Exercício resolvido - Continuidade de função

Considere a função real definida por:

Para qual valor de k a função é contínua?

Solução:

Inicialmente, devemos definir o domínio dessa função e como sabemos que não podemos ter valores negativos dentro das raízes temos que:

1 + x > 0, logo, x > -1

1 - x > 0, logo, x < 1

-1 < x < 1

Ainda, não podemos ter denominador nulo, logo:

1 + x ≠ 1 - x

2x ≠ 0

x ≠ 0. 

O que é respeitado quando dizemos que para x = 0, f(x) = k.

Agora, para saber a continuidade devemos fazer o limite da função f(x) para x tendendo a zero.

Para isso:

Simplificando o x:

Logo, para que f(x) seja contínua, k = 1.

Exercício resolvido - Quantidade de movimento

Dois objetos, A e B, movendo-se sem atrito sobre uma reta horizontal, estão em interação. A quantidade de movimento de A é QDMA = Po - bt, onde Po e b são constantes e t é o tempo. Determine a quantidade de movimento de B como função do tempo quando a) B está inicialmente em repouso e b) a quantidade de movimento inicial de B é igual a -Po. 

Solução:

O fato de os blocos estarem interagindo significa, quando falamos de quantidade de movimento, que a quantidade de movimento de ambos permanece constante, já que não há força externa (atrito, por exemplo) agindo nos blocos.

Com isso:

a)

Para t = 0, a quantidade de movimento de A é Po e a quantidade de movimento de B é zero, pois B esta em repouso. Assim, a quantidade de movimento total será:

QDMT = QDMA + QDMB =  Po + 0 = Po

Para t = t, teremos que a quantidade de movimento total não muda, pois como já foi dito, não há força externa atuando no sistema. Assim:

QDMA = Po - bt

QDMB = QDMB

Sabemos que:

QDMA + QDMB = Po

(Po - bt) + (QDMB) = Po

QDMB = bt

b)

De forma análoga:

Para t = 0:

QDMA = Po

QDMB = -Po

A quantidade de movimento total será:

QDMT = Po - Po = 0

Para t = t

QDMA = Po - bt

QDMB = QDMB

Sabemos que:

QDMA + QDMB = 0

(Po - bt) + (QDMB) = 0

QDMB = bt - Po

Exercício Resolvido - Resistência equivalente

Cálculo da resistência equivalente

Calcule a resistência equivalente entre os pontos A e B:

Solução:

Como no circuito existem alguns trechos em curto circuito, facilita a visualização se transformarmos esses curtos em pontos.

Temos curtos circuito entre os pontos:

CH, DG e EF.

O resistor elétrico DE e o resistor FG estão em série, formando uma resistência equivalente de 2 Ω. Porém esta resistência equivalente esta em paralelo com o curto DG, logo é como se ela não existisse. Assim, o novo circuito ficaria:

Transformando os curtos circuitos CH e DG em pontos teremos:

Agora, é fácil perceber que há uma associação de resistores em paralelo para os resistores de 8 Ω (AC e AH), o mesmo acontece com os resistores de 12 Ω (HD e HG).

Assim, no trecho AH temos como resistência equivalente 4 Ω, e no trecho HG a resistência equivalente é de 6 Ω.

Veja também:
5 Exercícios Resolvidos de Resistência Equivalente Para Você Fixar o AssuntoExercício Resolvido - Resistência Equivalente de circuito misto
Exercício Resolvido - Resistência Equivalente: VESTIBULAR UERJ 2011
Quando a ddp numa ponte de Wheatstone é zero ?

Assim, há a associação de resistores em série para HG e GB, tendo como resistência equivalente 12 Ω. Mas esta resistência equivalente de 12 Ω esta associada em paralelo com o resistor HB.

Assim, a resistência equivalente entre os pontos HB é de 6 Ω.

Logo, a resistência total entre os pontos AB é de 4 + 6 = 10 Ω

Espero que este exercício contribua para os leitores. Qualquer dúvida deixe nos comentários.

Área da elipse usando apenas conhecimentos de cálculo I

A análise inicial é muito parecida com a feita no exercício anterior, assim como o raciocínio para a obtenção do resultado, o que irá mudar neste caso é o "pedaço de área" que vamos pegar. Ele, assim como feito antes, deve ser infinitamente pequeno.

A área infinitesimal adotada será conforme a figura a seguir:

Como pode ser observado, a área vermelha vale:

Da equação da elipse, dada por:

temos que:

Como x1 é o extremo do intervalo (dependente de y como pode ser observado) temos que:

Agora, para obter a área total da elipse, basta integrar dos dois lados da igualdade. Os limites de integração serão -b < y < b (no caso da figura acima -1 < y < 1, pois b² = 1). Fazendo isso temos:

Esta integral é a mesma calculada no exercício anterior (http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2013/01/deducao-da-area-de-uma-elipse.html), mudando apenas algumas letras. Desta forma:

Dedução da área de uma elipse

Supondo uma elipse, conforme figura a seguir:

Como pode ser observado, pelo pontos onde a elipse corta os eixos, esta elipse tem equação:

Porém no caso deste exercício, deseja-se que a elipse seja genérica, assim, adotaremos como sendo a equação:

Assim, tomando um "pedaço da área" muito pequeno, chamado de dA, conforme mostrado na figura a seguir.

podemos observar que a área dA vale dx*dy. Assim, e somarmos todas as pequenas áreas dA que existem dentro da elipse, teremos a área total dela, ou seja, devemos, neste caso, integrar para obter a área que desejamos.

Neste ponto, o que precisamos definir são os limites de integração.

Assim, pode-se perceber que:

Da equação tiramos os limites de y:

Assim, integrando dy temos:

Fazendo uma substituição de variável, onde x = a*Sen(u), temos, dx = a*Cos(u)*du e para definir os novos limites da integração, procedemos da seguinte forma:

Para x = a, u = π/2

Para x = -a, u = -π/2 

Logo:

Mas como 1 - Sen²(u) = Cos²(u).

A integração de Cos² pode ser feita sabendo-se que Cos² = 1 - Sen², assim:

Porém, com este método não é possível obter a solução, já que não conhecemos o valor de integral de Sen². Para isso, devemos utilizar o método da integração por partes de Cos² da seguinte forma:

f(u) = Cos(u)

g ' (u) = Cos(u)du

f ' (u) = -Sen(u)du

g(u) = Sen(u)

Porém, como Cos(π/2) = Cos(-π/2) = 0, constatamos que:

Logo, do que foi obtido anteriormente, quando integramos substituindo Cos² por 1 - Sen², temos que:

Obtendo, finalmente: