Exercício Resolvido - Continuidade, limite e derivada parcial

Seja a função $f: \Re ^2 \, \rightarrow \, \Re$ dada por:
$$f(x,y) = \left \{ \begin{array}{cc} \frac{ x^3 y^2 }{x^4 + y^4}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \\ \end{array} \right.$$

mostre que ela é contínua em (0,0) e determine as derivadas parciais $f_x (0,0)$ e $f_y (0,0)$.

Solução:
Para verificar a continuidade devemos calcular o limite abaixo e ele deve dar zero:

$$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } \frac{ x^3 y^2 }{x^4 + y^4}$$

Para continuar, é preciso perceber que todo valor ao quadrado é positivo ou zero, assim:
$\left ( x^2 \, - \, y^2 \right )^2 \, \geq \, 0$
$x^4 \, - \, 2 x^2 y^2 \, + \, y^4 \, \geq \, 0$
$x^4 \, + \, y^4 \, \geq 2 x^2 y^2$
$\frac{1}{2} \, \geq \, \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4}$

Como só temos termos ao quadrado e à quarta, $\frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4}$ certamente não é negativo, assim:

$$\frac{1}{2} \, \geq \, \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} \, \geq \, 0$$

Logo, o termo $\frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4}$ é limitado. Assim, fazendo a igualdade e substituindo $\frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} \, = \, t$ temos:

$$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } x \times \left ( \frac{ x^2 y^2 }{x^4 + y^4} \right ) = \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) }{ x \times t}$$

Como $x \, \rightarrow \, 0$ e $t$ é limitado, o limite é zero:

$$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) }{ x \times t} \, = \, 0$$

Perceba na figura a seguir como realmente a superfície tende a zero em qualquer direção:

Veja também:
Exercício Resolvido - Reta tangente à intersecção de superfícies
Exercício Resolvido - Multiplicadores de Lagrange
Exercício Resolvido - Pontos de máximo, mínimo e sela

As derivadas parciais no ponto (0,0) devem ser calculadas pela definição:

$$f_x (0,0) \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}} \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{h^3 0^2}{h^4+0^4}} \, - \, 0 \, = \, 0$$
$$f_y (0,0) \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{f(0,h) - f(0,0)}{h}} \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{0^3 h^2}{0^4+h^4}} \, - \, 0 \, = \, 0$$

Logo:

$$f_x(0,0) \, = \, 0$$
$$f_y(0,0) \, = \, 0$$

Veja na figura a seguir a reta f(x,0) em vermelho e a reta f(0,y) em amarelo. Perceba que elas não variam e são identicamente nulas, ou seja, f(x,0) = 0 e f(0,y) = 0 para qualquer valor de x ou y. Isso garante que a derivada parcial destas funções no ponto (0,0) deve ser zero pois a função não varia nas direções (1,0) e (0,1), confirmando o que foi obtido anteriormente. Ainda, para ser mais abrangente, as derivadas parciais serão sempre nulas se x = 0 ou se y = 0 (ou, claro, se ambos forem nulos).