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Exercício resolvido - Derivada de função inversa

Sendo f(x) = x³ + x² + 4x, calcule a derivada de sua função inversa no ponto o qual y = 6.
Essa questão foi tirada do livro "Fundamentos de Matemática Elementar Vol 8".

Solução:
Dedução do teorema da derivada inversa.

Seja f(x) = y uma função de x.
Assim, seja 'g' a inversa de f(x), ou seja, g(y) = x.

Exemplo:
f(x) = 3x + 4
y = 3x + 4
x = (y - 4) / 3 = g(y)

Vale ressaltar que a função do exemplo é bijetora em qualquer intervalo real. Por isso admite inversa em qualquer intervalo.
O que queremos é a derivada da inversa de f(x), ou seja, g ' (y).

Sebe-se que
g(y) = x
Logo, f(g(y)) = y

Utilizando o teorema da derivada composta, derivando dos dois lados em relação a y, temos:
f '(g(y))*g '(y) = 1
g '(y) = 1 / f '(g(y))
Mas g(y) = x
g '(y) = 1 / f '(x)

Voltando ao exercício: f(x) = x³ + x² + 4x
f '(x) = (3x² + 2x + 4)

Logo:
g '(y) = 1 / (3x² + 2x + 4)

Para y = 6, devemos achar o valor de x:
x³ + x² + 4x = 6
x³ + x² + 4x - 6 = 0

Por inspeção, percebemos que x = 1 satisfaz.
Como a função é bijetora, só admite uma solução. Porém, toda equação do terceiro grau, tem 3 soluções. Logo, as outras duas devem ser complexas.

Verificando:
Como x = 1 é raiz:
x³ + x² + 4x - 6 = (x-1)*(x² + ax + b)
x³ + x² + 4x - 6 = x³ + ax² + bx - x² - ax - b

b = 6
a = 2
x³ + x² + 4x - 6 = (x-1)*(x² + 2x + 6)
E de fato, as raízes de x² + 2x + 6 são complexas.!

Logo:
g '(y) = 1 / (3x² + 2x + 4)
g '(6) = 1 / (3*1² + 2*1 + 4) = 1 / (3+2+4) = 1/9


Exercício Resolvido - Probabilidade de ninguém pegar seu próprio nome em um amigo secreto

Numa brincadeira de amigo secreto, qual a probabilidade de ninguém tirar o próprio nome quando o número de participantes tende ao infinito? 

Solução:
Este exercício parece ser simples mas é muito complicado.
Vou tentar explicar a forma como fiz o mais detalhado possível, porém o leitor deve estar bem atento a cada passo.

Inicialmente, vamos deduzir o universo de possibilidades.

Não é difícil perceber que o universo é de n! para n participantes, pois, o primeiro a sortear tem 'n' nomes para retirar. O segundo terá '(n-1)'. O terceiro, '(n-2)'... Logo, o número de possibilidades é:

n*(n-1)*(n-2)*...*1 = n!

Dessas possibilidades, vamos procurar quais são favoráveis, e da divisão das possibilidades favoráveis pelo número total temos a probabilidade.

Vou chamar de Prob(n) = [P(n) / n!] a probabilidade solicitada. Ou seja, P(n) é o número de possibilidades favoráveis

Vamos lá. Um estudo específico rápido:
Se fosse 1 participante, a probabilidade seria 0%.

Se fossem 2, teríamos que o 1º não poderia pegar seu nome. Como o universo de possibilidades é 2 e apenas uma delas satisfaz, e probabilidade aqui seria 1/2 = 0,5

Se fossem 3, temos que pensar da seguinte forma para saber o universo de possibilidades:
Se o primeiro tirar seu nome, já não nos serve mais. Como este caso tem 2 possibilidades (a de o segundo e o terceiro também tirarem seus nomes, e a de o 2° tirar o nome do 3° e o 3° tirar o do 2°), resta verificar os outros casos;
Se o 1° tirar o nome do 2°:
Pode o 2° tirar o do 1° e o 3° o dele mesmo -> não serve;
Pode o 2° tirar o do 3° e o 3° o do 1° -> OK
Se o 1° tirar o do 3°, ocorre o mesmo, ou seja, das 2 possibilidades, onde uma é válida.
Assim, neste caso (3 participantes), o universo de possibilidades é 3*2*1 = 6, e as válidas são 2. Temos 2/6 = 1/3 a probabilidade.

