Exercício Resolvido - Interpolação por polinômios

  14:29      No comments   Edit
Encontre o polinômio de menor grau que interpola os pontos (-1,7), (0,3), (1, 3) e (2, 1)

Solução:
Como existem 4 pontos a serem interpolados, o polinômio de menor grau é o que possui grau 3.
p(x) = ax³ + bx² + cx + d

Agora nos resta substituir os pontos e calcular a, b, c, d.
p(-1) = -a + b - c + d = 7
p(0) = d = 3
p(1) = a + b + c + d = 3
p(2) = 8a + 4b + 2c + d = 1

De p(0) = d = 3 sabemos que d = 3.
Assim, de p(-1) temos:
-a + b - c = 4
a + b + c = 0
8a + 4b + 2c = -2

Somando -a + b - c = 4 com a + b + c = 0 temos:
2b = 4
b = 2


Substituindo:
a + 2 + c = 0  → a + c = -2 → a = -2 - c
8a + 4b + 2c = -2  → 8a + 4*2 + 2c = -2 → 8a + 2c = -10

Substituindo a = -2 - c nesta última equação temos:
8*(-2 -c) + 2c = -10
-16 - 8c + 2c = -10
-6c = 6
c = -1
Logo, a = -2 -(-1) = -1

Assim, o polinômio é:
p(x) = -x³ + 2x² - x + 3



Exercício Resolvido - Cálculo da derivada por método numérico

  12:17      No comments   Edit
Dado os valores de x e f(x) abaixo:
x:     00 02 04 06 08 10 12
f(x): 10 18 24 21 20 18 15

Estime:
a) f ' (2)
b) f ' (x) parece ser positivo para que valores de x? E negativo?

Solução:
Existem vários métodos para este tipo de aproximação. Vou utilizar aqui o mais intuitivo, sem utilizar conceitos de cálculo numérico.

a) Da definição de derivada temos que:


Porém neste caso não temos os valores para todo x. Logo, podemos fazer uma aproximação da derivada de f(x) no ponto 2 pelos pontos vizinhos a este, ou seja, x = 0 e x = 4, da seguinte forma;

f ' (2) ≅ [f(0) - f(2)] / (0 - 2) = (10 - 18) / (-2) = 4
f ' (2) ≅ [f(4) - f(2)] / (4 - 2) = (24 - 18) / 2 = 3
Ou ainda
f ' (2) ≅ [f(4) - f(0)] / (4 - 0) = (24 - 10) / 4 = 3,5
Destes três resultados, é possível mostrar que o último apresenta um erro menor. Observando mais atentamente, nota-se que o último resultado nada mais é do que a média dos dois primeiros.

b) Não tem outra forma, tem que fazer um por um.
- No ponto x = 0:
f ' (0) ≅ [f(2) - f(0)] / (2 - 0) = 8/2 = 4
Neste ponto, não temos como fazer três análises, já que não conhecemos o valor de f(x) para x < 0.

- No ponto x = 2 (já foi feito)

- No ponto x = 4
f ' (4) ≅ [f(2) - f(4)] / (2-4) = -6/-2 = 3
f ' (4) ≅ [f(6) - f(4)] / (6-4) = -3/2 = -1,5
Neste ponto ocorre um fenômeno interessante. Ao fazer a estimativa de um lado, temos que a derivada é positiva, de outro lado, negativa. Isso mostra que, se a função for contínua, existe um ponto crítico no intervalo (2, 6), ainda, este ponto é um ponto de máximo já que a derivada aproximando pela esquerda é positiva (função crescente) e pela direita, negativa (decrescente).
f ' (4) ≅ [f(6) - f(2)] / (6-2) = 3/4 = 0,75

- No ponto x = 6
f ' (6) ≅ [f(4) - f(6)] / (4-6) = 3/-2 = -1,5
f ' (6) ≅ [f(8) - f(6)] / (8-6) = -1/2 = -0,5
f ' (6) ≅ [f(8) - f(4)] / (8-4) = -4/4 = -1

- No ponto x = 8
f ' (8) ≅ [f(6) - f(8)] / (6-8) = 1/-2 = -0,5
f ' (8) ≅ [f(10) - f(8)] / (10-8) = -2/2 = -1
f ' (8) ≅ [f(10) - f(6)] / (10-6) = -3/4 = -0,75

- No ponto x = 10
f ' (10) ≅ [f(8) - f(10)] / (8-10) = 2/-2 = -1
f ' (10) ≅ [f(12) - f(10)] / (12-10) = -3/2 = -1,5
f ' (10) ≅ [f(12) - f(8)] / (12-8) = -5/4 = -1,25

