Exercício Resolvido - Reta tangente à intersecção de superfícies

Encontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva definida pela intersecção das superfícies:

No ponto P de coordenadas

Solução:

A primeira superfície é mais simples de perceber que é um cilindro. A segunda é um paraboloide. As superfícies podem ser vistas, separadas, abaixo:

Colocando elas juntas, temos:

Cálculo da curva da intersecção das superfícies:

Se há intersecção, então os valores de x, y e z devem ser iguais nas duas superfícies. A primeira superfície pode ser parametrizada da seguinte forma:

Porém, das Relações Trigonométricas temos que Sen²(a) + Cos²(a) = 1. Assim:

Podendo ser feita a igualdade:

A equação paramétrica fica:

Como z pode assumir qualquer valor pois não é dependente de x nem de y na primeira superfície, então sua forma parametrizada pode ser z = z. Ficando, portanto:

A outra superfície tem equação z = x² + y²
Assim, a curva de intersecção das superfícies na sua forma parametrizada é:

Ou seja, a curva é uma circunferência de raio 2 na altura z = 4. Veja na figura abaixo a curva em cor vermelha:

O que o exercício pede é a reta tangente à curva de intersecção no ponto P.
Esta reta terá equação do tipo

Onde a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear da reta. Porém, como ela é tangente no ponto P então o coeficiente angular da reta deve ser a derivada de y em relação a x. A derivada pode ser calculada por:

Mas, no ponto P temos que:


Logo:



Assim,



Com isso, já é possível determinar a equação da reta:



Como ela passa pelo ponto P:



A equação da reta fica:



A parametrização pode ser feita da seguinte forma:



Veja também:
Exercício Resolvido - Geometria analítica: Reta e elipse

Exercício Resolvido - Geometria Espacial: Plano e esfera

Abaixo a figura com o ponto P em verde e em preto, a reta tangente:

Aproximando um pouco mais:

Exercício Resolvido - Paradoxo do aniversário

Probabilidade de se ter duas pessoas fazendo aniversário no mesmo dia num grupo de n pessoas.

Em um grupo de n pessoas escolhidas aleatoriamente, qual a probabilidade de que pelo menos duas façam aniversário no mesmo dia?
Qual deve ser o menor valor de n para que a probabilidade seja superior a 95%?

Solução:
A solução deste exercício, como de qualquer exercício de probabilidade, pode ser calculando-se os casos
favoráveis e somar todos eles, porém neste caso este procedimento é muito custoso e desnecessário. Perceba no caso de n = 4. Teríamos que calcular a probabilidade de 2 fazerem aniversário no mesmo dia, depois de 3 fazerem e depois os 4. Agora imagina este valor de n aumentando... Neste caso, é muito mais simples o cálculo dos casos que não estamos interessados (ou seja, todos fazerem em datas diferentes) e com isso, subtraindo de 1 sabemos a probabilidade que desejamos. Façamos para n = 4 das duas formas para que se verifique que o resultado é o mesmo:

Caso1: apenas 2 pessoas fazendo aniversário no mesmo dia:
- A primeira pessoa faz aniversário na data D $ \rightarrow $ probabilidade = 1 já que ela deve fazer aniversário em algum dia;
- A segunda faz em D também $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{1}{365} $
- A terceira faz em outra data qualquer $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{364}{365} $
- A quarta faz numa data diferente de D e diferente da terceira pessoa $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{363}{365} $
Neste caso temos 6 combinações possíveis:
$$ P_1 \, = \, 6 \times \left ( 1 \times \frac{1}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \right ) $$

Caso2: dois a dois fazem aniversário no mesmo dia:
- A primeira pessoa faz aniversário no dia D;
- A segunda pessoa faz aniversário no dia E diferente de D $ \rightarrow $ probabilidade = $\frac{364}{365} $;
- A terceira faz aniversário junto com a primeira $ \rightarrow $ probabilidade = $\frac{1}{365} $
- A quarta faz junto com a segunda $ \rightarrow $ probabilidade = $\frac{1}{365} $
Neste caso há três combinações:
- 1ª com 2ª e 3ª com 4ª;
- 1ª com 3ª e 2ª com 4ª e;
- 1ª com 4ª e 2ª com 3ª.
Assim:
$$ P_2 \, = \, 3 \times \left ( 1 \times \frac{364}{365} \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} \right ) $$

Caso3: três fazendo aniversário no mesmo dia:
- A primeira faz no dia D;
- A segunda também $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{1}{365}$;
- A terceira também $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{1}{365}$;
- A quarta faz em outra data $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{364}{365} $;
Temos aqui três combinações também, ficando:
$$ P_3 \, = \, 3 \times \left ( 1 \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} \times \frac{364}{365} \right ) $$

Caso4: Todos fazendo aniversário na mesma data: Neste caso não há combinações por ser uma condição única, portanto não aparece termo multiplicando:
$$ P_4 \, = \, 1 \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} $$

