Exercícios Resolvidos - Geometria analítica



Dado um triângulo cujos vértices são A(1,1), B(4,0) e C(3,4), determine:

a) O pé da altura relativa ao vértice C.
b) A área do triângulo ABC.

Solução:

a)

Para determinar este ponto, devemos encontrar a reta que passa por C e é perpendicular à reta AB, pois a altura relativa a algum vértice de um triângulo é, por definição, a reta que passa por esse ponto e é perpendicular à reta que une os outros dois vértices.

Como retas perpendiculares tem coeficientes angulares com sinal trocado e inversas, que calcular o coeficiente angular da reta AB:

Como AB passa por A(1,1), temos:

y = ax + b

a + b = 1


Como passa por B(4,0), temos:

y = ax + b

0 = 4a + b

Mas

a + b = 1

0 = 3a + (a+b)

0 = 3a + 1

a = -1/3

b = 4/3

Coeficiente angula da reta AB: -1/3

Logo, coeficiente angular da reta altura é: 3

Assim, ela tem a forma:

y = 3x + b

Mas essa reta deve passar pelo ponto C (3,4)

4 = 3*3 + b

b = 4 - 9 = -5

Logo, a reta é:

y = 3x - 5

O pé dessa altura é o ponto que as retas AB e a reta altura se interceptam:

Reta AB:

y = (-1/3)x + 4/3

Reta altura:

y = 3x - 5

Igualando ambas:

3x - 5 = (-1/3)x + 4/3

(10/3)x = 19/3

x = (19/10) = 1,9

y = 3*(19/10) - 5

y = 5,7 - 5 = 0,7


Ponto P = (1,9 , 0,7)


b) Sabendo que a altura deste triângulo vai do ponto P(1,9 , 0,7) ao ponto C(3,4), a distância 'd' entre esses pontos será o valor desta altura:

h² = (3, 1.9)² + (4 - 0,7)²

h² = 1,1² + 3,3²

h² = 1,21 + 10,89 = 12,1

h = 3,479

O tamanho da base, é a distância do ponto A ao ponto B.

d² = (4 - 1)² + (0 - 1)²

d² = 3² + 1² = 10

d = 3,1623

A área será:



A área ainda pode ser calculada pelo determinante da matriz:



Onde a primeira coluna são as coordenadas x dos vértices, e a segunda coluna as coordenadas y.


20 comentários:

  1. Esse é "O" exercício =)
    Muito bom Peter

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  2. Pode me ajudar? Essa é A QUESTÃO!! Tenso!

    Um subconjunto X do plano chama-se convexo quando o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer de X está contido em X. Noutras palavras, X é convexo quando, para quaisquer P,Q pertencentes a X e t pertence a [0,1], tem-se (1-t)P + tQ pertencente a X.

    Sejam a e b números reais positivos. Prove que o conjunto E dos pontos cujas coordenadas (x,y) cumprem x² / a² + y² / b² menor ou igual a 1 é convexo.

    Sugestão = prove e use a desigualdade ru + sv < ou = raiz de(r^2+s^2) vezes raiz de (u^2+v^2), para todos r,s,u,v pertencentes a IR.

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    1. Amigo Anônimo.
      Estou em uma semana bem complicada. Imagino que você precise deste exercício para breve, mas estou com meu tempo contado.
      Assim que eu tiver um tempo livre, vou tentar fazer sua questão.

      Abraço

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  3. Tenho uma questão que estou em duvida Professor Brawn, pode me ajudar a questão é Calcule a área do triângulo de vertices A=(1,2), B=(2,4) e C=(4,1)?

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    1. Rita. Vou dizer aqui mesmo como faz pq estou um pouco ocupado durante essa semana e suspeito que você precise disso pra ontem (rs). Mas após essa semana, vou pegar um dia e fazê-lo detalhadamente com desenhos.
      Este tipo de exercício pode ser facilmente calculado utilizando determinante, basta seguir os passos:
      1- Tome um ponto como referência (exemplo o ponto (1,2));
      2- Subtraia os outros pontos desse ponto;
      3- Calcule o determinante e divida o módulo por dois.

      Vamos lá:
      Passo 2:
      (2,4) - (1,2) = (1,2)
      (4,1) - (1,2) = (3,-1)

      Passo 3:
      |1 2|
      |3 -1| = 1*(-1) - 2*3 = -1 - 6 = -7
      O módulo é 7.

      Assim, a área do triângulo formado pelos pontos (1,2), (2,4), (4,1) = 7/2 = 3,5.

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  4. Professor! no gráfico as coordenadas do Vértice A não tá errada A(0,1)?

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    1. Fala Vilson. O primeiro gráfico induz isso, não é mesmo. Mas se você observar bem nele, o eixo y parte do ponto x = 1.

      Abs

      Brawn

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  5. Essa questão me intrigou bastante preciso de ajuda
    Sejam A(-7,4) e B (5,-12) pontos no plano.
    a)Encontre a inclinação da reta que contém A e B
    b)Encontre uma equação da reta que passa por A e B.Quais as intersecções com os eixos ?.
    c)Encontre o ponto médio do segmento AB.
    d)Encontre o comprimento do segmento AB.
    e)Encontre uma equação para a mediatriz de AB.
    f)Encontre uma equação para o círculo para o qual AB é um diâmetro.

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    1. Simplifique as expressões racionais.
      a)x2+3x+2 b) 2x2-x-1.x+3 c) x2 - x+1
      _________ _____________ -___________
      x2-x-2 x2-9 2x+1 x2-4 x+2

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    2. Caro amigo Anônimo.
      Se puder, entre na página do facebook do blog (link na parte superior da página) e deixa lá suas perguntas.. No momento estou um pouco ocupado, mas se colocar lá, posse resolver e enviar pra você quando puder.

      Abraço

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  6. Preciso de ajuda.
    Determine a área do triângulo de vértices:
    A(-2, 1/2), B(1/2, 2) e C(2, -1)

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  7. Como vc encontrou esse resultado: "coeficiente angular da reta altura: 3"?

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    1. "Como retas perpendiculares tem coeficientes angulares com sinal trocado e inversas"
      São retas perpendiculares

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  8. Preciso de ajuda !
    Que superfície é representada pelas seguintes equações:
    a) z=2 |R^3
    b) y=4 em |R^3
    c) y=4 em |R^2

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  9. Professor, estou desesperado atrás desta questão...não consegui fazer ela...

    considere a reta r: x=(2,1,-1) + t.(-2,0,a), t€R e o plano "alfa": x-2y+z+b=0. É correto afirmar que a reta R é paralela ao plano " alfa" quando: (R= a=2 e B=0)

    Preciso mto da resolução da mesma com urgência, desde já agradeço, obg!!

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  10. Como eu calculo a área de um triângulo no espaco?
    por exemplo: determinado pelos pontos A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3)?

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    1. Olá Jéssica. Você pode calcular a área do triângulo pelo determinante formado pelos pontos:
      |-1 0 2|
      1/2*|-4 1 1| = 1/2*(-3 -8 + 1) = -5
      |0 1 3|

      O módulo = 5. Área então é 5!

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    2. Ao publicar a resposta a matriz não ficou legal: Mas é:

      ____|-1 0 2|
      1/2*|-4 1 1|
      ____|_0 1 3|

      O resto é só ver acima...

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  11. Preciso da Área.Perímetro. E o ponto médio do lado AB.. URGENTE!!!

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