Perceba que existem dois casos. Um é o primeiro pegar o seu próprio nome. E este não nos serve. O outro é ele pegar o nome de outro participante. Assim, restará o nome dele e de mais um. Supondo que o participante que o primeiro pegou o nome, pegar o nome do primeiro (ou seja, um pega o nome do outro), resta a situação de apenas um participante, ou seja, o participante que não sorteou só poderá pegar o próprio nome, que é o caso de se só existisse um participante.

Vamos analisar como seria com 4 participantes, o pensamento é análogo ao se fossem 3:
Se o 1° tirar seu nome, os outros casos não nos serve. Ou seja, temos 3! = 6 possibilidades que não servem.
Se o 1° tirar o nome do 2°:
O 2° tira o do 1° o 3° tira o próprio e o 4° o próprio -> Não serve
O 2º tira o do 1°, o 3° o do 4° o 4° o do 3º -> OK
O 2° tira o do 3°, o 3° o do 1º o 4º o próprio -> não serve
O 2° tira o do 3°, o 3° o do 4º, o 4º o do 1º -> OK
O 2° tira o do 4°, o 3º o próprio, o 4° o do 1º -> Não serve
O 2° tira o do 4º, o 3º o do 1º, o 4º o do 3° -> Ok
Total de 3 possibilidades neste caso.
Como o 1º pode ainda tirar o do 3° e do 4°, e nesses casos teremos a mesma situação acima (3 favoráveis em cada), são 9 as possibilidades satisfatórias. 9/24 = 3/8.

Mais uma vez, o que foi observado no caso de 3 participantes, ocorreu. Veja que aqui existe também a possibilidade do 1º tirar o seu próprio nome (que não serve) e de ele tirar o nome que outro participante. Como são 4 participantes, as possibilidades do 1º tirar o nome de outro são 3. Digamos que ele pegue o nome de outro participante, chamado de B. Neste caso, se o participante B tirar o nome do 1º, vão restar 2 nomes e dois participantes. Porém, como no caso de existirem apenas 2 no jogo do amigo secreto, os dois participantes que restaram tem os seus nomes a serem sorteados. Caso o B não pegue o nome do 1º, e pegue o nome de um jogador C. Segue a lógica: se o C pegar o nome do 1º, resta um jogador e um nome (caso do jogo de apenas um participante, já que o nome que sobrou é exatamente o nome do jogador que não sorteou), se ele pegar o nome de um participante D ...


Agora, vou fazer o mesmo que fiz acima, porém de forma genérica, para n participantes.

Já foi visto que o universo de possibilidades é de n!.

Neste caso, para n participantes, temos:
Se o 1° pegar seu nome. já não serve mais -> (n-1)! casos descartados
Se o 1º pegar o nome de outro participante (participante X) [ (n-1) possibilidades ]
Se X pegar o nome do 1º (1 possibilidade) restam (n-2) participantes com seus próprios (n-2) nomes. Neste caso, a probabilidade dos casos favoráveis será P(n-2), já que os nomes não sorteados são exatamente o dos participantes que restaram.

Mas se X pegar o nome de um terceiro (Y) (n-2 possibilidades) obtém-se os mesmos 2 casos:
Y pegar o nome do 1º (1 possibilidade), restando (n-3) participantes e seus (n-3) nomes. P(n-3)
Y pegar outro (Z) (n-3 possibilidades):
Z pegar o nome do 1º (1 possibilidade): P(n-4)
.......
E assim vai.
Assim, teremos que:

P(n) = (n-1)*[P(n-2) + (n-2)*[P(n-3) + (n-3)*[P(n-4) + (n-4)*[P(n-5) + ... + 3*[P(2) + 2*[P(1)]]]...]]]
Da igualdade acima, temos:
P(n-1) = (n-2)*[P(n-3) + (n-3)*[P(n-4) + ... + 2*[P(1)]]]...]]]

Assim:
P(n) = (n-1)*[P(n-2) + P(n-1)]
Lembrando que a probabilidade é Prob(n) = P(n) / n!

A relação P(n) = (n-1)*[ P(n-1) + P(n-2) ] estabelece uma relação de subfatorial.
Assim, dividindo tudo por n! (universo) temos:
(Aconselho ao leitor a acompanhar com um papel e um lápis a partir daqui)

P(n)/n! = (n-1)*{ P(n-1) + P(n-2)] } / n!

P(n)/n! = [(n-1)/n]*{ P(n-1)/(n-1)! + P(n-2)/(n-1)!] }

P(n)/n! = [(n-1)/n]*{ P(n-1)/(n-1)! + [1/(n-1)]*[P(n-2) /(n-2)!] }

Desta forma temos:
Prob(n) = [(n-1)/n]*{ Prob(n-1) + [1/(n-1)]*Prob(n-2) }

Prob(n) = (1 - 1/n )*{ Prob(n-1) + [1/(n-1)]*Prob(n-2) }

Prob(n) = Prob(n-1) - (1/n)*Prob(n-1) + [1/(n-1)]*Prob(n-2) - (1/n)*[1/(n-1)]*Prob(n-2) ]

Prob(n) = Prob(n-1) - (1/n)*Prob(n-1) + [(n-1)/n]*[1/(n-1)]*Prob(n-2) ]

Prob(n) = Prob(n-1) - (1/n)*Prob(n-1) + (1/n)*Prob(n-2) ] 

Prob(n) - Prob(n-1) = - (1/n)*Prob(n-1) + [1/n]*[ Prob(n-2) ]

Prob(n) - Prob(n-1) = (-1/n)* [ Prob(n-1) - Prob(n-2) ]

Seja G(n) = Prob(n) - Prob(n-1)

G(n) = (-1/n) G(n-1)

Como:
G(2) = Prob(2) - Prob(1) = 1/2 - 0 = 1/2

G(3) = (-1/3)*(1/2) = -1/6

G(4) = (-1/4)*(1/6) = 1/24
...
G(k) = [(-1)^k] / k!

Assim:

Prob(n) = Prob(1) + [Prob(2) - Prob(1)] + [Prob(3) - Prob(2)] + ... + [Prob(n) - Prob(n-1)]

Prob(n) = 0 + G(2) + G(3) + G(4) + ... + G(n)

Prob(n) = Ʃ{ [(-1)^k] / k! }

Mas, da série de Taylor temos que:
e^x = Ʃ[ ( x^k ) / k! ], se tivermos x = -1, a série será:

e^(-1) = Ʃ{ [ (-1)^k ] / k! } = Prob(n) para n tendendo ao infinito

Logo, Prob(n) = 1/e


Dedução da fórmula de juros composto para parcelas iguais

Dedução passo-a-passo da fórmula de juros composto para dívidas que são pagas em parcelas iguais

Vou fazer um post hoje que é muito útil. Será mostrado aqui como encontrar a fórmula para calcular a taxa de juros de uma dívida que é parcelada e paga em parcelas únicas.

Solução:
Inicialmente, deve-se ter em mente que esse tipo de dívida funciona de seguinte forma:
Imagine alguém que deve R$100,00 a você e vai lhe pagar uma taxa de 10% de juros ao mês. Assim, após 1 mês, ele lhe deve:

R$100,00 + 10%*(R$100,00) = R$100,00 + 0,1*R$100,00 = 1,1*R$100,00 = R$110,00

Agora, digamos que após esse mesmo mês, ele lhe pagou R$15,00. Então agora ele lhe deve:

R$110,00 - R$15,00 = R$95,00

Ou seja, da dívida real reduziu-se R$5,00 apenas.

Passando-se outro mês, a dívida passa a ser:

R$95,00 + 10%*(R$95,00) = R$95,00 + 0,1*R$95,00 = 1,1*R$95,00 = R$104,50

E assim segue.

Da mesma forma funciona qualquer dívida.
Para realizar os cálculos e fazer a demonstração, vou utilizar as seguintes letras:

Taxa de juros mensal em porcentagem = J
Valor da parcela paga a cada mês = P
Valor inicial da dívida = V
Número de parcelas = n

O empréstimo é feito no mês 'zero'.
Assim, após o primeiro mês deve-se o valor da dívida mais o juros:



Mas neste momento, é paga a 1ª parcela, passando a ser o valor da dívida:


Para facilitar a visualização, vou chamar este valor agora de V2, então:


Após 2 meses:


Neste momento, ele novamente vai pagar a parcela, passando a ser sua dívida:


Chamando este valor de V3:


Após 3 meses:



Após isso, claro, será paga uma parcela, passando a ter o valor V4.



É possível perceber uma relação recorrente de Vn:



Onde V1 = V que é o valor inicial da dívida.

Manipulando um pouco a equação geral de recorrência acima, é possível perceber propriedades interessantes. Veja abaixo:



Substituindo:



Usando:



Teremos:



Percebam que os termos que multiplicam o fator P são termos de uma PG onde:



e a razão



Usando a fórmula da soma da PG podemos simplificar a fórmula para:



Aqui fica mais fácil perceber qual deve ser a equação de Vn em função de V, que é o valor inicial da dívida.



Porém, Vn tem que ser nulo, já que queremos que após n meses a dívida esteja totalmente paga. Portanto, basta igualar o resultado obtido acima a zero:



Manipulando temos:



Agora, esta fórmula pode ser manipulada como se desejar.
Exemplo: Caso deseja-se calcular a parcela a ser paga dado que:

Se a taxa de juros for 5%  J = 5
O empréstimo for de R$ 1.000,00 → V = 1000
O tempo para pagar de 10 meses → n = 10

Vamos calcular o valor da parcela:

Isolando P na fórmula acima:



Substituindo os valores



Como





Ou seja, nestas condições, R$ 129,50 deve ser a parcela. Este não é o valor exato, que é dado por R$ 129,5046, porém, por ser um valor monetário, só pode ter duas casas após a vírgula. Vaja como ficaria:

Dívida Mês Parcela Após pagar parcela
R$ 1.000,00 0 R$ 0,00 R$ 1.000,00
R$ 1.050,00 1 R$ 129,50 R$ 920,50
R$ 966,53 2 R$ 129,50 R$ 837,03
R$ 878,88 3 R$ 129,50 R$ 749,38
R$ 786,85 4 R$ 129,50 R$ 657,35
R$ 690,21 5 R$ 129,50 R$ 560,71
R$ 588,75 6 R$ 129,50 R$ 459,25
R$ 482,21 7 R$ 129,50 R$ 352,71
R$ 370,35 8 R$ 129,50 R$ 240,85
R$ 252,89 9 R$ 129,50 R$ 123,39
R$ 129,56 10 R$ 129,50 R$ 0,06




Perceba que o valor da dívida, após os 10 meses, fica em R$ 0,06. Ele não zera devido ao resultado não ser exato, já que a parcela deveria ser R$ 129,504574965...


Exercício Resolvido - Somatório de N² = 1² + 2² + 3² + ... + n² ou ∑(n^2) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2

Ache uma equação para calcular o somatório de N² = 1² + 2² + 3² + ... + n², sendo n um número inteiro.

Solução:

O cálculo de ∑n² pode ser feito de várias formas. Tentarei demonstrar algumas:

1º método:

Sabendo que:

(n+1)³ - n³ = (n³ + 3n² + 3n + 1) - n³ = 3n² + 3n + 1

Assim:

∑[(p+1)³ - p³] = ∑[3p² + 3p + 1]

Mas:

∑[(p+1)³ - p³] = (2³ - 1³) + (3³ - 2³) + ... + [(n+1)³ - n³]

Perceba que o primeiro termo de cada parênteses é cancelado com o segundo do parênteses seguinte, sobrando apenas:

(n+1)³ - 1³

Então:

(n+1)³ - 1 = ∑[3p² + 3p + 1]

Mas:

∑[3p² + 3p + 1] = ∑3p² + ∑3p + ∑1 = 3*∑p² + 3*∑p + (1+1+1+1+1+...+1)

∑p = 1 + 2 + 3 + 4 + .. + n  -> (PA)

∑p = (1+n)*(n/2)

Temos também que:

∑1 = n

Assim:

(n+1)³ - 1 = ∑[3p² + 3p + 1]

