Exercício resolvido - Geometria Analítica (reta e ponto)

Dado o ponto P(2,-1) e a reta de equação y=3x-5, escreva uma equação da reta que contém o ponto P e
a) seja paralela a reta r.
b) seja perpendicular a reta r.


Solução:
a) Uma reta paralela é aquela que tem o mesmo coeficiente angular. Logo, a reta tem a forma:
y = 3x + b

Mas ela passa por P(2,-1)
-1 = 3.2 + b
b = -7

Logo, a reta é:
y = 3x - 7

b) Para ser perpendicular, o produto dos coeficientes angulares das retas deve ser -1. Logo a reta tem a forma:

y = (-1/3)x + b

Mas ela passa por P(2,-1)
-1 = (-1/3).2 + b
b = -1/3

Logo, a reta é:
y = (-1/3)x - 1/3

Exercício Resolvido - Geometria analítica (Ponto e Reta)

Determinar a projeção ortogonal do ponto P(2,4) sobre a reta.

x = 1+2t

y = -1+3t

Solução:
Vou fazer a solução deste exercício de duas formas. Uma envolvendo apenas conhecimentos de geometria analítica básica (mais trabalhosa), outra envolvendo conceitos vetoriais.

Método 1:
Inicialmente vou determinar a reta na forma y = a.x + b. Para isso, basta isolar o 't' nas duas igualdades acima:

x = 1 + 2t
t = (x - 1) / 2

y = -1 + 3t
t = (y + 1) / 3

(x - 1) / 2 = (y + 1) / 3
3x - 3 = 2y + 2
2y = 3x - 5
y = 1,5x - 2,5

sabe-se que retas ortogonais tem o produto dos seus coeficientes angulares igual a -1.
Logo, a reta ortogonal à reta acima, da forma:
y = ax + b
Será tal que:

a*(1,5) = -1
a = -2/3
Porém essa reta passa pelo ponto (2,4)
y = (-2/3)x + b
4 = (-2/3).2 + b
b = 4 + 4/3
b = 16/3

Logo, a reta que é ortogonal à y = 1,5x - 2,5 e passa por P(2,4) é: y = (-2/3)x + 16/3
Assim, a projeção ortogonal do ponto P na reta y = 1,5x - 2,5 será a intersecção dessas duas retas, e a intersecção ocorre quando temos os valores de y e x iguais, logo:

1,5x - 2,5 = (-2/3)x + 16/3
x(3/2 + 2/3) = 5/2 + 16/3
x(9/6 + 4/6) = 15/6 + 32/6
x(13/6) = 47/6
x = 47/13

Logo, o ponto será:
(47/13 , 38/13)

Método 2: 

Utilizando teoria vetorial
x = 1+2t
y = -1+3t
Esta reta tem a forma vetorial:
(x,y) = (1,-1) + t*(2,3)
O vetor diretor da reta é (2,3)

Logo, uma reta ortogonal a essa terá vetor diretor ortogonal a (2,3). Se eles são ortogonais e diferentes de zero, o produto escalar entre eles será zero.

Assim:
(a,b).(2,3) = 2a + 3b = 0

Arbitrando a = 1, b = -2/3. Como o valor de 'a' pode ser arbitrado e ele é diretamente proporcional a 'b', se utilizarmos a = 3, b = -2. Apenas para trabalharmos com números inteiros.

Logo, sabendo que esta reta passa pelo ponto (2,4), a reta será:
(x,y) = (2,4) + h*(3, -2)
ou
x = 2 + 3h
y = 4 - 2h

Achando o ponto de intersecção das retas:
2 + 3h = 1 + 2t -> h = (-1 + 2t) / 3
4 - 2h = -1 + 3t
4 - 2*(2t - 1) / 3 = -1 + 3t
4 - 4t/3 + 2/3 = -1 + 3t
17/3 = 13t/3
t = 17/13

Logo, x = 47/13 e y = 38/13

Gráfico do exercício abaixo:

Quando a ddp numa ponte de Wheatstone é zero ?

Acima, esta esquematizada uma ponte de Wheatstone.

Na figura acima, V é a fonte de energia, e ∆V a tensão que é zero quando a ponto de Wheatstone está em equilíbrio.

Assim, para que ∆V seja zero não pode passar corrente por ∆V, pois a corrente elétrica só se desloca para pontos de menor potencial. Se ∆V é zero, então não há diferença de potencial entre seus extremos, logo a corrente será a mesma em R1 e em R4, o mesmo ocorrendo para R2 e R3. Logo, a tensão V fornecida é:

V = I23*(R2 + R3) = I14*(R1 + R4). Considerando-se que as corrente I23 e I14 deslocam-se de baixo para cima na figura.

A tensão medida em ∆V é:

∆V = R1*I14 + R2*(-I23). Perceba, o uso do sinal '-' deve-se pelo fato de que a corrente é de baixo para cima, e para que o caminho seja mantido iniciando de R1 e passando por R2 para calcular a ddp em ∆V, I23 é negativo já que I14 é positivo.

O mesmo ocorre se fizermos a malha de baixo:

∆V = R4*(-I14) + R3*I23               (1)

Porém, queremos que ∆V = 0, logo:

R1*I14 - R2*I23 = 0    (ou -R4*I14 + R3*I23 = 0, o resultado daria o mesmo.)

De onde tiramos que:

I14 = R2*I23 / R1

Substituindo isso EM (1):

R3*I23 - R4*(R2*I23 / R1) = 0

R3*I23 = R4*(R2*I23 / R1)

Cortando I23

R3 = (R4*R2) / R1

R3*R1 = R4*R2

Logo, para que ∆V = 0, o produto cruzado das resistências deve ser igual.

Exercícios Resolvidos - Geometria analítica

Dado um triângulo cujos vértices são A(1,1), B(4,0) e C(3,4), determine:

a) O pé da altura relativa ao vértice C.
b) A área do triângulo ABC.

Solução:

a)

Para determinar este ponto, devemos encontrar a reta que passa por C e é perpendicular à reta AB, pois a altura relativa a algum vértice de um triângulo é, por definição, a reta que passa por esse ponto e é perpendicular à reta que une os outros dois vértices.

Como retas perpendiculares tem coeficientes angulares com sinal trocado e inversas, que calcular o coeficiente angular da reta AB:

Como AB passa por A(1,1), temos:

y = ax + b

a + b = 1


Como passa por B(4,0), temos:

y = ax + b

0 = 4a + b

Mas

a + b = 1

0 = 3a + (a+b)

0 = 3a + 1

a = -1/3

b = 4/3

Coeficiente angula da reta AB: -1/3

Logo, coeficiente angular da reta altura é: 3

Assim, ela tem a forma:

y = 3x + b

Mas essa reta deve passar pelo ponto C (3,4)

4 = 3*3 + b

b = 4 - 9 = -5

Logo, a reta é:

y = 3x - 5

O pé dessa altura é o ponto que as retas AB e a reta altura se interceptam:

Reta AB:

y = (-1/3)x + 4/3

Reta altura:

y = 3x - 5

Igualando ambas:

3x - 5 = (-1/3)x + 4/3

(10/3)x = 19/3

x = (19/10) = 1,9

y = 3*(19/10) - 5

y = 5,7 - 5 = 0,7


Ponto P = (1,9 , 0,7)

b) Sabendo que a altura deste triângulo vai do ponto P(1,9 , 0,7) ao ponto C(3,4), a distância 'd' entre esses pontos será o valor desta altura:

h² = (3, 1.9)² + (4 - 0,7)²

h² = 1,1² + 3,3²

h² = 1,21 + 10,89 = 12,1

h = 3,479

O tamanho da base, é a distância do ponto A ao ponto B.

d² = (4 - 1)² + (0 - 1)²

d² = 3² + 1² = 10

d = 3,1623

A área será:



A área ainda pode ser calculada pelo determinante da matriz:



Onde a primeira coluna são as coordenadas x dos vértices, e a segunda coluna as coordenadas y.

Exercício Resolvido - Probabilidade de ninguém pegar seu próprio nome em um amigo secreto

Numa brincadeira de amigo secreto, qual a probabilidade de ninguém tirar o próprio nome quando o número de participantes tende ao infinito? 

Solução:

Este exercício parece ser simples mas é muito complicado.

Vou tentar explicar a forma como fiz o mais detalhado possível, porém o leitor deve estar bem atento a cada passo.

Inicialmente, vamos deduzir o universo de possibilidades.

Não é difícil perceber que o universo é de n! para n participantes, pois, o primeiro a sortear tem 'n' nomes para retirar. O segundo terá '(n-1)'. O terceiro, '(n-2)'... Logo, o número de possibilidades é:

n*(n-1)*(n-2)*...*1 = n!

Dessas possibilidades, vamos procurar quais são favoráveis, e da divisão das possibilidades favoráveis pelo número total temos a probabilidade.

Vou chamar de Prob(n) = [P(n) / n!] a probabilidade solicitada. Ou seja, P(n) é o número de possibilidades favoráveis

Vamos lá. Um estudo específico rápido:

Se fosse 1 participante, a probabilidade seria 0%.

Se fossem 2, teríamos que o 1º não poderia pegar seu nome. Como o universo de possibilidades é 2 e apenas uma delas satisfaz, e probabilidade aqui seria 1/2 = 0,5

Se fossem 3, temos que pensar da seguinte forma para saber o universo de possibilidades:

Se o primeiro tirar seu nome, já não nos serve mais. Como este caso tem 2 possibilidades (a de o segundo e o terceiro também tirarem seus nomes, e a de o 2° tirar o nome do 3° e o 3° tirar o do 2°), resta verificar os outros casos;

Se o 1° tirar o nome do 2°:

Pode o 2° tirar o do 1° e o 3° o dele mesmo -> não serve;

Pode o 2° tirar o do 3° e o 3° o do 1° -> OK

Se o 1° tirar o do 3°, ocorre o mesmo, ou seja, das 2 possibilidades, onde uma é válida.

Assim, neste caso (3 participantes), o universo de possibilidades é 3*2*1 = 6, e as válidas são 2. Temos 2/6 = 1/3 a probabilidade.

Perceba que existem dois casos. Um é o primeiro pegar o seu próprio nome. E este não nos serve. O outro é ele pegar o nome de outro participante. Assim, restará o nome dele e de mais um. Supondo que o participante que o primeiro pegou o nome, pegar o nome do primeiro (ou seja, um pega o nome do outro), resta a situação de apenas um participante, ou seja, o participante que não sorteou só poderá pegar o próprio nome, que é o caso de se só existisse um participante.

Vamos analisar como seria com 4 participantes, o pensamento é análogo ao se fossem 3:

Se o 1° tirar seu nome, os outros casos não nos serve. Ou seja, temos 3! = 6 possibilidades que não servem.

Se o 1° tirar o nome do 2°:

O 2° tira o do 1° o 3° tira o próprio e o 4° o próprio -> Não serve

O 2º tira o do 1°, o 3° o do 4° o 4° o do 3º -> OK

O 2° tira o do 3°, o 3° o do 1º o 4º o próprio -> não serve

O 2° tira o do 3°, o 3° o do 4º, o 4º o do 1º -> OK

O 2° tira o do 4°, o 3º o próprio, o 4° o do 1º -> Não serve

O 2° tira o do 4º, o 3º o do 1º, o 4º o do 3° -> Ok

Total de 3 possibilidades neste caso.

Como o 1º pode ainda tirar o do 3° e do 4°, e nesses casos teremos a mesma situação acima (3 favoráveis em cada), são 9 as possibilidades satisfatórias. 9/24 = 3/8.

Mais uma vez, o que foi observado no caso de 3 participantes, ocorreu. Veja que aqui existe também a possibilidade do 1º tirar o seu próprio nome (que não serve) e de ele tirar o nome que outro participante. Como são 4 participantes, as possibilidades do 1º tirar o nome de outro são 3. Digamos que ele pegue o nome de outro participante, chamado de B. Neste caso, se o participante B tirar o nome do 1º, vão restar 2 nomes e dois participantes. Porém, como no caso de existirem apenas 2 no jogo do amigo secreto, os dois participantes que restaram tem os seus nomes a serem sorteados. Caso o B não pegue o nome do 1º, e pegue o nome de um jogador C. Segue a lógica: se o C pegar o nome do 1º, resta um jogador e um nome (caso do jogo de apenas um participante, já que o nome que sobrou é exatamente o nome do jogador que não sorteou), se ele pegar o nome de um participante D ...

Agora, vou fazer o mesmo que fiz acima, porém de forma genérica, para n participantes.

Já foi visto que o universo de possibilidades é de n!.

Neste caso, para n participantes, temos:

Se o 1° pegar seu nome. já não serve mais -> (n-1)! casos descartados

Se o 1º pegar o nome de outro participante (participante X) [ (n-1) possibilidades ]

Se X pegar o nome do 1º (1 possibilidade) restam (n-2) participantes com seus próprios (n-2) nomes. Neste caso, a probabilidade dos casos favoráveis será P(n-2), já que os nomes não sorteados são exatamente o dos participantes que restaram.

Mas se X pegar o nome de um terceiro (Y) (n-2 possibilidades) obtém-se os mesmos 2 casos:

Y pegar o nome do 1º (1 possibilidade), restando (n-3) participantes e seus (n-3) nomes. P(n-3)

Y pegar outro (Z) (n-3 possibilidades):

Z pegar o nome do 1º (1 possibilidade): P(n-4)

.......

E assim vai.

Assim, teremos que:

P(n) = (n-1)*[P(n-2) + (n-2)*[P(n-3) + (n-3)*[P(n-4) + (n-4)*[P(n-5) + ... + 3*[P(2) + 2*[P(1)]]]...]]]

Da igualdade acima, temos:

P(n-1) = (n-2)*[P(n-3) + (n-3)*[P(n-4) + ... + 2*[P(1)]]]...]]]

Assim:

P(n) = (n-1)*[P(n-2) + P(n-1)]

Lembrando que a probabilidade é Prob(n) = P(n) / n!

A relação P(n) = (n-1)*[ P(n-1) + P(n-2) ] estabelece uma relação de subfatorial.

Assim, dividindo tudo por n! (universo) temos:

(Aconselho ao leitor a acompanhar com um papel e um lápis a partir daqui)

P(n)/n! = (n-1)*{ P(n-1) + P(n-2)] } / n!

P(n)/n! = [(n-1)/n]*{ P(n-1)/(n-1)! + P(n-2)/(n-1)!] }

P(n)/n! = [(n-1)/n]*{ P(n-1)/(n-1)! + [1/(n-1)]*[P(n-2) /(n-2)!] }

Desta forma temos:

Prob(n) = [(n-1)/n]*{ Prob(n-1) + [1/(n-1)]*Prob(n-2) }

Prob(n) = (1 - 1/n )*{ Prob(n-1) + [1/(n-1)]*Prob(n-2) }

Prob(n) = Prob(n-1) - (1/n)*Prob(n-1) + [1/(n-1)]*Prob(n-2) - (1/n)*[1/(n-1)]*Prob(n-2) ]

Prob(n) = Prob(n-1) - (1/n)*Prob(n-1) + [(n-1)/n]*[1/(n-1)]*Prob(n-2) ]

Prob(n) = Prob(n-1) - (1/n)*Prob(n-1) + (1/n)*Prob(n-2) ] 

Prob(n) - Prob(n-1) = - (1/n)*Prob(n-1) + [1/n]*[ Prob(n-2) ]

Prob(n) - Prob(n-1) = (-1/n)* [ Prob(n-1) - Prob(n-2) ]

Seja G(n) = Prob(n) - Prob(n-1)

G(n) = (-1/n) G(n-1)

Como:

G(2) = Prob(2) - Prob(1) = 1/2 - 0 = 1/2

G(3) = (-1/3)*(1/2) = -1/6

G(4) = (-1/4)*(1/6) = 1/24

...

G(k) = [(-1)^k] / k!

Assim:

Prob(n) = Prob(1) + [Prob(2) - Prob(1)] + [Prob(3) - Prob(2)] + ... + [Prob(n) - Prob(n-1)]

Prob(n) = 0 + G(2) + G(3) + G(4) + ... + G(n)

Prob(n) = Ʃ{ [(-1)^k] / k! }

Mas, da série de Taylor temos que:

e^x = Ʃ[ ( x^k ) / k! ], se tivermos x = -1, a série será:

e^(-1) = Ʃ{ [ (-1)^k ] / k! } = Prob(n) para n tendendo ao infinito

Logo, Prob(n) = 1/e