Exercício resolvido - Integral - Cálculo da área abaixo das curvas
Calcule a área gerada pela intersecção das curvas:
y1 = x³ - 6x² + 8x
y2= x² - 4x
Solução:
Para a solução desse tipo de exercício é recomendável que se estime as curvas para saber os intervalos de integração.
Por se tratarem de polinômios, este dado não é difícil de se obter.
Fazendo para y1 = x³ - 6x² + 8x = x(x² - 6x + 8)
Encontrando as raízes:
x(x² - 6x + 8) = 0
x = 0
x² - 6x + 8 = 0
Soma = 6
Produto = 8
Logo, as raízes são 4 e 2
(Este método de obtenção das raízes pela soma e produto é baseado na intuição, ou seja, verifica-se a soma das raízes (-b/a) e o produto delas (c/a) e se for possível observar os valor das raízes, como nesse caso, então não é necessário calculá-las).
Fazendo o limite de y1 para x tendendo ao infinito, temos y1 tendendo ao infinito.
O mesmo para x tendendo a -infinito -> y1 tende a -infinito.
Desta forma podemos estimar como este gráfico se comporta, veja:
Ele começa de -infinito, corta o eixo x para x = 0 e depois num ponto para x = 2 (certamente tem um ponto de máximo entre esses pontos). Após isso, corta o eixo x para x = 4 e cresce até o infinito.
Analisando y2 = x² - 4x. Como é uma equação do 2º grau, é bem fácil determinar esta curva.
Ela possui raízes x = 0 e x = 4. Como o coeficiente de x² é positivo, sua concavidade é para cima.
Com isso, pode-se estimar as duas curvas:
Em azul a curva de y1, em preto a curva de y2 e em amarela a área a ser calculada.
Agora, fica mais fácil fazer o exercício.
Devemos obter, inicialmente, os pontos onde as curvas se cortam.
Para isso, basta igualar as equações:
x² - 4x = x³ - 6x² + 8x
x(x - 4) = x(x² - 6x + 8)
x = 0 é uma solução
x-4 = x² - 6x + 8
x² - 7x + 12 = 0
Soma = 7
Produto = 12
Raízes: x = 4 e x = 3 são outras soluções.
Logo, as curvas se interceptam para:
x = 0, x = 3 , x = 4
y = 0, y = -3, y = 0
Pontos:
(0,0) , (3,-3) , (4,0)
Agora, observando a figura, temos que a primeira área varia, em x, de 0 a 3, e em y, de y2 a y1 ficando:
Devemos obter, inicialmente, os pontos onde as curvas se cortam.
Para isso, basta igualar as equações:
x² - 4x = x³ - 6x² + 8x
x(x - 4) = x(x² - 6x + 8)
x = 0 é uma solução
x-4 = x² - 6x + 8
x² - 7x + 12 = 0
Soma = 7
Produto = 12
Raízes: x = 4 e x = 3 são outras soluções.
Logo, as curvas se interceptam para:
x = 0, x = 3 , x = 4
y = 0, y = -3, y = 0
Pontos:
(0,0) , (3,-3) , (4,0)
Agora, observando a figura, temos que a primeira área varia, em x, de 0 a 3, e em y, de y2 a y1 ficando:
A segunda área varia, em x, de 3 a 4, e em y, de y1 a y2. Perceba um detalhe, que nesta segunda área a variação de y é trocada, por isso a área não pode ser calculada numa vez só, ou seja, com x variando de 0 a 4 e y de y2 a y1, pois se assim fosse feito, esta segunda área seria computada como negativa.
Assim, a área total é A1 + A2 = (135 + 7)/12 = 71/6Aula e exercício de reta e circunferência no plano
Equação da reta e da circunferência no plano
Veja também:
Aula de geometria analítica - Equação da reta7
Aula de geometria analítica - Equação da reta7
Exercício parte 1
Exercício parte 2