Exercício Resolvido - Teorema do Valor Intermediário

Usando o Teorema do Valor Intermediário (T.V.I.), mostre que a equação abaixo possui alguma raiz negativa: 

7x²°¹³ − 2x +1= 0 

Solução:

Obs.: O teorema do valor intermediário diz que se uma função é contínua num intervalo [a,b] e se existe um valor k tal que:

f(a) < k < f(b)

então, existe um valor c tal que f(c) = k.

Este teorema é bastante intuitivo, basta perceber que se uma função é contínua e se ela passa por dois valores, então ela passou por todos os que estão entre eles.

Exemplo:

f(x) = x² + x + 3

f(0) = 3

f(2) = 9

Assim, para qualquer valor k entre 3 e 9 existe um c Є [0,2] tal que f(c) = k, veja:

Para k = 5, c = 1

Para k = 6, c = 1,30278 

Para k = 7,5, c = 1,679

...

Voltando ao exercício:

Temos então:

f(x) = 7x²°¹³ − 2x +1

Assim:

f(0) = 1

f(-1) = 7*(-1) + 2 + 1 = -7 + 3
f(-1) = -4

Assim, basta adotar k = 0 (que esta entre [-4,1]) e, com base no teorema do valor intermediário, garantimos que existe um c Є [-1,0] tal que:

f(c) = k = 0.

Exercícios relacionados:
http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2013/03/exercicio-resolvido-raiz-de-polinomio.html

Exercício Resolvido - Assíntotas

Determine todas as assíntotas das funções abaixo:

a) (2x - 1) / (x - 3)

b) (x² + 3) / (x + 1)

Solução:

Obs.: Assíntota é uma reta na qual uma equação tende a ela no infinito porém nunca chega a ela. Desta forma, dada uma função f(x), se y = ax + b é sua assíntota, então:

a)

Assim, para tirar o x do denominador, temos:

simplificando o x e eliminando os termos constantes divididos por x, pois eles tendem a zero, temos:

Assim, percebemos que a deve ser zero, pois se não for, o limite tenderia a infinito. Ainda, se a = 0 teremos que para que o limite seja nulo:

2 - b = 0, logo, b = 2

Assim, a reta assíntota neste caso é:

y = 2.

Abaixo o gráfico da função e da assíntota y = 2, para x tendendo a infinito positivo e negativo:

b) Analogamente temos:

Assim, para que o limite seja nulo, devemos ter:

1-a = 0, logo a = 1

a + b = 0, logo b = -1

Assim, a reta assíntota neste caso é:

y = x - 1

Abaixo o gráfico da função e sua assíntota:

Perceba também que as retas x = 3 (no exercício a) e x = -1 (no exercício b) também são assíntotas já que esse valor de x é uma descontinuidade da função e a medida que x se aproxima destes valores, a função tende a infinito (infinito positivo ou infinito negativo, dependendo da direção de aproximação).

Exercício resolvido - Continuidade de função

Considere a função real definida por:

Para qual valor de k a função é contínua?

Solução:

Inicialmente, devemos definir o domínio dessa função e como sabemos que não podemos ter valores negativos dentro das raízes temos que:

1 + x > 0, logo, x > -1

1 - x > 0, logo, x < 1

-1 < x < 1

Ainda, não podemos ter denominador nulo, logo:

1 + x ≠ 1 - x

2x ≠ 0

x ≠ 0. 

O que é respeitado quando dizemos que para x = 0, f(x) = k.

Agora, para saber a continuidade devemos fazer o limite da função f(x) para x tendendo a zero.

Para isso:

Simplificando o x:

Logo, para que f(x) seja contínua, k = 1.

Exercício resolvido - Quantidade de movimento

Dois objetos, A e B, movendo-se sem atrito sobre uma reta horizontal, estão em interação. A quantidade de movimento de A é QDMA = Po - bt, onde Po e b são constantes e t é o tempo. Determine a quantidade de movimento de B como função do tempo quando a) B está inicialmente em repouso e b) a quantidade de movimento inicial de B é igual a -Po. 

Solução:

O fato de os blocos estarem interagindo significa, quando falamos de quantidade de movimento, que a quantidade de movimento de ambos permanece constante, já que não há força externa (atrito, por exemplo) agindo nos blocos.

Com isso:

a)

Para t = 0, a quantidade de movimento de A é Po e a quantidade de movimento de B é zero, pois B esta em repouso. Assim, a quantidade de movimento total será:

QDMT = QDMA + QDMB =  Po + 0 = Po

Para t = t, teremos que a quantidade de movimento total não muda, pois como já foi dito, não há força externa atuando no sistema. Assim:

QDMA = Po - bt

QDMB = QDMB

Sabemos que:

QDMA + QDMB = Po

(Po - bt) + (QDMB) = Po

QDMB = bt

b)

De forma análoga:

Para t = 0:

QDMA = Po

QDMB = -Po

A quantidade de movimento total será:

QDMT = Po - Po = 0

Para t = t

QDMA = Po - bt

QDMB = QDMB

Sabemos que:

QDMA + QDMB = 0

(Po - bt) + (QDMB) = 0

QDMB = bt - Po

Exercício Resolvido - Resistência equivalente

Cálculo da resistência equivalente

Calcule a resistência equivalente entre os pontos A e B:

Solução:

Como no circuito existem alguns trechos em curto circuito, facilita a visualização se transformarmos esses curtos em pontos.

Temos curtos circuito entre os pontos:

CH, DG e EF.

O resistor elétrico DE e o resistor FG estão em série, formando uma resistência equivalente de 2 Ω. Porém esta resistência equivalente esta em paralelo com o curto DG, logo é como se ela não existisse. Assim, o novo circuito ficaria:

Transformando os curtos circuitos CH e DG em pontos teremos:

Agora, é fácil perceber que há uma associação de resistores em paralelo para os resistores de 8 Ω (AC e AH), o mesmo acontece com os resistores de 12 Ω (HD e HG).

Assim, no trecho AH temos como resistência equivalente 4 Ω, e no trecho HG a resistência equivalente é de 6 Ω.

Veja também:
5 Exercícios Resolvidos de Resistência Equivalente Para Você Fixar o AssuntoExercício Resolvido - Resistência Equivalente de circuito misto
Exercício Resolvido - Resistência Equivalente: VESTIBULAR UERJ 2011
Quando a ddp numa ponte de Wheatstone é zero ?

Assim, há a associação de resistores em série para HG e GB, tendo como resistência equivalente 12 Ω. Mas esta resistência equivalente de 12 Ω esta associada em paralelo com o resistor HB.

Assim, a resistência equivalente entre os pontos HB é de 6 Ω.

Logo, a resistência total entre os pontos AB é de 4 + 6 = 10 Ω

Espero que este exercício contribua para os leitores. Qualquer dúvida deixe nos comentários.