Exercício Resolvido - Assíntotas

Determine todas as assíntotas das funções abaixo:

a) (2x - 1) / (x - 3)

b) (x² + 3) / (x + 1)

Solução:

Obs.: Assíntota é uma reta na qual uma equação tende a ela no infinito porém nunca chega a ela. Desta forma, dada uma função f(x), se y = ax + b é sua assíntota, então:

a)

Assim, para tirar o x do denominador, temos:

simplificando o x e eliminando os termos constantes divididos por x, pois eles tendem a zero, temos:

Assim, percebemos que a deve ser zero, pois se não for, o limite tenderia a infinito. Ainda, se a = 0 teremos que para que o limite seja nulo:

2 - b = 0, logo, b = 2

Assim, a reta assíntota neste caso é:

y = 2.

Abaixo o gráfico da função e da assíntota y = 2, para x tendendo a infinito positivo e negativo:

b) Analogamente temos:

Assim, para que o limite seja nulo, devemos ter:

1-a = 0, logo a = 1

a + b = 0, logo b = -1

Assim, a reta assíntota neste caso é:

y = x - 1

Abaixo o gráfico da função e sua assíntota:

Perceba também que as retas x = 3 (no exercício a) e x = -1 (no exercício b) também são assíntotas já que esse valor de x é uma descontinuidade da função e a medida que x se aproxima destes valores, a função tende a infinito (infinito positivo ou infinito negativo, dependendo da direção de aproximação).

Exercício resolvido - Continuidade de função

Considere a função real definida por:

Para qual valor de k a função é contínua?

Solução:

Inicialmente, devemos definir o domínio dessa função e como sabemos que não podemos ter valores negativos dentro das raízes temos que:

1 + x > 0, logo, x > -1

1 - x > 0, logo, x < 1

-1 < x < 1

Ainda, não podemos ter denominador nulo, logo:

1 + x ≠ 1 - x

2x ≠ 0

x ≠ 0. 

O que é respeitado quando dizemos que para x = 0, f(x) = k.

Agora, para saber a continuidade devemos fazer o limite da função f(x) para x tendendo a zero.

Para isso:

Simplificando o x:

Logo, para que f(x) seja contínua, k = 1.