usa seu carro, além de que carros usados geram mais manutenção. 

Um valor médio e realista de custo de manutenção para alguém que roda em média 1.500 km / mês (considerando pneus, óleo, filtros, limpador de pára-brisa, etc) seria: R$300,00 / mês = R$3.600,00 / ano

Para o combustível: R$400,00 / mês = R$4.800,00 / ano

Ainda faltam o seguro do carro e o IPVA, ambos variando de acordo com estado/região onde você reside.

Um seguro razoável para um carro deste valor poderia ser de R$1.000,00 / ano

O IPVA, considerando que seja de 3% (incluso seguro obrigatório e outras taxas que são pagas junto), R$1.050,00

Assim, temos:

Gasto	Valor por ano
Poupança	R$2.100,00
Desvalorização	R$3.500,00
Manutenção	R$3.600,00
Combustível	R$4.800,00
Seguro	R$1.000,00
IPVA	R$1.050,00
TOTAL	R$16.050,00

Dividindo o valor total por 12 para termos o gasto por mês, teremos que este carro irá custar, R$1.337,50 / mês

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Como foi visto, este valor é uma aproximação para um caso específico e bem definido, porém com esta metodologia você pode calcular quanto custa para o seu caso. Há quem pense que este método é muito preciosista e acaba levando em consideração custos que são exageros, como o caso do rendimento na poupança. Mas isso não é verdade. Considerar o rendimento do seu dinheiro é algo que deve ser feito e enfatiza a relação de troca entre o dinheiro e o carro.

Para ajudá-lo a calcular para o seu caso, seguem algumas dicas:

- O rendimento da Poupança é bastante simples, bastando saber o custo do veículo e o percentual de rendimento (em geral, 0,5%);
- Com relação à desvalorização, basta você pegar o valor médio do carro que quer comprar e o valor do mesmo carro com 1 ano a mais de uso;
- A manutenção vai depender da intensidade com que você usará o carro. Um carro comprado para viajar todos os dias certamente dará mais manutenção do que outro comprado apenas para ir ao trabalho;
- O consumo de combustível pode ser feito com a quilometragem que se deseja andar e o consumo do carro. Se a sua média é de 2.000 km / mês e o consumo do carro é de 15 km/l, seu gasto será de 133,333 litros. Para o combustível custando R$3,50 temos R$466,67 / mês = R$5.600,00 / ano, por exemplo ;
- O seguro é um valor fácil de encontrar com pesquisas na internet e;
- O IPVA é definido com base no estado que o carro é emplacado.

Agora, antes de comprar o seus próximos carros usados ou novos, faça alguns cálculos para depois não se surpreender e acabar endividado.

Exercício Resolvido - Resistência Equivalente Circuito 5

Calcule a resistência equivalente da associação mista de resistores entre os pontos A e B no circuito abaixo:

Circuito 5

Solução:

Inicialmente, é importante dar nomes aos pontos:

Verificamos que há um curto entre os pontos C e D. Como já comentado nos outros casos, a melhor forma de visualizar a disposição dos resistores é unindo os pontos ligados por curto. Neste caso, os pontos C e D tornam-se um ponto só. Assim, dispomos os pontos no "espaço" e vamos unindo-os com o que houver entre eles, da seguinte forma:

Entre os pontos A e B há uma resistência;

Entre os pontos A e C há uma resistência;

Entre os ponto A e D há uma resistência;

Entre os pontos C e B há uma resistência;

E, finalmente, entre os pontos D e B há uma resistência;

Agora fica fácil visualizar o circuito, que deve ser resolvido iniciando pelos resistores em paralelo.

Como devemos calcular a resistência equivalente entre A e B, temos que os resistores R/2 estão em série (neste momento o ponto C//D pode ser eliminado).

Restando dois resistores em paralelo. Assim, a resistência equivalente entre A e B é R/2.

< CIRCUITO 4

Exercício Resolvido - Resistência Equivalente Circuito 4

Calcule a resistência equivalente da associação mista de resistores entre os pontos A e B no circuito abaixo:

Circuito 4

Solução:

Utilizando a estratégia de unir pontos ligados por um curto, pode-se perceber que as resistências de 80Ω estão em paralelo, tendo como resistência equivalente uma de 40Ω.

Temos, agora, as resistências de 60Ω e de 40Ω em série que, somadas, geram uma resistência equivalente de 100Ω

ficando as duas resistências de 100Ω em paralelo. Calculando a resistência equivalente temos:

Assim, as resistências de 150Ω e de 50Ω ficam em série. Somadas temos uma resistência equivalente de 200Ω em paralelo com a outra de 200Ω.

Resolvendo esta associação em paralelo, temos que a resistência equivalente entre os pontos A e B é de 100Ω.

< CIRCUITO 3                                                                           CIRCUITO 5 >

5 Exercícios Resolvidos de Associação de Resistores Para Você Fixar o Assunto

5 questões resolvidas sobre associação de resistores com associação mista em série e em paralelo

Associação de resistores é um assunto que comumente aparece em concursos e vestibulares e apesar de não ser dos assuntos mais complicados, por vezes confunde muitos alunos.

É importante ressaltar que os cálculos para obtenção do resistor equivalente de uma associação de resistores partem do princípio de que a resistência respeita a Lei o Ohm, onde não há mudança no valor absoluto de cada resistor em função da polaridade, da tensão aplicada ou da temperatura. Assim, a corrente que atravessa o resistor é diretamente proporcional à diferença de potencial aplicada nos seus terminais. Neste caso, existem dois tipos básicos de associação de resistores (série e paralelo) que serão abordados neste post.

ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM SÉRIE

A associação de resistores em série é aquela em que a corrente que percorre os resistores é a mesma pois não há possibilidade da corrente elétrica percorrer outro caminho.

Veja na figura acima que se existir uma tensão aplicada nos terminais AB, uma corrente elétrica irá percorrer as resistências e esta corrente só pode ser a mesma em todas elas, já que não há outro caminho senão o saindo de A e indo para B para que a corrente possa percorrer. Assim, a tensão entre os pontos A e B será a soma das tensões nos resistores R1, R2, R3 e R4. Porém, a tensão em cada resistor é a corrente multiplicado pelas resistências. Assim:

Assim, como a voltagem aplicada entre dois pontos é calculada por VAB = Req*i temos que a resistência equivalente será:

Req = R1 + R2 + R3 + R4

ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM PARALELO

A associação de resistores em paralelo existe quando a diferença de potencial aplicada nos resistores é a mesma. Veja o esquema abaixo.

Aplicando uma diferença de potencial entre os pontos A e B, todos os resistores R1, R2, R3 e R4 experimentarão a mesma tensão. Com isso, a corrente que passa por A e B não será igual às correntes em cada resistor. Teremos que:

i = i1 + i2 + i3 + i4

Mas, segundo a Lei de Ohm, a corrente em cada resistor pode ser calculada por:

Então:

Onde podemos concluir que:

Desta forma, conhecendo a associação em paralelo e a associação em série de resistores, uma técnica para calcular a resistência equivalente de um circuito é identificar os pontos unidos por curtos circuitos e uni-los.

Para fixar a teoria, temos 5 exercícios resolvidos sobre associação mista de resistores:

Veja também:

5 Exercícios Resolvidos Clássicos de MRU e MRUV para Você Fixar o Assunto

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Calcule a resistência equivalente da associação mista de resistores entre os pontos A e B nas figuras abaixo:

Circuito 1

SOLUÇÃO DA ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES 1

Circuito 2

SOLUÇÃO DA ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES 2

Circuito 3

SOLUÇÃO DA ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES 3

Circuito 4

SOLUÇÃO DA ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES 4

Circuito 5

SOLUÇÃO DA ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES 5

Exercício Resolvido - Resistência Equivalente Circuito 3

Calcule a resistência equivalente da associação mista de resistores entre os pontos A e B no circuito abaixo:

Circuito 3

Solução:

Neste exercício todos os resistores possuem o mesmo valor R. Para facilitar como as resistências estão associadas, basta tornar os pontos ligados por um curto como únicos.

Assim, os pontos A e D são os mesmos, assim como os pontos C e B. O circuito pode ser rearranjado conforme a seguir:

Onde percebemos, facilmente, que todas as resistências estão em paralelo. Logo, a resistência equivalente, neste caso, é R/3.