- No ponto x = 12
f ' (12) ≅ [f(10) - f(12)] / (10-12) = 3/-2 = -1,5

Com base nestes dados, podemos dizer que f ' (x) parece ser positivo para:
x = 0, x = 2 e x = 4
Parece ser negativo para:
x = 6, x = 8, x = 10 e x = 12


Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 55 - Física

  22:04   , ,   No comments   Edit

A figura ilustra uma placa de vidro com faces paralelas. A espessura da placa vale 4,0 mm, e as tais faces têm 1.000 cm² de área.
Sabendo-se que há uma diferença de temperatura de 50 °C entre as faces da placa, qual o fluxo de calor por condução através do vidro em calorias por segundo?
Dado: coeficiente de condutibilidade térmica da placa = 0,002 cal/(cm*s*°C)

Solução:
Primeiro, definimos o que é fluxo de calor por condução conforme o site:
http://www.if.ufrj.br/teaching/fis2/calor/conducao.html

"O fluxo de calor por condução ocorre via as colisões entre átomos e moléculas de uma substância e a  subsequente transferência de energia cinética."
"A condutividade térmica k é definida através da equação ∆Q/∆t = - k*A*∆T/∆x"

 Onde, nessa equação, ∆Q/∆t é o fluxo de calor por condução, k é o coeficiente de condutibilidade térmica da placa, A é a área da placa e ∆T/∆x é a diferença de temperatura por unidade de distância. No caso deste exercícios, ∆T/∆x = 50°C/4mm = 50°C / 0,4cm = 125 °C/cm.

 Veja outros exercícios desta mesma prova:
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 35 - Física
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 36 - Física
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 37 - Física
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 41 - Física


Substituindo os dados na equação:
∆Q/∆t = - 0,002 [cal/(cm*s*°C)] *1.000[(cm²)]*125[(°C/cm)] = -250 cal/s.

O sinal negativo é pelo fato de que a face superior estar perdendo calor para a inferior. Mas a resposta a esta questão é 250 cal/s.

Fonte: http://www.if.ufrj.br/teaching/fis2/calor/conducao.html


Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 51 - Física

  21:37   , ,   No comments   Edit
Massas iguais de água e de alumínio recebem exatamente a mesma quantidade de calor.
Qual a razão entre a variação de temperatura do alumínio e a variação de temperatura da água, provocada pelo fornecimento desse calor?
Dados:
calor específico da água = 1,0 cal/g.°C
calor específico do alumínio = 0,2 cal/g.°C

Solução:
Pela fórmula: Q = m.c.∆T temos que:
Como a quantidade de calor e de massa é igual nos dois, temos que:
c.∆T é igual e constante (chamarei essa constante de k).

Veja outros exercícios desta mesma prova:
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 35 - Física
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 36 - Física
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 37 - Física
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 41 - Física

Na água, c = 1 e no alumínio, c = 0,2, assim:
Na água:
1.∆T = k, ou seja, a variação de temperatura da água é k
No alumínio:
0,2.∆T = k, ∆T = 5k. A variação de temperatura no alumínio é 5k.
A razão será 5.


Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 49 - Física

  21:29   , ,   1 comment   Edit
Com respeito às ondas eletromagnéticas, analise as afirmações a seguir.
I  - É uma onda composta por um campo elétrico e um magnético, que se pode propagar no vácuo, portanto, sem a necessidade de um meio material para lhe dar suporte.
II  - A luz visível, o infravermelho, o ultravioleta e o Raio  X são exemplos de ondas eletromagnéticas.
III  - Quanto maior a frequência da onda, menor é a energia que ela transporta.
Está correto o que se afirma em

Solução:
I - Correta. Em engenharia estuda-se muito este tipo de onda, mas do ensino médio sabemos que a variação do campo magnético faz surgir um diferença de potencial. Na verdade o que ocorre é que a variação de um campo magnético faz surgir um campo elétrico. E, a variação de um campo elétrico, faz surgir um campo magnético. É baseado nisso que existem as ondas eletromagnéticas. Um campo elétrico que varia, aí faz surgir um campo magnético, esse por sua vez varia, e faz surgir o campo elétrico. Ou seja, um faz o outro surgir e portanto, esta onda só depende disso. Como nem o campo magnético nem o elétrico precisam de um meio para existir, a onda eletromagnética também não precisa.

Veja outros exercícios desta mesma prova:
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 35 - Física
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 36 - Física
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 41 - Física

II - Correta. Não tem muito o que explicar, são exemplos...

III - Incorreta. As ondas eletromagnéticas possuem energia diretamente proporcional à sua frequência onde E = h*f, sendo h a constante de Planck.


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