Dedução da área de uma elipse
Supondo uma elipse, conforme figura a seguir:
Porém no caso deste exercício, deseja-se que a elipse seja genérica, assim, adotaremos como sendo a equação:
Assim, tomando um "pedaço da área" muito pequeno, chamado de dA, conforme mostrado na figura a seguir.
podemos observar que a área dA vale dx*dy. Assim, e somarmos todas as pequenas áreas dA que existem dentro da elipse, teremos a área total dela, ou seja, devemos, neste caso, integrar para obter a área que desejamos.
Neste ponto, o que precisamos definir são os limites de integração.
Assim, pode-se perceber que:
Da equação tiramos os limites de y:
Assim, integrando dy temos:
Fazendo uma substituição de variável, onde x = a*Sen(u), temos, dx = a*Cos(u)*du e para definir os novos limites da integração, procedemos da seguinte forma:
Para x = a, u = π/2
Para x = -a, u = -π/2
Logo:
Mas como 1 - Sen²(u) = Cos²(u).
A integração de Cos² pode ser feita sabendo-se que Cos² = 1 - Sen², assim:
Porém, com este método não é possível obter a solução, já que não conhecemos o valor de integral de Sen². Para isso, devemos utilizar o método da integração por partes de Cos² da seguinte forma:
f(u) = Cos(u)
g ' (u) = Cos(u)du
f ' (u) = -Sen(u)du
g(u) = Sen(u)
Porém, como Cos(π/2) = Cos(-π/2) = 0, constatamos que:
Logo, do que foi obtido anteriormente, quando integramos substituindo Cos² por 1 - Sen², temos que:
Obtendo, finalmente:
