Exercício Resolvido - Movimento circular uniforme: Vestibular UERJ 2011

Exercício de movimento circular uniforme do vestibular UERJ 2011

Um ciclista pedala uma bicicleta em trajetória circular de modo que as direções dos deslocamentos das rodas mantêm sempre um ângulo de 60º. O diâmetro da roda traseira dessa bicicleta é igual à
metade do diâmetro de sua roda dianteira.
O esquema a seguir mostra a bicicleta vista de cima em um dado instante do percurso.

Admita que, para uma volta completa da bicicleta, N1 é o número de voltas dadas pela roda traseira e N2 o número de voltas dadas pela roda dianteira em torno de seus respectivos eixos de rotação.
A razão N1/N2 é igual a:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4

Solução:

Como as duas rodas percorrem trajetos circulares, conforme mostrado na figura em tracejado, então elas desenvolvem um movimento circular uniforme.

É muito importante lembrar que no movimento circular uniforme a velocidade é SEMPRE tangente à curva. Veja na figura abaixo:

A partir deste ponto o problema passa a ser de geometria plana.

Veja no desenho, em azul os vetores velocidade de cada uma das rodas (perceba que eles são tangentes às circunferências) e em vermelho a linha que liga o ponto que as rodas tocam o chão (origem do vetor velocidade) ao centro das circunferências.

Esta linhas SEMPRE formam 90º entre si, ou seja, TODA RETA TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA FORMA 90º COM A RETA QUE LIGA O PONTO DE TANGÊNCIA AO CENTRO DA CIRCUNFERÊNCIA:

Assim temos:

Seja r o raio da circunferência percorrida pela roda traseira, e R pela roda dianteira. Além disso, alguns ângulos das figura podem ser determinados:

Portanto, a relação r/R = Cos(60º) = 1/2 → 2r = R

Assim, quando a roda dianteira percorre a circunferência grande uma vez a distância percorrida por ela é:

D = 2 π R = 2 π (2 r) = 4 π r

Enquanto isso, a roda traseira percorre a circunferência pequena, o que dá uma distância:

d = 2 π r

O número de voltas dado pelas rodas vai depender do raio de cada uma. Sendo RD o raio da roda dianteira e RT da traseira, sabe-se do exercício que RD = 2 RT. O número de voltas dado pela roda dianteira será de:

N1 = (2 π RD) / D = (2 π RD) / (4 π r) = (4 π RT) / (4 π r) = RT / r

Para a roda traseira:

N2 = (2 π RT) / d = (2 π RT) / (2 π r) = RT / r

Logo, N1/N2 = 1, Letra (A)

Esboce o gráfico de 2x³ - 3x² - 3x +2

Esboço do gráfico de 2x³ - 3x² - 3x +2

Uma das ferramentas que o cálculo e nos proporciona é a possibilidade de esboçar o gráfico de uma função com o uso da derivada. Algumas etapas podem ser seguidas para a análise de uma função e obtenção de sua curva, são elas:

1º - Estabelecer o domínio da função. O domínio da função é importante pois limita a análise apenas onde importa. Além disso, pontos fora do domínio da função podem ser pontos inconsistentes, como no caso da função 1/x para x = 0.

2º - Cálculo das intersecções do gráfico com os eixos x e y. Nem sempre é possível calcular as intersecções com o eixo x, mas poder estimá-los já ajuda bastante.

3º - Verificar se é um função periódica. Se sim, analisa-se apenas o intervalo onde a função não se repete, após isso é possível conhecer o resultado para os demais pontos do domínio;

4º - Verificar se a função é par ou ímpar. Se for par, então ela é simétrica em relação ao eixo y. Se for ímpar, será simétrica mas rebatida em relação ao eixo x.

5º - Verificar como a função se comporta em pontos de descontinuidade e fronteiras do domínio.

6º - Se o domínio não for limitado, verificar o comportamento da função no infinito (positivo e negativo).

7º - Estuda da primeira derivada da função para achar onde a função é crescente ou decrescente e os pontos críticos (derivada = 0).

8º - Estudo da segunda derivada para verificar a concavidade da função, além de saber se os pontos críticos são pontos de máximo, mínimo ou inflexão.

9º - Por fim, verificar assíntotas. (Veja este exercício para determinar assintotas de uma função)

Para exemplificar, será feito o esboço do gráfico da função:

f(x) = 2x³ - 3x² - 3x +2, para x є (-2, 3).

1º - A função f(x) não apresenta restrição em seu domínio, porém o exercício pede a análise do gráfico apenas no intervalo (-2,3).

2º - Intersecção com o eixo y (ou seja, para x = 0):
f(0) = 2
Saber os pontos onde a função f(x) corta o eixo x é bastante complicado por se tratar de uma função do 3º grau, mas é possível fazer uma estimativa percorrendo o domínio:
f(-2) = -20
f(-1) = 0
f(0) = 2
f(1) = -2
f(2) = 0
f(3) = 20

Nisso, já descobrimos duas raízes da função f(x). Além disso, para x entre 0 e 1 há outra, pois há troca de sinal da função. Como é um polinômio do terceiro grau que só admite três raízes, então elas já foram estimadas.

3º - A função não é periódica.

4º -
f(-x) = -2x³ - 3x² + 3x + 2 ≠ f(x), logo a função não é par
-f(-x) = 2x³ + 3x² - 3x - 2 ≠ f(x), logo a função não é ímpar também
Como não é nenhuma das duas, não podemos concluir nada a respeito do gráfico neste item.

5º - Ela não apresenta descontinuidade em nenhum ponto e os pontos na fronteira do domínio estabelecido, f(-2) e f(3), já foram calculados.

6º - O domínio é limitado.

7º - Derivando f(x)
f ' (x) = 6x² - 6x - 3
Aplicando Bhaskara temos:

Δ = 36 - 4*6*(-3) = 36 + 72 = 108

√Δ = 6√3

Logo, x1 e x2 são pontos críticos. Calculando f(x) para x = x1 e x = x2 temos:

f(x1) = -2,6

f(x2) = 2,6

8º -

f '' (x) = 12x - 6.

A segunda derivada é um reta crescente que é nula para x = 1/2. Portanto, por ser crescente, para x < 1/2, ela é negativa (concavidade de f(x) é para baixo) e para x > 1/2, ela é positiva (concavidade para cima). É interessante calcular f(x) para x = 1/2 para saber o ponto onde há a troca de concavidade:

f(1/2) = 0

Perceba que, de brinde, encontramos a terceira raiz de f(x).

9º - Por ser uma função polinomial, não há assintotas.

Verifica-se agora as informações que foram obtidas:

- O gráfico passa pelos pontos: (-2, -20) , (-1, 0) , (0, 2), (1, -2), (2, 0), (3, 20)

- Possui uma raiz para x entre 0 e 1.

-Tem pontos críticos: (1,37 , -2,6) , (-0,37 , 2,6)

- Tem concavidade para cima para x > 1/2 e para baixo para x < 1/2. Assim, (-0,37 , 2,6) é um ponto de máximo local, e (1,37 , -2,6) é um ponto de mínimo local.

Colocando os pontos encontrados no gráfico:

Em preto o pontos críticos e em vermelho os pontos calculados na 2ª etapa. Em cinza o ponto onde há mudança na concavidade de f(x).

Com isso já é possível fazer o esboço do gráfico ligando os pontos e lembrando dos intervalos onde a concavidade é para cima e onde é para baixo.

Veja abaixo como fica o gráfico:

Calcule a soma: S = x + 2x² + 3x³ + ...

Progressão aritmético-geométrica

Neste exercício será calculada a soma da progressão aritmético-geométrica na qual o n-ésimo termo é dado por:

Solução:

A soma que se deseja calcular é:

Percebe-se que não se trata nem de uma progressão aritmética (PA) e nem de uma progressão geométrica (PG), mas um misto das duas.

Multiplicando a equação acima por x de ambos os lados temos:

Adotando a mesma estratégia para a obtenção da fórmula da soma da PG (veja aqui), faz-se a subtração:

Veja também:

Definição e exemplos do princípio da indução finita

Dedução das fórmulas de uma PG e explicação

Soma S = 1² + 2² + 3² + ... + n²

Somatório duplo

O que resulta em algo familiar já que do lado direito da igualdade temos a soma de uma PG com termo inicial a1 = x, razão q = x e n termos, exceto pelo último termo que esta subtraindo tudo. Assim, usando a fórmula da soma da PG que já é conhecida, obtemos:

Assim, dividindo tudo por (1-x) isolamos o Sn:

Perceba que este resultado vale apenas para x ≠ 1. Para x = 1 temos a soma de uma PA: