Exercício Resolvido - Integral

Calcule as seguintes integrais:
1) Cos²(x)*Tan³(x)

2) Sec⁴(x/2)

3) Senⁿ(x)

4) Sen⁴(x)

Solução:

1)

Mas, das relações trigonométricas temos:

Substituindo na integral:

Como há uma subtração no integrando, podemos separar em duas integrais

Simplificando a segunda integral temos:

Como a derivada de Cos(x) = -Sen(x), vou chamar Cos(x) de 'u', ou seja, Cos(x) = u, logo, derivando de ambos os lados -Sen(x)dx = du.

Fazendo a substituição nas integrais:

Onde k1 e k2 são constantes arbitrárias que podemos substituir por k1 + k2 = k. Porém, como u = Cos(x).

2) Neste, a integral será com limites:

Para utilizar a integração por partes:

Nomeando convenientemente cada um dos fatores do integrando:

Integrando por partes:

Substituindo Tan(x/2) = u, onde du = (1/2)Sec²(x/2)dx

Como u = Tan(x/2)

Como Tan(0) = 0

Veja também:
O que é Integral?
Exercício Resolvido - Integrais
Exercício Resolvido - Integral de √(4 /x⁴-x²)
Exercício resolvido - Integral - Cálculo da área abaixo das curvas
Dedução da Área da elipse usando apenas conhecimentos de cálculo I

3) Integrando Senⁿ(x) por partes

Mas, das relações trigonométricas temos que Cos²(x) + Sen²(x) = 1, ou seja, Cos²(x) = 1 - Sen²(x)

Assim:

4) Usando o resultado do exercício 3) para n = 4, temos:

Para calcular a integral de Sen²(x) é possível utilizar o resultado obtido no exercício 3) também, para n = 2.

Onde C é uma constante qualquer.

Das relações trigonométricas temos que Sen(2x) = 2Sen(x)Cos(x)

Assim, substituindo:

Porém, como C é uma constante arbitrária, 3C/4 também será. Assim, para facilitar pode-se usar K = 3C/4