A probabilidade total será:
$$ P = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 \, \approx \, 0,0163 $$

Porém, a probabilidade de todos fazerem aniversário em datas diferentes é:
$$ P_{dif} \, = \, 1 \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \frac{362}{365}  $$
Assim:
$$ P \, = \, 1 \, - \, P_{dif} \, \approx \, 0,0163 $$

Portanto, a probabilidade de pelo menos duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia num grupo de n pessoas é de:

$$ P \, = \, 1 \, - \, 1 \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times ... \times \frac{366-n}{365} $$

Em termos gerais, temos que a probabilidade é dada por:

$$ P \, = \, 1 \, - \, \frac{365!}{365^n \times (365-n)!} $$

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Veja também:
Exercício Resolvido - Probabilidade de ninguém pegar seu próprio nome em um amigo secreto

Exercício Resolvido - Prova CORSAN 2014: Probabilidade

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Assim, o menor valor de n para que a probabilidade seja maior que 95% é de n = 47, onde P $\approx$ 95,5%. Perceba que num grupo de 47 pessoas, é quase certo que duas delas façam aniversário na mesma data. O interessante é que para que a probabilidade seja 100%, é preciso um grupo de 365 pessoas. Assim, ao acrescentar mais pessoas a um grupo de 47, a probabilidade pouco se altera.

Outro exemplo é o caso de um jogo de futebol. Considerando o juiz e os auxiliares, temos 25 pessoas. A probabilidade de pelo menos dois fazerem aniversário no mesmo dia é de 56,87%.

Calcule a probabilidade de duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia na sua sala de aula e verifique!

Exercício Resolvido - Continuidade, limite e derivada parcial

Seja a função $ f: \Re ^2 \, \rightarrow \, \Re $ dada por:
$$ f(x,y) =
\left \{
\begin{array}{cc}
\frac{ x^3 y^2 }{x^4 + y^4}, & (x,y) \neq (0,0) \\
0, & (x,y) = (0,0) \\
\end{array}
\right. $$

mostre que ela é contínua em (0,0) e determine as derivadas parciais $ f_x (0,0) $ e $ f_y (0,0) $.

Solução:
Para verificar a continuidade devemos calcular o limite abaixo e ele deve dar zero:

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } \frac{ x^3 y^2 }{x^4 + y^4} $$

Para continuar, é preciso perceber que todo valor ao quadrado é positivo ou zero, assim:
$ \left ( x^2 \, - \, y^2 \right )^2 \, \geq \, 0 $
$ x^4 \, - \, 2 x^2 y^2 \, + \, y^4 \, \geq \, 0 $
$ x^4 \, + \, y^4 \, \geq 2 x^2 y^2 $
$ \frac{1}{2} \, \geq \, \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} $

Como só temos termos ao quadrado e à quarta, $ \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} $ certamente não é negativo, assim:

$$ \frac{1}{2} \, \geq \, \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} \, \geq \, 0 $$

Logo, o termo $ \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} $ é limitado. Assim, fazendo a igualdade e substituindo $ \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} \, = \, t $ temos:

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } x \times \left ( \frac{ x^2 y^2 }{x^4 + y^4} \right ) = \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) }{ x \times t} $$

Como $ x \, \rightarrow \, 0 $ e $ t $ é limitado, o limite é zero:

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) }{ x \times t} \, = \, 0 $$

Perceba na figura a seguir como realmente a superfície tende a zero em qualquer direção:

Veja também:
Exercício Resolvido - Reta tangente à intersecção de superfícies
Exercício Resolvido - Multiplicadores de Lagrange
Exercício Resolvido - Pontos de máximo, mínimo e sela

As derivadas parciais no ponto (0,0) devem ser calculadas pela definição:

$$ f_x (0,0) \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}} \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{h^3 0^2}{h^4+0^4}} \, - \, 0 \, = \, 0 $$
$$ f_y (0,0) \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{f(0,h) - f(0,0)}{h}} \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{0^3 h^2}{0^4+h^4}} \, - \, 0 \, = \, 0 $$

Logo:

$$ f_x(0,0) \, = \, 0 $$
$$ f_y(0,0) \, = \, 0 $$

Veja na figura a seguir a reta f(x,0) em vermelho e a reta f(0,y) em amarelo. Perceba que elas não variam e são identicamente nulas, ou seja, f(x,0) = 0 e f(0,y) = 0 para qualquer valor de x ou y. Isso garante que a derivada parcial destas funções no ponto (0,0) deve ser zero pois a função não varia nas direções (1,0) e (0,1), confirmando o que foi obtido anteriormente. Ainda, para ser mais abrangente, as derivadas parciais serão sempre nulas se x = 0 ou se y = 0 (ou, claro, se ambos forem nulos).