Exercício resolvido - Derivada de função inversa
Sendo f(x) = x³ + x² + 4x, calcule a derivada de sua função inversa no ponto o qual y = 6.
Essa questão foi tirada do livro "Fundamentos de Matemática Elementar Vol 8".
Solução:
Dedução do teorema da derivada inversa.
Seja f(x) = y uma função de x.
Assim, seja 'g' a inversa de f(x), ou seja, g(y) = x.
Exemplo:
f(x) = 3x + 4
y = 3x + 4
x = (y - 4) / 3 = g(y)
Vale ressaltar que a função do exemplo é bijetora em qualquer intervalo real. Por isso admite inversa em qualquer intervalo.
O que queremos é a derivada da inversa de f(x), ou seja, g ' (y).
Sebe-se que
g(y) = x
Logo, f(g(y)) = y
Utilizando o teorema da derivada composta, derivando dos dois lados em relação a y, temos:
f '(g(y))*g '(y) = 1
g '(y) = 1 / f '(g(y))
Mas g(y) = x
g '(y) = 1 / f '(x)
Voltando ao exercício: f(x) = x³ + x² + 4x
f '(x) = (3x² + 2x + 4)
Logo:
g '(y) = 1 / (3x² + 2x + 4)
Para y = 6, devemos achar o valor de x:
x³ + x² + 4x = 6
x³ + x² + 4x - 6 = 0
Por inspeção, percebemos que x = 1 satisfaz.
Como a função é bijetora, só admite uma solução. Porém, toda equação do terceiro grau, tem 3 soluções. Logo, as outras duas devem ser complexas.
Verificando:
Como x = 1 é raiz:
x³ + x² + 4x - 6 = (x-1)*(x² + ax + b)
x³ + x² + 4x - 6 = x³ + ax² + bx - x² - ax - b
b = 6
a = 2
x³ + x² + 4x - 6 = (x-1)*(x² + 2x + 6)
E de fato, as raízes de x² + 2x + 6 são complexas.!
Logo:
g '(y) = 1 / (3x² + 2x + 4)
g '(6) = 1 / (3*1² + 2*1 + 4) = 1 / (3+2+4) = 1/9
Essa questão foi tirada do livro "Fundamentos de Matemática Elementar Vol 8".
Solução:
Dedução do teorema da derivada inversa.
Seja f(x) = y uma função de x.
Assim, seja 'g' a inversa de f(x), ou seja, g(y) = x.
Exemplo:
f(x) = 3x + 4
y = 3x + 4
x = (y - 4) / 3 = g(y)
Vale ressaltar que a função do exemplo é bijetora em qualquer intervalo real. Por isso admite inversa em qualquer intervalo.
O que queremos é a derivada da inversa de f(x), ou seja, g ' (y).
Sebe-se que
g(y) = x
Logo, f(g(y)) = y
Utilizando o teorema da derivada composta, derivando dos dois lados em relação a y, temos:
f '(g(y))*g '(y) = 1
g '(y) = 1 / f '(g(y))
Mas g(y) = x
g '(y) = 1 / f '(x)
Voltando ao exercício: f(x) = x³ + x² + 4x
f '(x) = (3x² + 2x + 4)
Logo:
g '(y) = 1 / (3x² + 2x + 4)
Para y = 6, devemos achar o valor de x:
x³ + x² + 4x = 6
x³ + x² + 4x - 6 = 0
Por inspeção, percebemos que x = 1 satisfaz.
Como a função é bijetora, só admite uma solução. Porém, toda equação do terceiro grau, tem 3 soluções. Logo, as outras duas devem ser complexas.
Verificando:
Como x = 1 é raiz:
x³ + x² + 4x - 6 = (x-1)*(x² + ax + b)
x³ + x² + 4x - 6 = x³ + ax² + bx - x² - ax - b
b = 6
a = 2
x³ + x² + 4x - 6 = (x-1)*(x² + 2x + 6)
E de fato, as raízes de x² + 2x + 6 são complexas.!
Logo:
g '(y) = 1 / (3x² + 2x + 4)
g '(6) = 1 / (3*1² + 2*1 + 4) = 1 / (3+2+4) = 1/9