(n+1)³ - 1 = 3*∑p² + 3*(1+n)*(n/2) + n


n³ + 3n² + 3n = 3*∑p² + 3n/2 + 3n²/2 + n

3*∑p² = n³ + 3n²/2 + n/2

∑p² = (1/6)*[2n³ + 3n² + n] = (1/6)*n*(n+1)*(2n+1)


2º método:
Usando o triângulo de Pascal:

Triangulo de Pascal
Imagem retirada do livro Algorithmic Information heory, de G. Chaitin

Como o que queremos é o somatório:

1 + 4 + 9 + 16 + ... + n²

Se observarmos no triângulo acima a terceira coluna, o primeiro termo dela (1), é 1², se somarmos o primeiro ao segundo, temos 1+3 = 4, se somarmos o segundo ao terceiro, temos 3+6 = 9, o terceiro ao quarto 6+10 = 16 ....

Ou seja, a soma dois a dois dos termos da coluna, formam exatamente os termos da sequência que queremos:

Assim:


Ou, agrupado de forma melhor:


Mas, pelo teorema das colunas, que diz que:


Temos:


e


Tendo, por fim:

1² + 2² + 3² + 4² + ... + n² = (1/6)*n*(n+1)*(n-1 + n+2) = (1/6)*n*(n+1)*(2n+1)


3º método:

Digamos que a gente já conheça o resultado, mas desejamos provar que ele vale pelo método da indução finita :

Se n = 1:

1² = (1/6)*1*(1+1)*(2+1) = 1 Ok, é válido

Agora, a gente supõe que para n = k-1, a fórmula também é válida, admitimos então que:

1² + 2² + 3² + ... + (k-1)² = (1/6)*(k-1)*[(k-1)+1]*[2(k-1)+1] = (1/6)*(k-1)*k*(2k-1)

Supondo que a fórmula acima seja correta, devemos provar que vale para n = k também:

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = [(1/6)*(k-1)*k*(2k-1)] + k²

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = [(1/6)*(k²-k)*(2k-1)] + k²

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = [(1/6)*(2k³ - k² - 2k² + k)] + k²

Fazendo o mínimo múltiplo comum, ou seja, transformando k² = (6/6)*k² temos:

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = (1/6)*(2k³ - 3k² + k + 6k²) =

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = (1/6)*(2k³ + 3k² + k)

1² + 2² + 3² + 4² + ... + (k-1)² + k² = (1/6)*k*(k+1)*(2k+1)

que é a fórmula (1/6)*n*(n+1)*(2n+1) para n = k. Logo, esta provado por indução.


Exercício Resolvido - Análise de conjuntos

Mostre que não existe número racional tal que x²=2.

Solução:

Percebam: de fato não existe número racional tal que x² = 2, pois para isso, x = 2 ou -2, ambos irracionais. Porém, por existir real que satisfaz x² = 2, este valor de x só pode ser irracional, já que os conjuntos dos irracionais e dos racionais são disjuntos, ou seja, um elemento de qualquer um deles, não pertence ao outro.

Porém, provando de forma analítica por absurdo, temos:

Supondo que x seja racional.

Obs.: todo número racional pode ser escrito como divisão de dois números inteiros primos entre si.

Então, se x é racional, existem valores inteiros p e q, primos entre si (ou seja, não possuem divisor comum diferente de 1) tais que:
x = p/q
Assim:
x² = (p/q)² = 2
logo:
p² = 2*q²
O que garante que é um número par. Porém, como p e q são inteiros, se é um número par, certamente p também o é, pois todo quadrado perfeito que é par tem como raiz quadrada um número par.
Assim, p = 2*r, sendo r um número inteiro pois p é par e inteiro. Logo, p² = 4*r².
Então:
x² = (p/q)² = (2r/q)² = 2
Logo:
2*q² = 4*r²
q² = 2*r²
O que garante que é par, e pela mesma lógica acima, se é par, então q é par. Assim, temos que tanto p quanto q são pares, e portanto não são primos entre si, como admitido inicialmente. Logo, isso nos leva a concluir que nossa afirmação inicial é absurda, e a nossa afirmação inicial foi de que x era racional.
Ou seja, não existe x racional tal que x² = 2.