< CIRCUITO 2                                                                    CIRCUITO 4 >

Exercício Resolvido - Resistência Equivalente Circuito 2

Calcule a resistência equivalente da associação mista de resistores entre os pontos A e B no circuito abaixo:

Circuito 2

Solução:

O resistor de 2Ω entre os pontos D e F e o resistor de 4Ω entre os pontos F e E estão em série e podem ser somados, ficando:

As duas resistências de 6Ω entre os pontos D e E estão em paralelo. Utilizando a regra da assossiação de resistores em paralelo, o circuito fica:

Como é possível observar, os resistores de 3Ω entre os pontos D e E e os pontos E e C estão em série. Somando-os temos um resistor de 6Ω, como pode ser visto a seguir:

Observa-se que os resistores de 6Ω estão em paralelo. Calculando-os temos:

Seguindo o mesmo raciocínio, percebe-se que os resistores de 3Ω estão em série, resultando num resistor de 6Ω, que estará em paralelo com o resistor de 6Ω já existente.

Calculando a resistência equivalente da associação em paralelo dos resistores de 6Ω, temos:

Assim, ficam restando apenas duas resistências em série, uma de 1Ω e outra de 3Ω. Somando-as, temos a resistência equivalente entre os pontos A e B = 4Ω.

< CIRCUITO 1                                                                              CIRCUITO 3 >

Aerodinâmica: Por que as aves voam em V?

Veja neste artigo será explicado o porquê das aves voarem em "V"

FIgura1 - Pássaros voando em "V". Imagem retirada de http://www.cute-calendar.com/event/international-migratory-bird-day/13923.html

1. Introdução

Ao observar os pássaros é que o ser humano desenvolveu e vontade e a curiosidade em voar. 

Isso se revela nos primeiros projetos de aeronaves que assemelhavam-se muito com o modo de voo dos pássaros onde a propulsão e a sustentação deveriam ser geradas pelo bater das asas. Sabe-se porém, que estes projetos não tiveram sucesso e que apenas quando o homem separou a propulsão aeronáutica da sustentação com o uso de motores independentes das asas, é que a aviação passou a ser viável e as primeiras aeronaves saíram do chão. 

Porém o fascínio pela elegância e facilidade de voo dos pássaros continua até os dias de hoje a atrair olhares e a admiração do homem que a medida que avança seus estudos percebe que a natureza age de forma eficiente em sua totalidade. Não poderia ser diferente com o voo dos pássaros que em geral, quando voam em bando, adotam uma formação em “V”. Neste trabalho será feito um breve e simplificado estudo mostrando, teoricamente, que esta formação reduz o desgaste das aves pois passa a ser um modo mais eficiente de voo comparado com o voo individual.

2. Objetivo

Este trabalho tem por objetivo fazer uma análise teórica sobre a formação de voo das aves.

3. Introdução teórica

Para que se possa compreender as análises feitas neste trabalho há a necessidade de um conhecimento introdutório básico sobre aerodinâmica da asa, o que será feito aqui de forma superficial - já que o assunto é bastante complexo e não é o objetivo expor toda a teoria – porém suficiente para que se possa entender o que esta sendo dito e analisado.

3.1. Sustentação e arrasto

Na aerodinâmica existem duas forças primordialmente importantes: a sustentação e o arrasto. A sustentação é a força, por definição, com direção perpendicular à direção do escoamento que chega em um corpo e, portanto, é a força responsável por manter os corpos voando. Em essência a sustentação existe, pois, o escoamento que chega num corpo é defletido conforme pode ser observado na Figura 3.1 e, portanto, ao sair deste corpo segue em direção diferente da que chegou, assim, pelo 3ª Lei de Newton, uma força com mesma intensidade da que causou a deflexão passa a agir no corpo causador.

Figura 3.1 - Em preto a deflexão do escoamento devido à presença de um corpo. Em vermelho as forças de sustentação e de arrasto. Imagem retirada de http://pordentrodaciencia.blogspot.com.br/ 

O arrasto é a força perpendicular à sustentação e paralela ao escoamento tendo mesma direção e sentido do escoamento. Esta força existe devido ao atrito entre o escoamento e o corpo, pela diferença de pressão que possa existir a montante e a jusante do corpo e pelo fato de os corpos serem limitados, ou seja, não terem comprimento infinito na direção perpendicular ao escoamento saindo da folha (perpendicular à sustentação a ao arrasto), como caracteristicamente ocorre com as asas. Este último arrasto é chamado de arrasto induzido e será melhor detalhado a seguir.

3.2. Bordo de ataque, bordo de fuga, intradorso, extradorso, corda e ângulo de ataque

Em um corpo submetido a um escoamento alguns nomes são estabelecidos e habitualmente usados em aerodinâmica, são eles:

1. Bordo de ataque: é a região mais a montante de uma asa ou de um perfil. Esta região é a que “recebe” o escoamento e em perfis aerodinâmicos o raio do bordo de ataque traz características importantes para o seu comportamento. Um exemplo é o de uma placa plana que possui o raio de seu bordo de ataque nulo (considerando que ela é muito fina) e por isso tem propriedades totalmente diferentes das dos perfis comumente usados em aviões que voam abaixo da velocidade do som.
2. Bordo de fuga: é a região mais a jusante de uma asa ou de um perfil. Em geral esta região é muito fina e tem seu raio tendendo a zero. Não se costuma registrar o raio do bordo de fuga pois deseja-se que este seja muito pequeno já que isto contribui para melhores propriedades aerodinâmicas em voo.
3. Intradorso: Costuma-se chamar a parte inferior de uma asa ou de um perfil de intradorso pois esta palavra esta relacionada à região côncava de um arco. Em geral os perfis usados em aeronaves são curvados (ou arqueados) e talvez por esse motivo passou-se a utilizar esta palavra para designar a parte “de baixo” de uma asa ou perfil, mesmo que alguns perfis não apresentem concavidade nesta região.
4. Extradorso: É a parte superior da um perfil ou asa em contradição ao intradorso.
5. Corda: É a linha que une o ponto mais a montante de um perfil posto sobre uma “mesa plana” ao ponto mais a jusante deste perfil.
6. Ângulo de ataque: é o ângulo formado pela corda e a direção do escoamento não perturbado. Um ângulo de ataque positivo é aquele na qual o bordo de fuga do perfil encontra-se mais abaixo do bordo de ataque. Em geral, nesse caso, há sustentação positiva, como pode ser visto na Figura 3.1.

Figura 3.2 – Representação do bordo de ataque e do bordo de fuga de um perfil aerodinâmico. Imagem retirada de http://blogs.estadao.com.br/livio-oricchio/2006/page/14/

Figura 3.3 – Esboço de um perfil aerodinâmico com a representação da sua corda e o ¼ de corda. 

3.3. Circulação

Como vimos anteriormente, um corpo imerso em um escoamento e em dada condição, gera uma deflexão da direção deste escoamento e, como reação, passa a existir uma força neste corpo. Porém, esta força se apresenta como uma diferença de pressão que passa a existir na parte superior (extradorso) e inferior (intradorso) deste corpo. 

O que se observa experimentalmente e teoricamente em corpos aerodinâmicos (perfis) imersos em escoamentos, como o da Figura 3.1, é que existe uma distribuição de pressão sobre sua superfície e que a sustentação é a força consequente desta distribuição e tem sua resultante a, aproximadamente, ¼ da corda do perfil partindo do bordo de ataque, como pode ser visto na Figura 3.3. 

Porém, para que exista uma queda de pressão em algum ponto em relação à pressão do escoamento não perturbado, há a necessidade de que a velocidade do escoamento, neste ponto, seja maior que a velocidade do escoamento não perturbado, para que se conserve a energia – neste caso a energia potencial está relacionada à pressão e a cinética à velocidade do ar. Assim, como há no perfil uma distribuição de pressão, há também uma distribuição de velocidades.


Também como consequência, quando existe sustentação, a pressão média em uma das superfícies do perfil é menor que na superfície oposta e neste caso, a velocidade média nesta superfície é maior que na outra. Assim, devido a esta diferença de velocidades em torno de uma linha fechada (fronteira do perfil), dizemos que existe uma circulação na fronteira deste perfil. Portanto, desta análise, conclui-se que para que exista sustentação num corpo é necessário que existe uma circulação na fronteira deste corpo.

3.4. Linha sustentadora de Prandtl

Baseado no exposto anteriormente foi estabelecida uma teoria simplificada para cálculo da sustentação baseando-se na circulação. Desta forma, uma asa é simplificadamente apresentada como uma linha no seu ¼ de corda (linha onde a resultante da sustentação atua), na qual existe uma circulação em torno desta linha (muito análogo a um fio que passa corrente elétrica e em torno deste existe um campo magnético).


Da mesma forma que no caso elétrico, uma corrente não pode existir de forma permanente e contínua sem que exista um circuito fechado (um anel, por exemplo). Assim, ao existir uma circulação em torno da linha a ¼ de corda da asa, há a necessidade de existir uma circulação nos extremos desta asa e numa linha paralela à linha a ¼ de corda da asa, mas que não acompanha a asa, e sim permanece no ponto onde a circulação deu origem. A circulação quando atua no escoamento gera nele um movimento circular livre chamado de vórtice (Figura 3.5).


De forma mais clara, se uma asa está parada a circulação nela é nula. No momento em que ela passa a ter uma velocidade, surge nela uma circulação – e vamos considerar que esta permanece constante. Para compensar esta circulação surge uma circulação de mesma intensidade, porém em sentido contrário, no exato ponto onde a asa iniciou seu deslocamento. Esta circulação permanece neste local indefinidamente se imaginarmos que não exista atrito no ar (viscosidade).


Além dessas duas circulações, como a asa é finita e a pressão em um dos lados dela (intradorso ou extradorso) é maior que no outro, há uma tendência do escoamento sair do lado de maior pressão e ir para o lado de menor pressão. Isto ocorre onde a asa termina, pois não existe a barreira física que impede que isso ocorra, desta forma, a medida que a asa se desloca ela deixa uma linha contínua de circulação (vórtices) nos seus dois extremos e, como se pode perceber intuitivamente, esses vórtices têm direções opostas. 

Assim, a teoria da linha sustentadora de Prandtl é uma linha fechada na qual há circulações em torno, conforme pode ser observado na Figura 3.4.

Figura 3.4 – Esboço de como a linha sustentadora de Prandtl é utilizada teoricamente em substituição a uma asa.

Figura 3.5 – Nas nuvens é possível perceber os vórtices causados pela circulação na ponta da asa de um avião.

3.5. Arrasto induzido

A existência dos vórtices na ponta da asa traz consequência para o desempenho aerodinâmico desta asa pois nesta região passa a existir uma velocidade perpendicular à direção do escoamento (de cima para baixo) que inicialmente não existia. Esta velocidade faz com que a asa nesta região enxergue o escoamento de forma diferente, causando uma alteração no ângulo de ataque como pode ser observado na Figura 3.6.

Figura 3.6 - Desenho esquemático da interferência dos vórtices de ponta de asa nas forças aerodinâmicas. É possível perceber que o ângulo de ataque efetivo se reduz e que a sustentação e o arrastos, como são definidos com base na direção do escoamento, têm suas direções alteradas.

Na Figura 3.6 pode-se visualizar que a interferência dos vórtices de ponta de asa altera o ângulo de ataque local. A redução do ângulo de ataque causa uma queda na sustentação (até a condição limite na extrema ponta da asa onde a sustentação passa a ser nula) e como a sustentação é definida como sendo perpendicular à direção do escoamento, ela também sofre uma leve deflexão em relação aos eixos x e y, assim como o arrasto.


Ao decompor as forças de arrasto e sustentação nas direção dos eixos x e y percebemos que a sustentação na direção x passa a ser muito menor que no caso não perturbado, pois além da intensidade do vetor ser menor a sua componente na direção x é ainda menor. Além disso, existe ainda uma componente do arrasto que passa a ser negativa na decomposição no eixo x, reduzindo ainda mais a sustentação.


Além da componente em x, a sustentação possui componente na direção y também, que se soma ao arrasto. Como a sustentação é, em geral, maior que o arrasto, essa componente de arrasto vinda da decomposição da sustentação é significativa. Esta componente y da sustentação que se soma ao arrasto, chamamos de arrasto induzido.

Desta forma concluímos que os vórtices causados na ponta da asa causam uma redução na sustentação e um aumento no arrasto pelo acréscimo do arrasto induzido.

4. Formação de voo das aves

Com o que foi exposto até aqui é possível, de forma intuitiva, justificar o motivo que garante mais eficiência para o voo em “V” das aves. Como foi percebido, para que exista sustentação em um corpo, este deve ter em seu entorno uma circulação e para que exista esta circulação é necessário que este corpo induza vórtices nos extremos livres das asas. Estes vórtices nos extremos livres da asa agem de forma a reduzir a sustentação e aumentar o arrasto, o que reduz duplamente a eficiência aerodinâmica (que é obtida pela divisão da sustentação pelo arrasto).

Considerando (de forma aproximada) que os pássaros são asas isoladas voando, então cada um deles emite vórtices nas pontas das asas. Como a formação de voo deles é em “V”, os vórtices emitidos pelo pássaro da frente interagem com os emitidos pelo pássaro de trás, porém a interação ocorre de forma a cancelar os vórtices gerados pelo pássaro de trás, já que devido à formação de voo deles o pássaro de trás à esquerda tem sua asa direita interferida pelos vórtices causados pela asa esquerda do pássaro da frente.


Assim, como esses vórtices gerados por cada um deles têm direção contrária, reduz-se significativamente a velocidade induzida pelos vórtices no pássaro de trás, reduzindo seu arrasto induzido e aumentando sua sustentação nessa região, aumentando significativamente a eficiência aerodinâmica.

Diferentemente do que se possa pensar, a formação em voo adotada pelas aves beneficia também o pássaro líder, mesmo que esse benefício seja menor que das outras aves. Isso ocorre pois como o voo adotado pelas aves é em velocidade baixa (menor que a velocidade do som - na verdade muito menor que a velocidade do som), as perturbações causadas pela ave de trás são sentidas pela ave da frente, melhorando a eficiência de voo desta também. Para que se possa ter uma noção dos ganhos desta formação, utilizando-se três asas retas em formação, conforme pode ser visto na Figura 4.1, os ganhos em eficiência da asa líder são de 15% e das outras duas, de 30% (Vasco, 1997).

Figura 4.1 – Esquema de três asas em formação (Vasco, 1997).

5. Conclusão

Quando se pensa em aeronave sempre o arrasto é um obstáculo que dificulta e limita o desempenho de toda aeronave. Da mesma forma, as aves sentem essa dificuldade, porém com trabalho em conjunto mitigam esses efeitos negativos e conseguem voar maiores distâncias quando em grupo, simplesmente minimizando os efeitos dos vórtices de ponta de asa que inevitavelmente se fazem presente.

Na indústria aeronáutica há muito tempo se conhece os malefícios causados pelo arrasto induzido e assim como as aves, tenta-se reduzir seus efeitos. Atualmente essa redução é feita com o uso de “Winglets” na ponta das asas, que agem como uma barreira física para que o escoamento do intradorso não contorne a ponta da asa gerando vórtices e os resultados desta ferramenta são significativos a ponto de hoje quase a totalidade dos aviões comerciais e executivos terem esse recurso.

Um dos pontos que trazem grande transtorno é que a aeronave existe por sua capacidade de gerar sustentação e o arrasto induzido existe justamente pela existência dela de forma que não se pode cancelar o surgimento dos vórtices, mas apenas reduzir seus efeitos.

Figura 5.1 – Aeronave com winglet para reduzir o arrasto induzido.

Figura 5.2 - Pássaros voando em "V". Imagem retirada de http://www.vocesabia.net/animais/por-que-os-passaros-voam-formando-um-v/

6. Referências

BREDERODE, Vasco. Fundamentos de Aerodinâmica Incompressível.  IDMEC. Ed. do Autor. 1997.

ANDERSON, J. D. Fundamentals of Aerodynamics. 5th ed. McGrawHill. 2011.

Material didático, Engenharia Aeronáutica - Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA)